北师大版初三数学《一元二次方程》应用题练习题

一元二次方程应用题

【例1】某百货商店服装组在销售中发现"宝乐"牌童装平均每天可出售20件，每件盈利40元．为了迎接"六一"国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元?

【练一练】

1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500k g，销售单价每涨1元，月销售量就减少10k g，针对这种水产品情况，商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

【例2】某企业生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术革新，使今后两年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年(包括今年)的产量达到1400件，求这个百分数．

【练一练】

1、某种产品的成本在两年内从100元降低到81元，求平均每年降低成本的百分率是多少?

2、哈尔滨市政府为了申办2010年冬奥会，计划用两年的时间把城市的绿地面积提高44%，若每一年比前一年提高的百分比相同，求这个百分数．

【例3】有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，经过两轮转发后共有144人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给几个人?

【练一练】

1、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是13，每个支干长出多少小分支?

2、某校九年级组织班篮球比赛，要求每班之间都进行两次比赛，共要比赛30场，问九年级共有多少个班参加比赛?

【双基演练一】

1．一个多边形有70条对角线，则这个多边形有________条边．

2．九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）=240 B．x（x－1）=240

C．2x（x+1）=240 D．1

x（x+1）

2 3

=240

3．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）

A．12人B．18人C．9人D．10人

4．学校组织了一次篮球单循环比赛，共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛?

【能力提升一】

5、32，33和34分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、

3个和4个连续奇数的和，36也能按此规律进行“分裂”，则36“分裂”出的奇数中最大的是( )

A、41

B、39

C、31

D、29 【聚焦中考一】

6．（2008．福建南平市）有一人患了流感，经过两

轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）

A ．8人

B ．9人

C ．10人

D ．11人 7．（2008分图案，中央是一块正六

砖．从里向外的第1层包括 6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形

和18个正三角形，依此

递推，第8层中含有正三角形个数是（）

A ．54个

B ．90个

C ．102个

D ．114个

【双基演练二】

1．某药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒54元，则平均每次降价的百分数为_______． 2．某农场的粮食产量，若两年内从25万公斤，增加到30．25万公斤，则平均每年的增长率为_______． 3．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为__________________，解得年利率是_________． 4．某市2002年底人口为20万人，人均住房面积9m 2，计划2003年、2004年两年内平均每年增加人口为1

万，为使到2004年底人均住房面积达到10m ，则该市两年内住房平均增长率必须达到_________．10

．162，

=3．317，精确到1%）

5．某林场原有森林木材存量为a ，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x ，则经过一年木材存量达到________，经过两个木材存量达到__________．

6．某商品连续两次降价10%后为m 元，则该商品原价为（）

A ．1.12m 元

B ．1．12m 元

C ．0.81

元 D ．0．81m 元

7．某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x ，根据题意，得（）

A ．5000（1+x 2

）=7200 B ．5000（1+x ）+5000（1+x ）2=7200

C ．5000（1+x ）2=7200

D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2

=7200

8．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学

生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款________元．【能力提升二】

9．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15．2%，那么应多种多少棵桃树?

【聚焦中考二】

10．（2008．河北省）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．2

30005000

3000(1)5000

+=B．2

C．2

3000(1)3000(1)5000

x x

％D．2

+++=

3000(1)5000

11．(浙江省衢州市）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )

A、256

2562=

2892=

-B、289

C、256

256=

)x2

289=

-D、289 12．（2008乌鲁木齐）．乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8058．9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为．

【双基演练三】

1．三角形一边的长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边的长是（）

A．8 B．4 C．4

D．2

2．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4c m的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400c m3，求原铁皮的边长．

3．学校原有一块面积为1500平方米的矩形操场，现将操场的一边增加了5米，另一边减少5米，围绕操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米，求出在操场的长和宽．

4．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽．（1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽．

（2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽．（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响?

5．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔买这张矩形铁皮共花了多少钱?

6．一条长64c m的铁丝被剪成两段，每段均折成正

方形，若两个正方形的面积和等于160c m2，求两个正方形的边长．

7．如图，在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，若草坪实际面积为540平方米，求中路的平均宽度．

【能力提升三】

8．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，AB=8m，BC=6m，

点M、点N同时由A、C两点出发分别沿AB、CB 方向向点B匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒

后，△MBN的面积为Rt△ABC的面积的1

9．图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：

在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；

在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；

（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：

S1=_________，S2=_________，S3=_________．

D C

H （3）联想与探索：

如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少? 并说明你的猜想是正确的．

【聚焦中考三】

10．（2008年遵义市）如图，矩形ABCD 的周长是20c m ，

以AB AD ，为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH ，若

正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为2

68cm ，那么矩形ABCD

的面积是（）

A ．2

21cm B ．2

16cm C ．2

24cm D ．2

9cm

11．（2008年巴中市）在长为a m ，宽为b m 的一块草

坪上修了一条1m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为

m ；现为了增加美感，把这条小

路改为宽恒为1m 的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为

m ．

12．（2008年南京市）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1

侧内墙保留3m 宽的通道．植区域的面积是2

288m ?

【双基演练四】

1．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km 都需付7元车费）；超过3km 以后，

每增加1km，加收2．4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（）．

A．正好8km B．最多8km C．至少8km D．正好7km

2．一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误，根据经验，运动员起跳后的时间t（s）与运动员距离水面的高度h（m）满足关系式：h=10+2.5t－5t2，那么运动员最多有多长时间完成规定动作?

3．甲、乙两人绕城而行，甲绕城一周需3小时，现两人同时同地出发，背向而行，乙自遇甲后，再行4小时，才能到达原出发点，求乙绕城一周需多长时间?

【能力提升四】

4．某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至A 处时，电子侦察船正位于A 处正南方向的B 处，且AB=90海里，如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰? 如果能，最早何时能侦察到? 如果不能，请说明理由．

【聚焦中考四】

5．（2008．南昌市）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P

_ 北

_ 东

点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1．2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜? 附加题

1、阅读下面的例题，解方程()0

61512

=----x x

解方程0

=--x x

；

解：原方程化为0

=--x x ．令x y =，原方程化成022

=--y y

解得：2

2-=y

当2,2±==x x ；当1-=x 时（不合题意，舍去）

∴原方程的解是 2

1=x

-=x

2．已知方程2

x m -+=的一个根是23-+，求它的一个

根．（要求：利用根与系数的关系解题，

12b x x a

+=-

12c x x a

）

3．阅读材料：

如果1

x ，2

x 是一元二次方程2

bx c ++=的两根，那么

有1212

,b c

x x x x a a

+=-=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题：设1

,x x 是方程2

630

x +-=的两根，求2

212

x +的值．

初三数学压轴题

1.如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于点B ，点C ，经过B C ，两点的抛物线 2 y ax bx c =++与x 轴的另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线2x =．（1）求A 点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结A C ．请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与 A B C △相似，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． [解] 直线3y x =-+与x 轴相交于点B ，∴当0y =时，3x =， ∴点B 的坐标为(30)，．又抛物线过x 轴上的A B ，两点，且对称轴为2x =，根据抛物线的对称性，∴点A 的坐标为(10)，．（2）3y x =-+ 过点C ，易知(03)C ，，3c ∴=．又抛物线2y ax bx c =++过点(10)(30)A B ，，，， 309330a b a b +==?∴?++=?，．解得14a b =??=-?，． 2 43y x x ∴=-+．（3）连结P B ，由22 43(2)1y x x x =-+=--，得(21)P -，，设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，在R t P B M △中，1PM M B ==， 452PBM PB ∴== ，∠．由点(30)(03)B C ，，，易得3O B O C ==，在等腰直角三角形O BC 中，45ABC = ∠，由勾股定理，得32BC =．假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与A B C △相似． ①当 B Q P B B C A B =，45PBQ ABC == ∠∠时，PBQ ABC △∽△．即 2232 B Q = ，3BQ ∴=，又3B O = ，∴点Q 与点O 重合，1Q ∴的坐标是(00)，． ②当 Q B P B A B B C = ，45Q BP ABC == ∠∠时，QBP ABC △∽△． A B C P O y 2x = A B C P O x y 2x =

北师大版初三数学复习计划

北师大版初三数学复习计划 Prepared on 21 November 2021

九年级数学中考备考复习计划一、复习的整体思路初三数学总复习，通常分三个阶段。第一阶段：全面复习基础知识，夯实“三基”。通过第一阶段的复习，使学生系统的掌握基础知识，基本技能和基本方法，形成清晰的知识网络和稳定的知识框架。第二阶段：综合运用知识，强化能力培养。第二阶段的复习既不是知识的复习，更不是知识的压缩，而是一个知识总综合、巩固、完善、提高的过程。即注重知识的整合，又注重查缺补漏，力求使各部分知识成为一个有机的整体。实现基础知识重点化、重点知识网络化、网络知识题型化、题型设计生活化。在这一阶段要以数学思想方法为主线，学生的综合训练为主题，克服重复，突出重点。在数学应用方面，注意数学知识与生活的联系，穿插专题复习，培养学生渗透题型生活化的意识，以此提高学生对阅读理解题的审题能力。第三阶段：考前模拟，建立自信。此阶段注重提高学生的整体能力，包括知识的深化巩固，能力的培养提高，解体的技巧和方法，运算速度和准确率等方法，要注意及时评价，及时反馈。二、复习的整体策略和方法整体策略为以课本为主，紧扣教材，注重基础知识，基本技能和基本方法的训练和落实，决不放弃课本。

整体方法为：以小题组训练为主，强化落实，力求一课一练，一张一测，注重反馈和评价，不断总结。三、复习课时安排第一阶段：按照初中数学知识体系，整体可划分为“数与式、方程(组)与不等式(组)、函数与函数图像、图形初步、三角形、四边形、圆、对称旋转、三角函数、统计与概率”共10个单元。具体时间可划分及课时安排如下：

新北师大九年级数学下册知识点总结

新北师大九年级数学下册知识点总结 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos ;

图1 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： 30 o 45 o 60 o sin α cos α tan α 1 图2 h i=h:l l B

中考数学压轴题精选讲义

2010年中考数学压轴题【001 】如图，已知抛物线2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．图16

北师大版初三数学知识点总结

北师大版初三数学上册知识点汇总第一章证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） A C B O 图1 图2 O A C B D E F

北师大版初三下册数学知识点总结

第一章直角三角形边的关系 ※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠= cos ; ※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．

中考数学压轴题(含答案)

2016中考压轴题突破训练目标 1.熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法； 2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。题型结构及解题方法压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。

答题规范动作 1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。 2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。 3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。 23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；面积问题，要突出面积表达的方案和结论；几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；存在性问题，要明确分类，突出总结。 4.20分钟内完成。实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。课程名称： 2014中考数学难点突破 1、图形运动产生的面积问题 2、存在性问题 3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题） 4、2014中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综合训练）

一、图形运动产生的面积问题一、知识点睛 1. 研究_基本_图形 2. 分析运动状态： ①由起点、终点确定t 的范围； ②对t 分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置． 3. 分段画图，选择适当方法表达面积．二、精讲精练 1. 已知，等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上，沿AB 方向以1 厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其他边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形并求出该矩形的面积．（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 1题图 2题图 2. 如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝ CD 高CE ＝，对角线AC 、BD 交于点H ．平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发，沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ，当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒，直线RQ 平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x 秒．（1）填空：∠AHB ＝____________；AC ＝_____________；（2）若213S S ，求x ． 3. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点P 、Q 同时从点C 出发，以1cm/s 的速度分别沿CA 、 CB 匀速运动，当点Q 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．过点P 作AC 的垂线l 交AB 于点R ，连接PQ 、RQ ，并作△PQR 关于直线l 对称的图形，得到△PQ'R ．设点Q 的运动时间为t （s ），△PQ'R 与△PAR 重叠部分的面积为S （cm 2）．（1）t 为何值时，点Q' 恰好落在AB 上（2）求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．（3）S 能否为9 8 若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． C B A B C P R Q Q' l A C M N Q P B C H D C B A A B C H H D C B A A B C D M N R Q F G H E H D C B A H D C B A

北师大版九年级数学上册知识点总结

九（上）数学知识点答案第一章证明（一） 1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线

中考数学压轴题精选及答案(整理版)

20XX 年全国各地中考数学压轴题精选 1、（黄石市20XX 年）（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1 O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合），直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。（1）如图（8），若 AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =；（2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O C AD ⊥；（3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。 2、（黄石市20XX 年）（本小题满分10分）已知二次函数 2248y x mx m =-+- （1）当2x ≤时，函数值 y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。（2）以抛物线 2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。（3）若抛物线 2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。

3、（20XX 年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0），与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与 y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标；（４分）（2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数 x k y = 的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）． 4、庆市潼南县20XX 年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. 第3题图 χ y

北师大版九年级数学知识点汇总

北师大版九年级数学 , 知识点汇总第一章特殊平行四边形一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。）

（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。（4）平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积：S平行四边形=底ⅹ高二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。《 2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。（2）菱形的四条边都相等。（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（3）四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。、 2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。（2）矩形的四个角都是直角。（3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积：S矩形=底ⅹ高

北师大版初中数学知识点总结

初中数学知识点总结第一章实数考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； …等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a 的平方根记做“a ± ”。 2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 0≥a 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ==a a 2 a （a ≥0） ==a a 2 -a （a <0）；注意a 的双重非负性：

北师大版数学九年级下册：综合测试题

D C B A 30° 45° E D C B A o 北师大版九年级数学下册检测试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边.则有（） A.b ＝a tan A B.b ＝c sin A C.a ＝c cos B D.C ＝a sin A 2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，?BC ＝?CD ＝?DE ，∠BOC ＝40°，那么∠AOE ＝（） A.40° B. 60° C.60° D.120° 3.如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的度数为（） A.30° B.40° C.50° D.60° 4.如图4，在直角坐标系中，圆O 的半径为1 2y x =-+与圆O 的位置关系是（）Ａ．相离Ｂ．相交Ｃ．相切Ｄ．以上三种情形都有可能 5.二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数y=ax+c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（） A ． B ． C ． D ． 6.如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（） A.200米 3米 3 3+1)米 7.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是（） A. 1 2 B.22 C.32 D. 33 8.已知点A (1，y 1)，B (－2，y 2)，C (－2，y 3)在函数y ＝12x 2－1 2 的图像上.则y 1、y 2、y 3的大小关系是（） A.y 1＜y 2＜y 3 B.y 1＞y 2＞y 3 C.y 1＞y 3＞y 2 D.y 3＞y 1＞y 9.如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线m x a y +-=2 )(顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( ) A ．－3 B ．1 C ．5 D ．8 E D B C A O C B A O O 1 1 1- 1- y x 图4

初中数学压轴题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 中考数学压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为???? ? ?--a b ac a b 44,22 ） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作 QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的

值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* P 图 3 B D 图 2 B 图 1 A B C D E R P H Q

北师大版九年级下册数学期末试卷

北师大版九年级下册数学期末试卷一．选择题（共10小题） 1．下列式子错误的是（） A．cos40°=sin50°B．tan15°?tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30° 2．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（） A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10° B．C．AC=1.2tan10°米D．AB=米 3．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2 C． D． 4．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（） A．B．C．D． 5．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4 6．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（） A．x 1=﹣3，x 2 =﹣1 B．x 1 =1，x 2 =3 C．x 1 =﹣1，x 2 =3 D．x 1 =﹣3，x 2 =1 7．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）

A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 8．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB=40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于（） A ．40°，80° B ．50°，100° C ．50°，80° D ．40°，100° 9．已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB=8，CD=2，则△BCE 的面积为（） A ．12 B ．15 C ．16 D ．18 10．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b ＜0；②c ＞0；③a+c ＜b ；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题（共10小题） 11．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA 的值是． 12．在将Rt △ABC 中，∠A=90°，∠C ：∠B=1：2，则sinB= ． 13．已知cos α=，则的值等于． 14．已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ． 15．若二次函数y=2x 2﹣4x ﹣1的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则+ 的值为． 16．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线上，点N 在直线y=﹣x+3上，设点M 坐标为（a ，b ），则y=﹣abx 2+（a+b ）x 的顶点坐标为． 17．若⊙O 的直径为2，OP=2，则点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O ．

2017年挑战中考数学压轴题(全套含答案)

第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年衡阳市中考第28题例2 2014年益阳市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年张家界市中考第25题例5 2016年常德市中考第26题例6 2016年岳阳市中考第24题例7 2016年上海市崇明县中考模拟第25题例8 2016年上海市黄浦区中考模拟第26题 §1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年长沙市中考第26题例10 2014年张家界市第25题例11 2014年邵阳市中考第26题例12 2014年娄底市中考第27题例13 2015年怀化市中考第22题例14 2015年长沙市中考第26题例15 2016年娄底市中考第26题例16 2016年上海市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年河南省中考第23题

§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年益阳市中考第21题例20 2015年湘潭市中考第26题例21 2016年郴州市中考第26题例22 2016年上海市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市绍兴市中考第24题 §1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年岳阳市中考第24题例25 2014年益阳市中考第20题例26 2014年邵阳市中考第25题例27 2015年郴州市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年衡阳市中考第26题例30 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年上海市徐汇区中考模拟第24题 §1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年常德市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题

北师大版初三数学知识点总结

北师大版初三数学知识点总结 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

北师大版初三数学上册知识点汇总第一章证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o ，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o 的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：222c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式> A C B O 图1 图2 O A C B D E F

(完整版)新北师大九年级数学下册知识点总结

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一?锐角三角函数 1. 正切：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A 的正切，记作 tanA , ① tanA 是一个完整的符号，它表示/A 的正切，记号里习惯省去角的符号“/”； ② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比； ③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”； ④ 初中阶段，我们只学习直角三角形中，/A 是锐角的正切； ⑤ tanA 的值越大，梯子越陡，ZA 越大；ZA 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2. 正弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦，记作sinA ，即sin A A 的对边 ................................... """■ 斜边 3. 余弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA ，即cosA A 的邻边 .............................. ■■■■■ 斜边之变化三?三角函数的计算 1. 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大 < sin a< 1， 0< cos a< 1。 4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 i tan A l 5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角...。如图3，OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。 6. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角.。如图4，OA 、即 tanA A 的对边 A 的邻边锐角A 的正弦、余弦和正切都是/A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随 30 o 45 o 60 o sin a 1 亞矗 2 2 2 cos a 旦返 1 2 2 2 tan a 迴 3 1 3. 规律：禾U 用特殊角的三角函数值表，可以看岀, （1）当角度在0 °?90°间变化时，正弦值、正切（或减小）而减小（或增大）。（2）0 （或坡比）。用字母i 表示，即二?特殊角的三角函数值图2

初三数学压轴题专题训练试题

初三数学压轴题专题训练 1、如图，在矩形 ABCD 中， AB =3， BC =4．动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 运动，到达 A 点后立刻以原来的速度沿 AB 返回．点 P 、 Q 运动速度均为每秒1个单位长度，当点 P 到达点 C 时停止运动，点 Q 也同时停止．连接 PQ ，设运动时间为 t（ t >0）秒．（1）在点Q从B到A的运动过程中，当t=_______时，PQ AC ；（2）伴随着P、Q两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线为l. ①当l经过点 A 时，射线PQ交 AD 于点 E ，求 AE 的长； ②当l经过点 B 时，求 t 的值． 2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为2．函数 y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，（1）图1中，连接CO并延长和AB交于点G，求证：CG⊥AB；（2）图2中，当点P从B出发，以1个单位/秒的速度在线段AB上运动，连接PO，当直线PO与⊙C相切时，求点P运行的时间t是多少？ (3) 图3中，当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，如果C M⊥EF于点M，令PO＝x，MO＝y，求y与 x之间的函数关系式，写出x的取值范围。

3、在Rt AOB ?中， 3 3,sin ,5 OA B P == 、M 分别是BA 、BO 边上的两个动点。点M 从点B 出发，沿 BO 以1单位/秒的速度向点O 运动;点P 从点B 出发，沿BA 以a 单位/秒的速度向点A 运动;P 、M 两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动。设运动的时间为t . (1)线段AP 的长度为 (用含a 、t 的代数式表示); (2)如图①连结PO 、PM ，若1a =, PMO ?的面积为S ，试求S 的最大值; (3)如图②连结PM 、AM ，试探究:在点P 、M 运动的过程中，是否存在某个时刻:，使得PMB ?为直角三角形且PMA ?是等腰三角形?若存在，求出此时a 和t 的取值，若不存在，请说明理由 . 4、如图，梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位；点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．设P 从出发起运动了t 秒．（1）如果点Q 的速度为每秒2个单位， ①试分别写出这时点Q 在OC 上或在CB 上时的坐标（用含t 的代数式表示，不要求写出t 的取值范围）； ②求t 为何值时，PQ ∥OC ？（2）如果点P 与点Q 所经过的路程之和恰好为梯形OABC 的周长的一半， ①试用含t 的代数式表示这时点Q 所经过的路程和它的速度； ②试问：这时直线PQ 是否可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的t 的值和P 、Q 的坐标；如不可能，请说明理由．

北师大版初中数学知识体系知识讲解

初中数学知识体系D-1 第一章数式与平面直角坐标系 1、数：实数、数轴、相反数、倒数、绝对值、科学记数、近似数、有效数字、平方根、立方根、实数的混合运算 2、整式：列代数式、单项式、多项式、去括号、合并同类项、平方差公式、完全平方公式、因式分解、、非负的三种情况（绝对值、平方、平方根）、整式的混合运算 3、分式：分式的意义、约分和通分、分式的混合运算 4、幂：同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂、负数指数幂、大小比较 5、二次根式：二次根式的意义、二次根式的的性质、二次根式的混合运算 6、平面直角坐标系：象限、点到坐标轴的距离第二章方程与不等式

1、一元一次方程：等量关系、解一元一次方程的步骤(去括号、去分母、移项、合并同类项) 2、二元一次方程组：解二元一次方程组的步骤、代入消元法、加减消元法、整体消元法 3、一元二次方程：根的判别式、根与系数关系、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 4、分式方程：解题步骤（提公因式、公式法、十字相乘、分组分解）、增根、验根 5、不等式：不等式的基本性质、不等式组的解集、不等式中字母的取值范围第三章函数 1、函数：变量关系、函数自变量的取值范围、函数表示方法、分段函数、画函数图像 2、一次函数：一般形式、正比例函数、待定系数法、图像和性质、平移 3、二次函数：一般形式、常见表达式、

顶点坐标及其意义、图像与性质、平移 4、反比例函数：一般形式、图像与性质、k的意义 5、三角函数：正弦、余弦、正切、特殊角的三角函数值、锐角三角函数的性质、等角代换法、参数法、构造法第四章平面与空间几何 1、几何基础：点、线、面、体、角、展开图、欧拉公式、平移、轴对称、中心对称、三视图、平行投影与中心投影、尺规作图、几何证明 2、三角形：四线、边角关系、等腰三角形、等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质、全等三角形的判定条件、倍长中线法、截长补短法、比例的基本性质、合比与等比性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定 3、平行四边形：平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、中点四边形