最新导数的概念及运算83142

导数的概念及运算

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导数的概念及运算

目标认知

学习目标：

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

2．熟记常函数C，幂函数x n（n为有理数），三角函数sinx，cosx，指数函数e x，

a x，对数函数lnx，log a x的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；

3．掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

重点：导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数难点：导数的概念、复合函数的导数。

知识要点梳理

知识点一：函数的平均变化率

函数中,如果自变量在处有增量,那么函数值y也相应的有增量△

y=f(x0+△x)-f(x0),其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即

。

若，，则平均变化率可表示为，称为函数

从到的平均变化率。

注意：

1．事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；

2．函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

3．函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

4．是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。

函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。

知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量Δx，函数y相应有增量

。若极限存在，则此极限称为在点x0处的导数，记作或，此时也称在点x0处可导。即：

（或）注意：增量△x可以是正数，也可以是负数。

2．导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个

函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，

注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在

处的函数值，反映函数在附近的变化情况。

3．导数几何意义：

1. 曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线

PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△,y0+△y)沿曲线无限接近于点

P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切

线。

若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的

斜率。曲线的切线是割线的极限位置，即：

。

2. 导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0的导数是曲线上点

（）处的切线的斜率。

3. 如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为：

。

4. 若曲线在点处的导数不存在，就是切线与轴平行。

，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角；

，切线与轴平行。

5（3）可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。

4. 瞬时速度：

我们知道物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。

如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体t到t+△t这段时间内，当△t→0时平均速度的极限，即

。

如果把函数看作是物体的运动方程（也叫做位移公式），那么导数表

示运动物体在时刻的瞬时速度。

知识点三：常见基本函数的导数公式

（1）（C为常数），（2）（n为有理数），

（3），（4），

（5），（6），

（7），（8），

知识点四：函数四则运算求导法则

设，均可导（1）和差的导数：

（2）积的导数：

（3）商的导数：（）

知识点五：复合函数的求导法则

1.一般地，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量

的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即或

注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏。其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。

2．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：

（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；

（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；

（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。

整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。

规律方法指导

1. 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件。具体解题时，还应结合函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，调动思维的积极性，在解决新问题时，触类旁通，得心应手。

2．熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

3. 对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

典型例题：

例1．求下列函数的导数

①y=(2x-3)5②③④y=sin32x

解析：①设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u5，u=2x-3

由复合函数的求导法则得： y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u4＝10(2x-3)4

②设u=3-x，则可分解为，

。

③

④ y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x

例2．已知曲线，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。

解析：，令，即，

得x=4，代入，得y=5，

∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即x-2y+6=0。

例3．已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。

①求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；②第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。

解析：①把x=1代入C的方程，求得y=-4，∴切点为(1,-4)，y'=12x3-6x2-18x ∴切线斜率为k=12-6-18=-12，∴切线方程为y=-12x+8。

②由得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，

。

公共点为(1,-4)（切点），，除切点外，还有两个交点

。

评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。

*例4．设，求f'(x)。

解析：当x>0时，，当x<0时，，

由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知

由于f'+(0)=f'-(0)=1，故有f'(0)=1于是：，即：

。

例5．已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。

解析：y'=3x2+2ax，令y'=0，得x=0或，

由题设x=0时，y'=y=0，此时，∴a=0；当时也解出a=0。

训练题：

1．已知函数，且f'(1)=2，则a的值为______。

2．设f(x)=xlnx，则f'(2)=________。

3．给出下列命题：

①；②(tanx)'=sec2x

③函数y=|x-1|在x=1处可导；④函数y=|x-1|在x=1处连续。其中正确的命题有：_____。

4．函数y=cosx在点处的切线方程为_______。

5．已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。

参考答案：

1. 2

2.

3. ②，④

4.

5．解：∵ f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)，∴ b=d=0，f(x)=ax4+cx2+e，

又∵图象过点A(0，-1)，∴ e=-1，∴ f(x)=ax4+cx2-1，f'(x)=4ax3+2cx，

当x=1时，f'(1)=4a+2c=-2......①

对于2x+y-2=0，当x=1时，y=0。

∴点(1,0)在f(x)图象上，a+c-1=0........②