武汉理工大学高数B期末试卷B卷及答案

武汉理工大学

2008—2009学年第二学期《高等数学B 》期末试卷（B 卷）

考生姓名：班级：学号： 一、选择题（本题共6小题,每小题4分，满分24分） 1、二元函数

),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数都存在，是),(y x f 在该点可微的（）．

（A ）充分而非必要条件（B ）既非充分又非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）必要而非充分条件 2、设),(y x f 是连续函数，则0

(,)(0)a

x

I dx f x y dy a =>?

?=（）．

（A ）00

(,)a

y dy f x y dx ??（B ）0(,)a a

y

dy f x y dx ??

（C ）

(,)a

y a

dy f x y dx ?

?（D ）0

(,)a a

dy f x y dx ??

3、下列级数条件收敛的是（）．

（A ）

n n n

1

)

1(1∑∞

=-（B ）2

11)1(n n n

∑∞

=-（C ）1)1(1+-∑∞=n n n n （D ）)1(1)1(1

+-∑∞

=n n n n

4、若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，则下列级数中（）收敛。

（A ）

)001.0(1

+∑∞=n n u （B ）∑∞

=1

n n

u （C ）

∑∞

=+1

1000

n n u （D ）

∑∞

=11000

n n

u 5、以12cos ,sin y x y x ==为特解的二阶线性齐次微分方程是（） （A ）''0y y -=（B ）'''0y y +=（C ）''0y y +=（D ）'''0y y -= 6、设{

}2

22:),(a

y x y x D ≤+=，则当=a （）时，??

=--D

dxdy y x a π2222

（A ）1（B ）2（C ）33（D ）3

2

3

二、填空题（本题共5小题,每小题4分，满分20分） 1、 设sin xy

z e

=，则dz =。

2、 设{}

(,):01,1D x y x x y =

≤≤≤≤，则

=??-D

y dxdy e

2

。

3、 曲线族x

e

x c c y 221)(+=中满足条件001

0,'

2

x x y

y ====

的曲线是． 4、 微分方程x e y y y x

cos 422=+'-''的特解形式设为

y *=。

5、已知级数22116n n π∞

==∑，则级数2

1

1

(21)n n ∞

=-∑的和等于。 三计算题（本题共5小题,每小题7分，满分35分）

1、 设23

3

2

3,,z z

z x y xy x x y

??=+-???求。 2、判别级数21

(0)1n

n

n a a a ∞

=>+∑的敛散性。 3．求微分方程x y y y 234'5''-=++的通解。

4、求幂级数

1

1

n n nx

∞

-=∑的收敛域及和函数。

5、计算积分

)66(),06(),00(cos π

ππ，，，为以点，其中B A O D dxdy x x D

??为顶点的三角形区域。 四、应用题（本题共2小题,每小题8分，满分16分）

1、1、用钢板做一个容积为a 的长方体箱子，问长、宽、高为多少时，用料最少。

2、利用二重积分的几何意义计算球面9222=++z y x 与旋转锥面2

228z y x =+之间包含z 轴的部分的体积。

五、证明题（本题满分5分）设常数0β>，级数2

1

n n a ∞=∑

收敛，证明：级数1

n ∞

=

一．DBACCD 二．1、sin cos ()xy

e

xy ydx xdy +2、1

1(1)2e --3、212

x xe 4、)cos sin (x b x a xe y x +=5、28π

三．1..6,332

22y y

x z y x x z -=???-=?? 2.解：当1a =时，原级数为

1

1

2n ∞

=∑发散--------------------------1分

当01a <<时，

21n

n n

a a a

≤+------------------------------2分

而1

n

n a ∞

=∑为公比小于1的等比级数，故收敛由正项级数的比较判别法，211n

n

n a a ∞

=+∑收敛--------4分 当1a >时，

2211n n n n n

a a a a a ≤=+又1a >时，级数11

n n a

∞

=∑收敛 由正项级数的比较判别法，21

1n

n

n a a ∞

=+∑收敛------------------------------------5分 当1a =时，级数211n n n a a ∞

=+∑发散，当01a a >≠且时，级数211n

n

n a a

∞

=+∑收敛---------7分 3．对应的齐次方程的特征方程为0452

=++r r ，……--------------2分

特征根为4,1-=-=r r -----------------------（3分）

对应的齐次方程的通解为x x

e c e

c y 421--+=………(4分)，

特解为

x y 2

1

811-=

*………(5分)， 原方程的通解为

=y

x e c e c x x

2

1

811421-++--………(7分)

4.解：

11

lim

lim 1n n n n a n a n

ρ+→∞

→∞+===，1R ∴=收敛半径-------------------------------2分 当1x =±时级数1

1n n n ∞

-=±∑（

1）发散，所以收敛域为（-1,1）

。---------------------3分 设1

1

(),(1,1)n n s x nx

x ∞

-==

∈-∑-------（*）

两边从0到x 积分得：

11

00111()1x

x

x n n n n n n x s t dt nt dt nt dt x x ∞∞∞--===??====

?-??

∑∑∑?

??------------6分

两边对x 求导得2

1

()(0),(1,1)(1)

s x s x x -=

∈--，且由（*）式知，(0)0s = 2

1

(),(1,1)(1)s x x x ∴=

∈----------------------------------------------------------7分

5.dy x x dx dxdy x x

x D

????=060cos cos π

…………………….4分

=

?

60

cos π

xdx …………………………5分

=1/2…………………………………..7分

四、1.解：设长方体的长、宽、高分别为

z y x ,,，则长方体的体积为V x y z a

==，表面积为2()S x y y z z x

=++， 问题即求2()S xy yz zx =++在xyz a =之下的极值，------------------------------2分 令(,,,)2()()F x y z xy yz zx xyz a λλ=+++-，-----------------------------------------3分

由'

'''2()02()02()00

x y z F y z yz F x z xz x y z F x y xy F xyz a λ

λλλ?=++=?=++=??===?

=++=??=-=?分

时，表面积最小。-----------------------------------------7分

2、解：

222222

9

18x y z z x y z

?++=??=±?+=??所求立体在xoy 面上的投影区域为：22:8D x y +≤----------2分

由二重积分的几何意义所求立体的体积为

2D

V d σ=??----------------------------------5分

用极坐

标计算

得

22

20

2)4

V d r rdr π

θ=??

---------------------------------------7分 24π=------------------------------------------------------------------------------------8分

五、证明：因为级数2

1n n a ∞

=∑和211

n n β∞

=+∑

2

2()2n a n β++≤

可知级数

n ∞

=

1

n ∞

=--------------------------5分