高等数学试卷及答案
《高等数学》试卷
一、
选择题：（每小题3分，共36分）
1．函数y=3
1x
1
ln -的定义域是（ ） A ．),0()0,(+∞?-∞ B ．),1()0,(+∞?-∞ C ．(0,1]
D ．(0,1)
2．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 ( ) A.平行于ｘｏｙ面的平面 B.平行于ｏｚ轴的平面 C.过ｏｚ轴的平面 D.直线
3．函数f(x)在点x=x 0处连续是f(x)在x=x 0处可导的（ ） A ．必要条件
B ．充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分条件又非必要条件
4．设3
3
2
(,)x
f x y x y x ytg
y
=++，则f(tx,ty)＝ ( ) A.ｔｆ（ｘ，ｙ） B.ｔ2ｆ（ｘ，ｙ） C.ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） D.
21
t
ｆ（ｘ，ｙ） 5．设ａn ≥０，且1
lim
n n a p a
→∞+=，则级数1n n a ∞=∑ ( ) A.在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 B.在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 C.在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 D.在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散 6．方程y '＋３ｘｙ＝６ｘ2
ｙ 是 ( )
A.一阶线性非齐次微分方程
B.齐次微分方程
C.可分离变量的微分方程
D.二阶微分方程 7.当0x →时，与2
3
32x x +等价的无穷小量是 （ ） A.3
2x B.2
3x C.2
x D.3
x 8.2x
e dx -?
等于 （ ）
A.22x
e
C -+ B.212x e C -+ C.22x e C --+ D.21
2
x e C --+
9．22
00
lim sin
x y xy
xy x y
→→+ ＝ ( ) A. ０ B. １ C. ∞ D. ｓｉｎ１
10．对微分方程 ｙ"＝ｆ（ｙ，y '），降阶的方法是 ( ) A. 设y '＝ｐ，则 ｙ"＝p ' B.设y '＝ｐ，则 ｙ"＝
dp dy
C. 设y '＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ
dp dy D. 设y '＝ｐ，则 ｙ"＝1dp p dy
11．设幂级数0
n n n a x ∞
=∑在ｘo （ｘo ≠０）
收敛， 则0
n n n a x ∞
=∑ 在│ｘ│〈│ｘo │ ( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与ａn 有关 12．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2
所围成，则
sin D
x
d x σ??＝ ( ) A.1
1
00sin x
dx dy x ??
B.10sin y x dy dx x ?
C.10x x dx dy x ?
D.10x x dy dx x
?
二、填空题：（每小题4分，共１6分）
13．41x
x -?ｄｘ＝_____________。
14．1
lim sin x x x
→∞=___________。
15
．累次积分
220
()R
dx f x y dy +?
化为极坐标下的累次积分为_______。
16．设级数
1
n
n a
∞
=∑发散，则级数
1000
n n a ∞
=∑
_______________。
三、解答题：（总分48分） 17．计算
2(1)x dx
e +?.(8分)
18．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。（10）分
19．设
sin
x x
u e
=，求ｄｕ。（10分）
20．将
3
()
(1)(2)
f x
x x
=
-+
展成的幂级数。（10分）
21．借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，1
3x
>-。（10分）
21
．证：令1
()3f x x
=+
-则ｆ（ｘ）在区间［１，＋∞］连续 （10分）
而且当ｘ〉１时，2
1
()0f x x '=
-
> 因此ｆ（ｘ）在［１，＋∞］单调递增 从而当ｘ〉１时，ｆ（ｘ）〉ｆ（１）＝０
即当ｘ〉１时，13x
>-
高等数学（90学时A 卷）参考解答与评分标准
一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)
1．设函数??
?>≤=1
||01
||1)(x x x f ，则 )]([x f f = 1 ),(+∞-∞∈x 。
2．设函数?????≥+<=020
2sin )(x a x x x x x f ，当常数=a _2___时,)(x f 在0x =处连续.
3．曲线x
e y 2=上点（0，1）处的切线方程为 12+=x y
4．曲线5352
3
++-=x x x y 的凹区间为 ),3
5(+∞ . 5．若x
e -是)(x
f 的原函数，则dx x f x )(ln 2?
= C x +-
2
2
1.
二．选择题(每小题3分,本大题满分15分)
1. 当1x →时，无穷小量x -
1是x -1的( D ).
A. 高阶无穷小;
B. 低阶无穷小;
C. 等价无穷小;
D. 同阶但不等价无穷小.
2．若∞=→)(lim x f a
x ，∞=→)(lim x g a
x 则必有（ D ）
A. ∞=+→)]()([lim x g x f a
x ; B. ∞=-→)]()([lim x g x f a
x ;
C. 0)
()(1
lim =+→x g x f a
x ; D. ∞=→)(lim x kf a x ，（0≠k 为常数）