合理下料问题

合理下料问题

摘要

节省原材料，提高材料的利用率，减少废料，降低成本，提高经济效益，对各工业领域来说都是一项有意义的事情。本文提出了下料问题的一种使用数学模型，来研究钢管最合理的切割方法。

关键字：最优化线性规划 LINGO软件

一、问题重述

某钢管零售商从钢管厂进货，然后将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时，每根钢管的长度都是19米

①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，应如何下料最节省？

②零售商如果采用的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。此外，该客户除需要①中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管，应如何下料最省？

二、问题分析

1、现在的目标是确定一个合理的方案使得下料最省，获利最多。

2、①从题目给出的数据可知，客户所需要的三种不同长度的钢管都是由钢管厂19米长的钢管切割而来的，具体的切割方式有以下7种：

方式4m钢管

/根

6m钢管

/根

8m钢管

/根

余料/米

一 4 0 0 3

二 3 1 0 1

三 2 0 1 3

四 1 2 0 3

五 1 1 1 1

六0 3 0 1

七0 0 2 3

②从题目给出的数据可知，客户所需要的四种不同长度的钢管都是由钢管厂19米长的钢管切割而来的，具体的切割方式有以下16种：

方式4m钢管

/根

5m钢管

/根

6m钢管

/根

8m钢管

/根

余料/米

一 4 0 0 0 3

二 3 1 0 0 2

三 3 0 1 0 1

四 2 0 0 1 3

五 2 2 0 0 1

六 2 1 1 0 0

七 1 0 2 0 3

八 1 3 0 0 0

九 1 1 0 1 2

十 1 0 1 1 1 十一0 0 3 0 1 十二0 0 0 2 3 十三0 1 2 0 2 十四0 1 1 1 0 十五0 2 0 1 1 十六0 2 1 0 3

三、模型假设

（1）假设切割不损失钢管。

四、符号说明

Xn表示采用方式n的次数；

Z表示切割总根数。

五、模型的建立

①目标函数：切割余料最少，故有

min Z=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7

约束条件：满足客户所需的钢管数目，故有

4X1+3X2+2X3+X4+X5≥50

X2+2X4+X5+3X6≥20

X3+X5+2X7≥15

非负约束：

X1，X2，…,X7≥0

②目标函数：切割余料最少，故有

min Z=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16 约束条件：满足客户所需的钢管数目，故有

4X1+3(X2+X3)+2(X4+X5+X6)+X7+X8+X9+X10≥50

3X8+2(X5+X15+X16)+X2+X6+X9+X13+X14≥10

3X11+2(X7+X13)+X3+X6+X10+X14+X16≥20

2X12+X4+X9+X10+X14+X15≥15

X1，X2，…,X16≥0

六、模型的求解

利用LINGO软件求解得

①X1=0，X2=0，X3=20，X4=10，X5=0，X6=0，X7=0。

②X1=8,X3=5,X10=13,X14=3，其余都为0.

七、模型的推广

应用组合各种方式得到最合理的下料方案，使下料问题上的线性规划问题得以解决，初步实践证明是切实可行的。在各种不同规格的一维下料问题上都可以考虑用此方法解决。