数学归纳法习题
数学归纳法习题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
§ 数学归纳法
(时间：50分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在
第二步时，正确的证法是 ( )
A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立
B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立
C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立
D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立
2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1
A ．2k －
1 B ．2k －1
C ．2k
D ．2k ＋1
3．(2011·巢湖联考)对于不等式n 2＋n 下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法 ( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确 D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 4．用数学归纳法证明“n 2＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开 ( ) A ．(k ＋3)3 B ．(k ＋2)3 C ．(k ＋1)3 D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3 5．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2 ＋…＋12n <1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推 到n ＝k ＋1时不等式左边 ( ) A ．增加了一项12k ＋1 B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2 C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1 D ．以上各种情况均不对 二、填空题(每小题4分，共16分) 6．(2011·淮南调研)若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是_____． 7．观察不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13 ＋…＋131>52 ，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)． 8．(2011·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________． 9．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n (n ∈N *)行，在这些数中非1的数字之和是 ________________． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 三、解答题(共3小题，共34分) 10．(本小题满分10分)试证：当n ∈N *时，f (n )＝32n ＋ 2－8n －9能被64整除． 11．(本小题满分12分)已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12 a n ·(4－a n )(n ∈N )． 证明：a n 12．(本小题满分12分)(2011·开封调研)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ， a n ＋1成等差数列， b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4与b 2，b 3，b 4的值，由 此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论． 一、选择题(每小题5分，共25分) 1． 解析：A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数． 答案：D 2． 解析：增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k ＋1－2k ＝2k . 答案：C 3． 解析：在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法． 答案：D 4． 解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 2＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可． 答案：A 5． 解析：∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3 ＋ (12) ＋12k ＋1＋12k ＋2 ， ∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1k ＋1 . 答案：C 二、填空题(每小题4分，共16分) 6． 解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2， ∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2 7． 解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2 . 答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2 8． 解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …； 一个整数n 所拥有数对为(n －1)对． 设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60， ∴n －1n 2 ＝60， ∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)． 答案：(5,7) 9． …… 解析：所有数字之和S n ＝20＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，除掉1的和2n －1－(2n －1)＝2n －2n . 答案：2n －2n 三、解答题(共3小题，共34分) 10 证明：证法一：(1)当n ＝1时，f (1)＝64，命题显然成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除． 当n ＝k ＋1时，由于32(k ＋1)＋2－8(k ＋1)－9 ＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)， 即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立． 根据(1)、(2)可知，对于任意n ∈N *，命题都成立． 证法二：(1)当n ＝1时f (1)＝64 命题显然成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋ 2－8k －9能被64整除． 由归纳假设，设32k ＋2－8k －9＝64m (m 为大于1的自然数)， 将32k ＋2＝64m ＋8k ＋9代入到f (k ＋1)中得 f (k ＋1)＝9(64m ＋8k ＋9)－8(k ＋1)－9＝64(9m ＋k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立． 根据(1)(2)知，对于任意n ∈N *，命题都成立． 11．(本小题满分12分)已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12 a n ·(4－a n )(n ∈N )． 证明：a n 证明：证法一：用数学归纳法证明： (1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32 ，所以a 0 则当n ＝k 时，a k －a k ＋1 ＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k )＝2(a k －1－a k )－12 (a k －1－a k )(a k －1＋a k ) ＝12 (a k －1－a k )(4－a k －1－a k )． 而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0，所以a k －a k ＋1<0. 又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12 [4－(a k －2)2]<2.所以n ＝k 时命题成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N 时有a n 证法二：用数学归纳法证明： (1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32 ，所以0 x (4－x )，f (x )在[0,2]上单调递增， 所以由假设有：f (a k －1) 即12a k －1(4－a k －1)<12a k (4－a k )<12