中点常见的辅助线(八年级)

中点常见的辅助线

中点经常所在的三角形：

全等三角形

等腰三角形：三线合一

直角三角形：斜边上的中线、

三角形的中位线：

一、一个中点常见的辅助线

（1）利用中点构建全等形：倍长中线至二倍，构建全等三角形

(2)有中点联想直角三角形的斜边上的中线

（3）由中点联想到等腰三角形的“三线合一”

1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值围是________．

2、已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．

3、正方形ABCD中，E为CD的中点，BF⊥AE于F ,连接CF，求证;CF=CB

4．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点，求证：MN⊥AC．

5．如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为_________．

6、已知梯形ABCD中，AD∥BC,且AD+BC=AB,E为CD的中点，连接AE、BE

求证;(1)AE平分∠BAD

(2) BE平分∠ABC

(3)AE⊥BE

练习：

1、已知正方形ABCD中，E为CD的中点，AE平分∠BAF．求证：AF=BC+CF

6、在△ABC（AB≠AC）中，在∠A的部任做一条射线，过B、C两点做此射线的垂线BE和CF，交此射线于E、F，M为BC的中点，求证：MD=ME．

等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图所示放置，M为AE的中点，连接DM、BM，（1）求证：BM∥CE

(2)若AB=a，DE=2a，求DM、BM的长。

二、两个或多个中点常见的辅助线：

当图中有多个中点时，我们要细致分析图形特点，是否有直角三角形，等腰三角形，等边三角形，有时，要利用中点的性质分析，同时还要考虑中位线，

(一)直接连接中点构建中位线：

1．已知：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、AD 、BD 、AC 的中点．

①求证：EF 与GH 互相平分；

②当四边形ABCD 的边满足_________条件时，EF ⊥GH ．

（二）取三角形一边的中点，构建中位线：

2、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且AC=BD ．求证：OM=ON ．

（三）添加三角形的第三边，构建中位线：

如图，已知E 、F 分别为△ABC 的边AB 、BC 的中点，G 、H 为AC 边上的两个三等分点，连EG 、FH ，且延长后交于点D ，

求证：四边形ABCD 是平行四边形

A M

D C

四、添加三角形的另一边并取中点，构建中位线：

在四边形ABCD中，E、F、M分别是AB、CD、BD的中点，AD=BC．

求证：∠EFM=∠FEM．

如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连接MN．则AB与MN的关系是（）

A．AB=MN B．AB＞MN C．AB＜MN D．上述三种情况均可能出现

已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN=∠F．

五、条件中无中点时，完善图形得中位线：

如图，△ABC边长分别为AB=14，BC=16，AC=26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值是_______．

11．如图，自△ABC顶点A向∠C与∠B的角平分线CE、BD作垂线AM、AN，垂足分别是M、N，已知△ABC三边长为a、b、c，则MN=_______．

在△ABC 中，∠B=2∠A ，CD ⊥AB 于D ，E 为AB 的中点,求证：DE=2

1BC

多个中点

中点经常所在的三角形：

等腰三角形：三线合一

直角三角形：斜边上的中线、

三角形的中位线：

已知如图：在△ABC 中，AB 、BC 、CA 的中点分别是E 、F 、G ，AD 是高．求证：∠EDG=∠EFG ．

（2015?模拟）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）如图1所示在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，求证：

①AF=AG=2

1AB ； ②MD=ME ．

（2）在任意△ABC 中，仍分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的侧作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，试判断△MDE 的形状．（直接写答案，不需要写证明过程）．

（3）在任意△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则MD 与ME 有怎样的数量关系？

6、△ABC中, ∠CAB=120°,分别以AB、AC为边分别向外做正△ABD和△ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，

(1)求证：PM=PN

(2)试求∠MPN的度数

变式一：△ABC中, ∠CAB=120°,分别以AB、AC为边分别向外做等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，求证：PM=PN

变式二：△ABC中, ∠CAB=120°,分别以AB、AC为边分别向外做等腰△ABD和等腰△ACE，M 为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，求证：PM=PN

变式三：△ABC中, ∠CAB=120°,分别以AB、AC为边分别向外做等腰△ABD和等腰△ACE，M 为BD的中点，N为CE的中点，P为BC的中点，求证：PM=PN

2．如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE，求证：PD=PE．

2．如图，点O为△ABC的一点，OD⊥AB,OE⊥AC,∠1=∠2,F为BC的中点，FD、FE，求证：FD=FE．

B C