半角的正弦余弦和正切
半角的正弦、余弦和正切
（课堂教学实录）
广西防城港市上思县上思中学
[教者]王春雷 [点评]凌旭球（中学特级教
师）
一、教学目标
1、 掌握半角公式及推导方法。
2、 理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。
3、 能熟练、合理地运用公式。
二、重点、难点分析
1、 重点：2
αS ，2
αC ，2
αT 公式的推导、识记及熟练运用。
2、 难点：2
α
S ，2
αC 公式中双重符号的选择、2
αT 三个公式的灵活运用。
三、教学用具、准备
电脑和投影设备，自制电脑课件。
四、教学过程设计 （一）复习引入
师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下：
αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
α
α
α2
tan 1tan 22tan -= （师生合作回答，然后用投影显示） 评：从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。
下面，我们一起来看一道习题：)4
,0(,5
42cos π
αα∈=，求α4cos 和
α2cos 的值。
（投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗 生：能，用二倍角公式。
师：那好，下面我们就一起来完成这道题：
25
7
1)54(212cos 2)]2(2cos[4cos 22=
-?=-==ααα ?-=1cos 22cos 2αα109254122cos 1cos 2=+
=
+=αα 10103
cos ±=?α
1010
3
cos =?α （生集体回答，师板书）
评：这道习题的设计，既起到了巩固旧知，又蕴含着准备将新知转化为旧知去研究的作用。
师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接
代入公式即可，不需要考虑值的符号；但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式子，这时就需要考虑函数值的符号了。
现在，我们再来看另一道习题，已知：)2
,0(,5
4cos παα∈=，
求2
cos α
的值。（投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢
评：用这道习题作引子，并用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确
探索目标，带着任务学。 生：不能。
师：但如果我们把看成上题的α2角，那2
α
角就变成了上题的什么角
生：α角。
师：所以，2
cos α
的值是……（稍作停顿）
生：
1010
3
。 师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的α2角换成α角，把公
式中的α角换成2
α
角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角
公式”。（师板书课题）
评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激
发学生探求新知的欲望与热情。 （二）新课讲授 1、公式推导
师：下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式”。先
探讨如何将公式变形得出2
sin α
与α角的三角函数关系。
生：由]2
sin 1[2
sin
22
cos
2sin
2sin 2
α
α
α
α
α-±==，从中解出2
sin
α。
师：不错，但这个等式太麻烦了，不便于解出2
sin α
，能否用更简洁的方
法来求解呢
生：可以利用2
sin 21cos 2
α
α-=得出2
cos 12
sin 2
α
α
-=
，从而2
sin
α
2
cos 1α
-±
= 师：（板书）对，但公式中“±”号的确定是关键，是不是两个都要呢
生：（稍作讨论后回答）不是，应根据2
α
角所在的范围中正弦的符号来选
取。
师：具体的说，就是
2
α
角在第一、二象限时取……（稍作停顿） 生：“+”号。
师：当2
α
角在第三、四象限时取……（稍作停顿）
生：“-”号。
师：如果没有指明
2
α
角的范围呢 生：“±”号都要。
评：师生合作导出“半角正弦”公式，在教师的“主导”下，让学生积
极主动地探索，依靠学生自己的思维去获取知识，也顺利地解决了“±”号的确定这一关键性问题。
师：很好。下面我们接着来研究2
α
角的余弦。
生：利用12cos 2cos 2-=αα得出2
cos 12cos 2α
α+=，从而2cos 12cos αα+±=。
师：（板书）这里又出现了“±”号，请大家参照刚才的方法总结一下。
生：当2
α
角在第一、四象限时取“+”，在第二、三象限时取“-”；如果
没有指明2
α
角的范围时，“±”号两个都要。
评：有了“半角正弦”的推导作样板，“半角余弦”的导出自然水到渠成。 师：不错。我们现在已导出了半角的正弦、余弦公式，如果利用同角三
角函数关系式，你能马上得出半角的正切公式吗
生：能。由商数关系得：αααααααcos 1cos 12
cos 12cos 12
cos
2sin
2tan +-±
=+±
-±== 评：点拔恰当，在此使学生感受到“联想”的作用。
师：（板书）由于分子、分母都有“±”号，能否把“±”号约掉 生：不能。
师：那么又如何理解结果中的“±”号呢
生：是分子、分母的“±”号搭配的结果——当分子、分母同号时取“+”，
分子、分母异号时取“-”。
师：由这一搭配的结果，你能根据2
α
角所在的范围说出如何选取正切符
号吗
生：能。当
2
α
角在第一、三象限时取“+”，在第二、四象限时取“-”；当没有指明2
α
角的取值范围时，应该同时取“±”号。
师：此外，还有没有其它方法来处理这双重符号呢（生困惑，议论）
评：问题提得好，将学生自然引导到对“半角正切”公式的深层探讨上。
师：我们能不能利用乘除符号性质来判断
2
cos
2sin
αα与2cos 2sin αα是同号还是异号呢
生：能，是同号。
师：那么2
tan α
与αsin 呢
生：也是同号。
师：根据这种思路，下面我们进一步来研究2
tan α
的公式，使它变得更简
单，更便于使用。由于2cos 2sin 2
tan ααα=
，将2
cos
2sin αα的分子、分母同时乘以22sin α或22cos α，使2
sin α
变成αsin ，那么会得到什么结果呢
生：ααααα
α
α
αα
cos 1sin 2
cos
22cos 2cos
22
sin
2
cos
2sin 2
tan
+=??==
或ααααα
α
α
αα
sin cos 12sin 22cos 2sin
22sin
2
cos
2sin 2
tan
-=??==
（师板书） 2、公式识记
师：至此，我们已经把本节课要学习的“半角公式”全部推导出来了。
下面，我们一起来探讨对这组公式的初步理解与记忆。（投影显示公式）
2
sin
α
2
cos 1α-±
= ⑴ （
2
α
S ）
2cos 12
cos α
α
+±=。 ⑵ （2αC ） αα
α
cos 1cos 12
tan
+-±
= ⑶ （2
αT ）
αα
cos 1sin +=
⑷
αα
sin cos 1-=
⑸ （2αT ）’ 师：首先明确公式成立的条件，即α角的取值范围，先看⑴、⑵。
生：公式⑴、⑵的条件是R ∈α。 师：再看公式⑶、⑷。
生：对于公式⑶、⑷，需满足左、右两式均有意义，即：ππ
αk +≠2
2
，且
0cos 1≠+α，所以Z k k ∈+≠,)12(πα。
师：那么公式⑸的条件呢
生：ππ
αk +≠2
2，且0sin ≠α，即：Z k k ∈+≠,)12(πα，
且παk ≠，所以παk ≠，Z k ∈。
师：公式⑷、⑸都是从式子2
cos
2sin 2
tan α
αα
=
推出的，为什么成立的条件不相同呢
生：（稍作议论后回答）因为同乘以22
sin
α
时，不能保证它一定不为零，
为了保证变形的等价性，需添上条件
πα
k ≠2
，即παk 2≠，所以增加
了公式的使用条件。
师：现在我们将公式成立的条件总结如图所示，希望大家在使用时加以
注意。
师：下面我们一起探讨对公式如何记忆。请大家先仔细观察半角的正切
公式，然后对下列这四个式子，ααcos sin 1-，ααcos sin 1+，ααsin 1cos +，
αα
sin 1cos -（投影显示）进行判断，是否是2
tan α
公式的表达式
生：都不是。
师：对，在2
tan α
的表达式中，只含有三种不同的式子：αcos 1+，α
cos 1-和αsin ，而αcos 1+若出现一定会在分母上，如⑶、⑷；若αcos 1-出现则一定出现出分子上，如⑶、⑸；而⑷、⑸两个公式，一旦分子
或分母确定下来，另一个位置肯定就是αsin 。同时，根据2
cos
2sin 2
tan ααα=
的性质，我们就可以很容易地建立起αcos 1-与2sin
α
，
αcos 1+与
2
cos
α
的联系。当然，最好的记忆方法还应该是在公式的应用中熟悉、
并掌握下来。
评：揭示公式成立的条件及内在联系，理清其结构形式，不仅使学生改
变死记硬背公式的习惯，而且掌握了公式的本质达到识记作用。这样做可拓展学生的思维领域，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3、巩固练习
师：下面，请大家应用半角公式来解题，看投影：
例：已知54sin -=α，根据下列条件求2sin α，2cos
α
，2tan α的值。 ⑴)2,2
3(ππ
α∈； ⑵α为第四象限的角。
师：我们应该用什么方法来解这道题呢 生：用半角公式。
师：还需要什么条件吗
生：还需要知道αcos 和2
α
角的范围。
师：那好，我们现在请一位同学上来具体计算一下⑴。
生：（板书）⑴解：)2,2
3(ππ
α∈
),43(
2ππα
∈∴
，5
3
cos =α
5
525312cos 12sin =-
=-=∴αα 5
5225312cos 12cos -=+
-=+-=∴αα 2
cos
2sin
2
tan
αα
α
=
21-=
师：做得很好。特别值得肯定的是对
2
α
角范围的指出，因为公式中“±”号的选择要看
2
α
角的范围。 评：恰当的课内练习，起着巩固新知的作用，而对学生练习作实事求是
的评价，非常重要，可使学生感受成功的乐趣。
师：下面，我们来做⑵。由于时间关系，我们只要求指出各值的符号即
可。
生：α 为第四象限，παππk k 22
2<<-∴，即)(,2
4
Z k k k ∈<<-πα
ππ。
当k 为偶数时，2
α为第四象限的角；当k 为奇数时，2
α
为第二象限的
角。
当
2
α
为第二象限时，αcos 为正，2sin α为正，2cos α为负，2tan α为负。
当2
α
为第四象限时，αcos 为正，2sin α为负，2cos α为正，2tan α为负。
师：不错，下面大家比较一下这两道小题的计算，你们有何发现，或有什么疑问吗
生：⑴中的)2,2
3(ππ
α∈是第四象限的角，⑵中的α角也是第四象限的角，
为什么⑴只有一组解，而⑵却有两组解呢
师：问题提得好。这是因为⑴中的α角是区间角，只是第四象限角中的
一部分，2
α角只有一种可能；而⑵中的α是象限角，2
α
角有两种可
能。所以我们要在解题时一定要注意区分区间角和象限角这两个不同的概念。 （三）归纳小结
这节课我们一起导出了“半角公式”，并做了初步的理解与应用。在这里我们要注意以下几点：
⑴ 半角与倍角是相对的，也是紧密联系的，是同一种关系的不同表现形式。
⑵ 对公式的记忆要采取合成记忆的方法，即对比记忆（求同）结合特例记忆（求异）来进行。
⑶ 要处理好公式中双重符号的选择。（投影显示以上三点）
至于对半角公式的进一步综合应用将在下节课继续研究。
评：必要的归纳、总结，起到将知识升华及迁移运用，使之转化为能力
的作用。则对公式的灵活运用，有待后续课程的强化。 （四）布置作业：
课本题224P 1、2、3题
五、课堂设计说明
本节课没有直接给出公式，而是采用启发式教学，注重学生的参与度，通过提问、板演、投影、讨论等多种形式引导学生对公式的内容、
推导进行独立思考、探索，培养学生联系转化的辩证思想。
总评：
本课教者从与新知相关的旧知“二倍角公式”复习入手，设计了两道习题作为探求新知的引子，将所学新知识转化为用旧知识去研究解决，即符合认识规律，又为探求新知起到前期测诊及扫清障碍的作用。
在讲授中，采用师生对话、合作讨论的启发式教学方法，全程围绕教学目标开展，从旧知自然引申到新知，有层次地引导学生向深层探索，逐步展开，充分显示了教师的主导作用。而学生始终直接参与到学习新知识的活动中去，获得动脑以致动手的实践机会，自觉地积极思维，能动地获得知识和技能，充分地体现了学生的主体地位。
小结中强调的对公式的识记方法，起到了帮助学生对新知进行梳理的作用，而指出的“半角与倍角是相对的……”，起到了培养学生辩证唯物主义观点的作用。
倘若有条件，让学生用刚学的“半角公式”和前学的“差角公式”分别计算
15
tan的值，学生会发现两种结果不统一，然cos，
15
sin，
15
后让学生思考如何去解决答案不统一的问题，那效果更佳。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知 识 梳 理 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(αβ)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β 1tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝ 1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 . (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝ 2sin ? ?? ?? α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ； ④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ． 2
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 ①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β(T (α－β)) ⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β(T (α＋β)) (2)公式变形 ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式 ①sin 2α＝2sin_αcos_α， ②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α . (2)公式变形 ①cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2 α＝1－cos 2α2 ； ②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(π α±. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意
二倍角正弦、余弦、正切公式教案
二倍角的正弦、余弦、正切 王业奇
α 1tan tan 二、提出问题：若β = α 让学生板演得下述二倍角公式：
一、例题： 例一、（公式巩固性练习）求值： 1．sin22 30’cos22 30’=4 2 45sin 21= 2．=-π 18 cos 22 224cos = π 3．=π -π8 cos 8sin 22 224cos - =π- 4．=ππππ12 cos 24cos 48 cos 48 sin 8 2 16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ +- 2 25553 sin cos cos 121262 πππ=-=-=
2．=α-α2sin 2cos 44 α=α -αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3． =α+-α-tan 11tan 11α=α -α 2tan tan 1tan 22 4．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。 解：sin2 cos2 = 57 tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22 22222=θ +-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、 条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ +θ2 cos 2sin ， 那么甲是乙的什么条件？ 解：= θ+sin 1a =θ +θ2)2 cos 2(sin 即a =θ +θ|2 cos 2sin | 当 在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、（P43 例一） 已知),2 (,135sin ππ ∈α= α，求sin2，cos2，tan2的值。 解：∵),2 (,135sin ππ ∈α=α ∴1312 sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2 = 2sin cos = 169 120 -
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦、余弦和正切 学习目标： 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程； 2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式. 学习重点： 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式． 学习难点：半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取． 知识链接： 1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= ； cos 2α= = = ； tan 2α= . 一、预习案： 问题1：若7cos 25α=，且α为锐角，则sin 2 α= ， cos 2α = ，tan 2α = . 1?在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得2sin 2 α= 2?在1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α即得2cos 2 α= 3?以上结果相除得2tan 2α= 半角公式：sin 2 α= （1） cos 2α= （2） tan 2α = = = （3） 问题2：半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题？
问题3：你能根据上面的公式解答下列问题吗？ 1、求值：（1）sin15 （2）cos15 （3）tan 8π 二、学习案： 例1：已知sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2 的值． 跟踪训练：已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2 ，求sin φ，cos φ的值． 例2：化简： 1. (1＋sin α＋cos α)? ????sin α2－cos α22＋2cos α (180°＜α＜360°) 2.cot tan 1tan tan .222αααα????-+? ??????? 跟踪训练： 化简： 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααα +---+--+-
二倍角的正弦余弦和正切公式教案
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案 珠海市田家炳中学：温世明 一、知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； 3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具 学法：研讨式教学，多媒体教学； 六、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式， ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±； ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±． (二) 复习练习： （三）公式推导： 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢 ？
最新3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式教案
马鞍山中加双语学校数学组学引用清教学设计 学科： 数学 年级： 高一 授课时间： 一课时 主备人：朱坤坤 总课题 第三章 三角恒等变换 课时 1 课 题 3．1．3二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型 新授课 教学目标 知识与技能： 会以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、 余弦和正切公式 理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换. 过程与方法： 引导学生积极参与到推导过程当中 情感态度价值观： 树立辩证思维的能力，培养学生创新能力。 教学重点 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式 教学难点 二倍角的理解及其灵活运用 教 学 内 容 操作细则 一、引入新课及学习目标展示［3分钟］ 1. 引入新课：一、复习准备： 大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -． 2.学习目标展示［2分钟］ 1，会借助于两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 2，灵活运用二倍角公式进行简单的恒等变换. 二、自学指导［30分钟］ 我们已经知道两角和的正弦、余弦、正切公式 ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -． 导入部分： 激发学生学习兴趣，使学生对本节课要学内容有大概了解 使学生对本节课所学内容和要达到的目标有清晰的了解
正弦 余弦 正切二倍角公式及变形升降幂公式(完全版)
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ++=-． （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα =+=+=； ()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+= =--． 升降幂公式 2 )cos (sin 2sin 1ααα±=±
αα2cos 22cos 1=+αα2sin 22cos 1=-2 2cos 1cos 2α α+=22cos 1sin 2α α-=}}升幂降角公式 降幂升角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)
二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础) 【学习目标】 1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系. 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用． 3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα =-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释： (1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当 2 k π απ≠ +及()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是 32 α 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2 cos 2 sin 2sin α α α=； 1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2．和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ； ④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ． 2 3．当]2 ,2[π π- ∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为2 1- C ．最大值为2，最小值为－2 D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,3 2 tan tan ,7)tan(βαβαβα-= ?=+则的值 （ ） A ．2 1 B ． 2 2 C ．2 2- D ．2 2± 5．已知 =-=+=-<<<αβαβαπαβπ 2sin ,53 )sin(,1312)cos(,432则 （ ） A ．6556 B ．－6556 C ．5665 D ．－56 65 6． 75sin 30sin 15sin ??的值等于 （ ） A ． 4 3 B ． 8 3 C ．8 1 D ． 4 1 7．函数)4 cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+= +=π π其中为相同函数的是 （ ） A ．)()(x g x f 与 B ．)()(x h x g 与 C ．)()(x f x h 与 D ．)()()(x h x g x f 及与 8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++=== 则,8 1 tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．下列式子中，正确的个数为( ) ①sin ()α－β＝sin α－sin β； ②cos ()α＋β＝cos α－cos β； ③sin ()α－β＝sin αcos β－cos αsin β； ④cos ()α＋β＝cos αcos β＋sin αsin β. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值为( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－3 2 解析：方法一 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin ()7°－37°，＝sin ()－30°＝－sin 30°＝－1 2 ，故选A. 方法二 原式＝cos 83°cos 37°－sin 83°sin 37°＝cos ()83°＋37°＝cos 120°＝－cos 60°＝－1 2，故选A. 3．化简sin α－3cos α得( ) A ．2sin ????α＋π3 B ．2sin ????α－π6 C ．2cos ????α－π6 D ．2sin ????α－π3 解析：sin α－3cos α＝2????12sin α－3 2cos α ＝2sin ????α－π3.故选D. 4．逆用两角差的正切公式求3－tan 18° 1＋3tan 18° 的值等于( ) A ．tan 42° B ．tan 3° C ．1 D ．tan 24° 解析：3－tan 18°1＋3tan 18°＝tan 60°－tan 18° 1＋tan 60° tan 18° ＝tan ()60°－18°＝tan 42°，故选A. 5．逆用两角和的正切公式求1＋tan 15° 1－tan 15° 的值． 解析：1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15° 1－tan 45°tan 15° ＝tan ()45°＋15°＝tan 60°＝ 3. 巩固练习： 一、选择题： 1．化简sin119sin181sin91sin 29-o o o o 等于（ ） Ａ．12 Ｂ．12 - Ｃ． 32 Ｄ．32 - 2.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan α·tan β等于（ ） （A ）2 （B)1 (C) 12 (D)4 3.sin 12 π25cos 6π11－cos 12π11sin 6π 5的值是( )
关于正弦函数和余弦函数的计算公式
关于正弦函数和余弦函数的计算公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2) 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosα
正弦余弦换算公式
三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内只有正切是“＋”，其余全部是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”． 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) s in(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理1两角和与差的余弦公式 阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题. cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】0
教材整理2两角和与差的正弦公式 阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式 2.重要结论－辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos sin θ θ (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．() (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．() (3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．() (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.() 解：(1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°
两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题及解析
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α?β)＝cos αcos β±sin αsin β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β). (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ? ? ???α±π4.
4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α ＋φ)? ????其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)? ? ???其中tan φ＝a b . 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2 ＋k π，k ∈Z . 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－1 3，则cos 2θ＝( ) A.－45 B.－15 C.15 D.45 解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2 θ＝4 5 . 答案 D 3.(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝1 2 ，则tan β等于( )
正弦和余弦转换
正弦和余弦转换 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(42π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k2360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆
两角和与差的正弦余弦正切公式练习
两角和与差的正弦余弦正切公式 一、选择题： 1.sin 12π25cos 6π11－cos 12π11sin 6 π 5的值是 2.若sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=0，则sin （α+2β）+sin （α－2β）等 于 二、解答题 3.已知 4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4π+α）=－53，sin （4π3+β）=13 5，求sin （α+β）的值. 4.已知非零常数a 、b 满足 5 πsin 5πcos 5π cos 5πsin b a b a -+=tan 15π8，求a b . 5.已知０＜α＜ 4π，sin （4π－α）=135 ，求)4 πcos(2cos αα+的值. 6.已知sin （α+β）=3 2，sin （α－β）=4 3，求 β α tan tan 的值. 7.已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角且lgsin A －lgsin B －lgcos C =lg2.试判断此三角形的形状特征. 8.化简 ? ?-?? ?+?8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin . 9． 求值：（1）sin75°； （2）sin13°cos17°+cos13°sin17°. 10． 求sin 18π7cos 9π2－sin 9πsin 9 π 2的值. 11． 已知2 π＜α＜β＜ 4π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－5 3 ，求sin2α的值. 12． 证明sin （α+β）sin （α－β）=sin 2α－sin 2β，并利用该式计算 sin 220°+ sin80°·sin40°的值. 13． 化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］·?80sin 22.