电动力学习题解答3(精品文档)

第三章静磁场

1. 试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场0B ，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。

解：0B 是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 z B e B 00=，由矢势定义B A =??得

0//=??-??z A y A y z ；0//=??-??x A z A z x ；0//B y A x A x y =??-??

三个方程组成的方程组有无数多解，如：

○

10==z y A A ，)(0x f y B A x +-= 即：x x f y B e A )]([0+-=； ○20==z x A A ，)(0y g x B A y += 即：y y g x B e A )]([0+= 解○1与解○2之差为y x y g x B x f y B e e A )]([)]([00+-+-=? 则 0)//()/()/()(=??-??+??+?-?=???z x y y x x y y A x A z A z A e e e A 这说明两者之差是无旋场

2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n ，电流强度I ，试用唯一性定理

求管内外磁感应强度B 。

解：根据题意，取螺线管的中轴线为 z 轴。本题给定了空间中的电流分布，故可由

??=

'43

0dV r r

J B πμ 求解磁场分布，又 J 只分布于导线上，所以

??=3

04r Id r l B πμ

1)螺线管内部：由于螺线管是无限长理想螺线管，所以其内部磁场是均匀强磁场，故只须求出其中轴线上的磁感应强度，即可知道管

内磁场。由其无限长的特性，不z y x z a a e e e r ''sin 'cos ---=φφ， y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-= )''sin 'cos ()'cos ''sin '(z y x y x z a a ad ad d e e e e e r l ---?+-=?φφφφφφ

z y x d a d az d az e e e '''sin '''cos '2φφφφφ+--=

取''~'dz z z +的一小段，此段上分布有电流'nIdz

?++--=∴2

/3222

'()'''sin '''cos '('4z a d a d az d az nIdz z y x e e e B φφφφφπμ ???+∞

∞

-+∞

∞

-=+=+=z z I n a z a z d nI nI z a dz a d e e 02/3202/3222200

])/'(1[)

/'(2)'('

'4μμφπ

μπ

2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点

)0,,(φρP 为场点，其中a >ρ。

222')'sin sin ()'cos cos ('z a a r +-+-=-=φφρφφρx x

)'cos(2'222φφρρ--++=a z a

z y x z a a e e e x x r ')'sin sin ()'cos cos ('+-+-=-=φφρφφρ

y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-=

z y x d a a d az d az d e e e r l ')]'cos([''sin '''cos '2φφφρφφφφ--+--=?

????--+-+-=∴??????+∞∞-+∞∞-+∞∞-')'cos('''sin ''''cos ''432

203203200

dz r a a d dz r az d dz r az d nI z y x φφρφφφφφπ

μπππe e e B 0=

3. 设有无限长的线电流I 沿z 轴流动，在z<0空间充满磁导率为μ的均匀介质，z>0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B ，然后求出磁化电流分布。

解：设z>0区域磁感应强度和磁场强度为1B ，1H ；z<0区域为2B ，2H ，由对称性可知1H

和2H 均沿θe 方向。由于H 的切向分量连续，所以θe H H H ==21。由此得到

021==n n B B ，满足边值关系，由唯一性定理可知，该结果为唯一正确的解。

以 z 轴上任意一点为圆心，以 r 为半径作一圆周，则圆周上各点的H 大小相等。根

据安培环路定理得：I rH =π2，即r I H π2/=，()θπe H H r I 2/21== ()θπμμe H B r I 2/0111==∴，(z >0)；

()θπμμe H B r I 2/222==，(z <0)。

在介质中 ()()θμμπμe H B M 1/2//0202-=-=r I 所以，介质界面上的磁化电流密度为：

()()()()r z r I r I e e e n M α1/2/1/2/00-=?-=?=μμπμμπθ

总的感应电流：()()()1/1/2/020

-=?-=?=

??μμ?μ

μππ

θθI rd r I d I e e l M ，

电流在 z<0 区域内，沿 z 轴流向介质分界面。 4. 设x<0半空间充满磁导率为μ的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I 沿z 轴流动，

求磁感应强度和磁化电流分布。

解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作

φπμe B )2/'(r I =

它满足边界条件：0)(12=-?B B n 及0)(12==-?αH H n 。由此可得介质中：

φπμμμe B H )2/'(/2r I ==

由 M B H -=02/μ得：

在x <0 的介质中 φμμμμπμe M 0

2'-=

r I ，

则： 0

020002)('02'μμμμμφφμμμμπμπππ

-=+-=?=???I d d r r I d I M l M 再由 φφπμπμe e B )2/'(2/)(0r I r I I M =+= 可得)/(2'00μμμμμ+=，所以

r I πμμμμφ)/(00+=e B ，)/()(00μμμμ+-=I I M （沿 z 轴）

5. 某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知)2/(2

20ρ--≈z C B B z ，其中

0B 为常量。试求该处的ρB 。

提示：用0=??B ，并验证所得结果满足0=??H 。

解：由于B 具有对称性，设z z B B e e B +=ρρ，其中 )2/(2

20ρ--=z C B B z

0=??B ，0)(1=??+??∴

z B z B ρρρρ，即：02)(1=-??

cz B ρρρ

ρ， a cz B +=∴2ρρρ（常数）。

当0→ρ时，ρB 为有限，所以 0=a ；ρρcz B =，即：

z z c B cz e e B )]2/([220ρρρ--+= （1）

因为0=J ，0=D ，所以 0=??B ，即0)//(=??-??θρρρe B z B （2）直接验证可知，（1）式能使（2）式成立，所以ρρcz B =，(c 为常数)

6. 两个半径为a 的同轴圆形线圈，位于L z ±=面上。每个线圈上载有同方向的电流I 。

（1）求轴线上的磁感应强度。

（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L 和a 的关系。提示：用条件0/2

=??z B z

解：1）由毕—萨定律，L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为

z z B e B 11=，

/3222

2/3222030

1])[(121])([4sin 4a L z Ia d L z a Ia r Id B z +-=-+=?=??

μθπμαπ

μr l 同理，-L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为：

z z B e B 22=，2/322202]

)[(121a L z Ia B z ++=

μ。所以，轴线上的磁感应强度：

??????++++-=

=2/3222/32220])[(1]

)[(121a L z a L z Ia B z z μe B （1） 2）因为 0=??B ，所以 0)()(2

=?-???=????B B B ；

又因为0=??B ，所以 02

=?B ，0/2

=??z B z 。代入（1）式并化简得：

+++++--+-----2/72222/5222/7222])[()(5])[(])[()(5a z L z L a z L a z L z L 0]

)[(2

/522

=++--a z L

将 z=0 带入上式得：2

5a L L +=， 2/a L =∴

7. 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势A 的微分方

程。设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。解：矢势所满足的方程为：

?????>=?<-=?)

(,0)(,2

02a r a r 外内A J

A μ 自然边界条件：0→r 时，内A 有限。

边值关系：a

r a

r ===外

内

A A ；

a r a r ==??=

??|1

外内A A μ

选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与 z 无关。令

z r A e A )(内内=，z r A e A )(外外=，代入微分方程得：

J r r A r r r 0))((1μ-=????内；0))

((1=????r

r A r r r 外解得：212

0ln 4

1)(C r C Jr r A ++-=μ内；43ln )(C r C r A +=外

由自然边界条件得01=C ，

由 a r a r ==??=??|1|10外内A A μμ 得：232

Ja C μ

-=，由 a r a

r ===外内A A 并令其为零，得：2

0241Ja C μ=，a Ja C ln 2

24μ=。 )(41220r a -=∴J A μ内；r

a ln 212J A μ=外

8. 假设存在磁单极子，其磁荷为m Q ，它的磁场强度为3

04/r Q m πμr H =。给出它的矢

势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。解：r

m m r

Q r Q e r H 20301

44πμπμ==

由 r

r Q e H B A 204πμ===?? 得： ??????

???=??-??=??

-??=??-??0]([10)](sin 1[

14])(sin [sin 1

θφθπφθθθθ

φθφr

r m A rA r

r rA r A r r Q A A r (1) 令 0==θA A r ,得: r

Q A m πθθθφ4sin )(sin =??

?=∴θφθπθθ04sin sin d r Q A m , θ

πφsin cos 14r Q A m -= (2)

显然 φA 满足(1) 式，所以磁单极子产生的矢势φθ

πe A sin cos 14r Q m

-= 讨论：当0→θ时，0→A ；

当2/πθ→时，r Q m πφ4/e A →；

当πθ→时，∞→A ，故A 的表达式在πθ=具有奇异性，此时A 不合理。

9. 将一磁导率为μ，半径为0R 的球体，放入均匀磁场0H 内，求总磁感应强度B 和诱导磁矩m 。(对比P49静电场的例子。)

解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取H 0的方向为z e ，此球体被外加磁场磁化后，

产生一个附加磁场，并与外加均匀场相互作用，最后达到平衡，呈现轴对称。本题所满足的微分方程为：

?????>=?<=?)

(,0

)(,0022012R R R R m m ?? （1）

自然边界条件：0

1=R m ?为有限；θ?cos 02

R H R m -=∞

=。

衔接条件：在0R R =处满足 21m m ??= 及 R R m m ??=??//201?μ?μ 由自然边界条件可确定方程组（1）的解为：

∑∞==0

1)(cos n n n

n m P R a θ?； ∑∞

=+-+-=0

)1(02)(cos cos n n n n m P R d R H θθ?

由两个衔接条件，有：

∑∑∞

=+-∞

=+-=0

)1(00

)(cos cos )(cos n n n n n n n

P R d R H P R a

θθθ

∑∑∞

=+-∞

=-+--=0

)2(0000

)(cos )1(cos )(cos n n n n n n n n P R d n H P nR

a θμθμθμ

比较)(cos θn P 的系数，解得：)2/(30001μμμ+-=H a ；

)2/()(030001μμμμ+-=R H d ； 0==n n d a ，)1(≠n

即：)2/(cos 30001μμθμ?+-=R H m ，（0R R <）

20300002)2/(cos )(cos R R H R H m μμθμμθ?+-+-=，（0R R >） )2/(300011μμμ?+=-?=∴H H m

])(3[2)(30

503000022R

R R m H R R H H H -?+-+=-?=μμμμ?

??<-?+-+=<+==)(,])(3[2)()(,)2/(30305030000002

000001R R R R R R R H R R H H H H H B μμμμμμμμμμμμ 在R

)2/()(4)3/4(003

0030μμμμππ+-===∴?H M M m R R dV V

10. 有一个内外半径为1R 和2R 的空心球，位于均匀外磁场0H 内，球的磁导率为μ，求空

腔内的场B ，讨论0μμ>>时的磁屏蔽作用。

解：根据题意，以球心为原点，取球坐标，选取H 0的方向为z e ，在外场H 0的作用下，空

心球被磁化，产生一个附加磁场，并与原场相互作用，最后达到平衡，B 的分布呈现轴对称。磁标势的微分方程为：

012=?m ? )(1R R < ；022=?m ? )(21R R R << ；032=?m ? )(2R R >

自然边界条件：0

1=R m ?为有限；θ?cos 03

R H R m -=∞

=。

衔接条件：1

211

R R m R R m ===?? ； 12110//R R m R R m R R ==??=???μ?μ； 2

R R m R R m ===??； 22230//R R m R R m R R ==??=???μ?μ

由轴对称性及两个自然边界条件，可写出三个泛定方程的解的形式为：

∑∞==0

1)(cos n n n

n m P R a θ?； ∑∞

=+-+=0

)1(2)(cos ][(n n n n n n m P R c R b θ?；

∑∞

=+-+-=0

)1(03)(cos cos n n n n m P R d R H θθ?

因为泛定方程的解是把产生磁场的源H 0做频谱分解而得出的，分解所选取的基本函数系是其本征函数系)}(cos {θn P 。在本题中源的表示是：

)(cos cos 100θθRP H R H -=-

所以上面的解中， 0====n n n n d c b a ，)1(≠n 解的形式简化为： θ?cos 11R a m =；

θ?cos )(2112-+=R c R b m ；

θθ?cos cos 2103-+-=R d R H m

代入衔接条件得：2

111111-+=R c R b R a ， 2212022121--+-=+R d R H R c R b ，

)2(311110--=R c b a μμ， 32100032112)2(----=-R d H R c b μμμ。

解方程组得：

20031203

001)2)(2()(26R R R H a μμμμμμμμ++--=， 3

0031203

0001)2)(2()(2)2(3R R R H b μμμμμμμμμ++--+=，

0031203

310001)2)(2()(2)(3R R R R H c μμμμμμμμμ++---=， 3

0031203

03231001)2)(2()(2))()(2(R R R H R R d μμμμμμμμμμ++----+=。

从而，空间各点磁标势均可确定。空腔内：

z r m a a a e e e H B 101110101sin cos μθθ?μμθ-=-=?-==

当0μμ>>时，01≈a ，所以01≈B 。即空腔中无磁场，类似于静电场中的静电屏蔽。 11. 设理想铁磁体的磁化规律为00M H B μμ+=，其中0M 是恒定的与H 无关的量。今将

一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（0M 为常值）浸入磁导率为'μ的无限介质中，求磁感应强度和磁化电流分布。

解：根据题意，取球心为原点，建立球坐标系，以M 0的方向为z e ，本题具有轴对称的磁场

分布，磁标势的微分方程为：

012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R >

自然边界条件：0

1=R m ?为有限；02

=∞

=R m ?。

衔接条件： 0

R R m R R m ===?? ；

θμ?μ?μcos /'/000201M R R R R m R R m =??-??==；

由轴对称性及两个自然边界条件，可写出拉普拉斯方程通解的形式为：

∑∞==0

1)(cos n n n

n m P R a θ?； ∑∞

=+-=0

)1(2)(cos n n n n m P R b θ?；

代入衔接条件，比较)(cos θn P 各项的系数，得：

0==n n b a ，)1(≠n ；)'2/(001μμμ+=M a ；)'2/(3

001μμμ+=R M b )'2/(cos 001μμθμ?+=∴R M m ， )(0R R <

0002)'2/(cos R R M m μμθμ?+=，)(0R R >

由此 )'2/('20000101μμμμμμ+=+=M M H B

])(3['2''30

0022R

R R m M R R M B -?+=?-=μμμμ?μ ??

???>-?+<+=)(])(3['2')()

'2/('2030

00000R R R R R R R M M R R M B μμμμμμμμ 又 )()(0012ααB B n +=-?M R μ，（其中0=α）将B 的表达式代入，得：

)'2/(sin '300μμθμφ+-=M M e α

12. 将上题的永磁球置入均匀外磁场0H 中，结果如何？

解：根据题意假设均匀外场0H 的方向与M 0的方向相同，定为坐标 z 轴方向。磁标势的微

分方程为：

012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R >

自然边界条件：0

1=R m ?为有限；θ?cos 02

R H R m -=∞

=。

衔接条件： 0

R R m R R m ===?? ；

θμ?μ?μcos //0002001M R R R R m R R m =??-??==；

解得满足自然边界条件的解是：

θ?cos 11R a m =，)(0R R <

θθ?cos cos 2102-+-=R d R H m ，)(0R R >

代入衔接条件，得：2

010001-+-=R d R H R a

0013010002M a R d H μμμμ=++-

解得： )2/()3(000001μμμμ+-=H M a

)2/(])([03

000001μμμμμ+-+=R H M d

)2/(cos )3(000001μμθμμ?+-=∴R H M m ，)(0R R <

])2/[(cos ])([cos 203

0000002R R H M R H m μμθμμμθ?+-++-=，)(0R R > )2/()3(000011μμμ?+--=-?=H M H m

)2/(2)2/(3002

00000011μμμμμμμμμ+++=+=M H M H B ，)(0R R <

35022//)(3R R m m R R m H H -?+=-?=?，

其中 )2/(])([03

00000μμμμμ+-+=R H M m

]//)(3[3500202R R m R R m H H B -?+==μμ，)(0R R >

13. 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为0R ，总电荷为Q ，今使球壳绕自身某一直径以角

速度ω转动，求球内外的磁场B 。

提示：本题通过解A 或m ?的方程都可以解决，也可以比较本题与§5例2的电流分布得到结果。

解：根据题意，取球体自转轴为 z 轴，建立球坐标系。磁标势的微分方程为：

012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R >

自然边界条件：0

=R m ?为有限；02

=∞

=R m ?。

衔接条件： 00124/sin /)//(R Q R R R m m πθωσθ?θ?-=-=??-??= ；

02001//R R m R R m R R ==??=???μ?μ；

其中 04/sin R Q πθωσ= 是球壳表面自由面电流密度。

解得满足自然边界条件的解是：

θ?cos 11R a m =，)(0R R <

θ?cos 212-=R b m ，)(0R R >

代入衔接条件，得：0201014/R Q R b R a πω-=--； 023

011=+-R b a 解得： 016/R Q a πω-=， πω12/2

01R Q b =

016/cos R R Q m πθω?-=∴，)(0R R <

220212/cos R R Q m πθω?=，)(0R R > 0116/R Q m π?ωH =-?=∴

001016/R Q πμμωH B ==，)(0R R <

π?4/]//)(3[3522R R m m R R m H -?=-?=，

其中 3/2

0ωm QR =

πμμ4/]//)(3[350202R R m R R m H B -?==，)(0R R >

14. 电荷按体均匀分布的刚性小球，其总电荷为Q ，半径为0R ，它以角速度ω绕自身某一

直径转动，求（1）它的磁矩；（2）它的磁矩与自转角动量之比（设质量M 0是均匀分布的）。解：1）磁矩dV ??=

)(2

x J x m

又 r R e R x ==，)()3/4()(3

R ωv x J ?=

=R Q

πρ φθθπωφθθπφd dRd R R Q d dRd R R Q r 2

430

230sin )(4321sin )(4321???=??=e e R ωR m 又 )sin cos (cos sin y x z r e e e e e e φφθθθφ--+=-=?

???

--+=

∴0

240

sin )sin cos (cos [sin 83R y x z dR R d d R Q θφφθθθφπω

e e e m

ωe 5sin 832

003

402030

0QR dR R d d R Q R z ==???θθφπωππ 2)自转动量矩：

??????=?=?==dV R M dm d d )(4330

R ωR v R P R L L π ???=

φθθωπd dRd R R R M r z r sin )(432

230

0e e e ??-=φθθθωπφd dRd R R M z sin )sin (43430

0e e ?-=φθθθωπθd dRd R R M sin )(sin 43430

0e ???--+=002

402030

0sin )sin cos (cos [sin 43R y x z dR R d d R M θφφθθθφπωππe e e ωω52sin 432

0003

402030

00R M dR R d d R M R ==???θθφπππ 02//M Q =∴L m

15. 有一块磁矩为m 的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中，

求作用在小永磁体上的力F 。解：根据题意，因为无穷大平面的μ很大，则在平面上所有的H 均和平面垂直，类比于静电

场，构造磁矩m 关于平面的镜像'm ,则外场为：

m e ?μ?-=0B

而 2

34cos 4r

m r m πθ

π?=?=R m )sin cos 2(4)sin cos 2(43

0330θθθθπμθ

θπμe e e e B +=---=∴r r e r

m r r m m 受力为：

z a

r e

m e B m F )cos 1(643)(24

02απμα

θ+-=??===