2016年初中数学教师 解题比赛试题
（
（x>0）及y
=2（x>0）的图像分别
m B
2016年初中数学青年教师解题比赛试题
（2016年12月15日）
说明：1.本试卷满分100分，考试时间120分钟；
2.请将答案或解答过程直接在答题纸上．
一、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)≤0的解，x=1不是这个不等式的解，则实数a的范围是▲．
2．二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图像在2＜x＜3这一段位于x轴下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为▲．
3．设二次函数y=a(x-x)(x-x)(a≠0，x≠x)的图像与一次函数y=dx+e(d≠0)的图像交112122
于点（x，），若函数y=y+y的图像与x轴仅有一个交点，则下列结论：①a(x-x)=d；
11212
②a(x-x)=d；③a(x-x)2=d；④a(x+x)2=d．其中正确的序号有▲．
212121
4．实数a、n、m、b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A、N、M、B（如图）．若AM2＝BM·AB，BN2＝AN·AB，则称m为a、b的“大黄金数”，n为a、b 的“小黄金数”．当b－a＝2时，a、b的大黄金数与小黄金数之差m－n＝__▲____．
5．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y=
1k
x2
k
x
交于点A、B，连接OA、△OB，已知OAB的面积为2，则k-k=▲．
12
6．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，A E=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一边上，则等腰三角形AEP的底边长为▲．
y l
A
D C
A a N
n
M
b
B
O P
y
1
x
y
2A
E B （第4题）（第5题）（第6题）
二、解答题（本大题共7题，计82分）
7．（本题满分10分）
质量分别为a、b（a≠b）的甲、乙两块金银合金的含金率不同．从甲、乙两块合金上各切下一块，分别和对方剩下的部分合金熔合，得到的两块新合金含金率相同．设切下的合
金质量相同，求切下的每块合金的质量．
8．（本题满分10分）
四边形ABCD中，AB∥CD，M、N为AD、BC的中点，AC、BD相交于点O，过点O 作EF∥AB交AD、BC于点E、F．试比较EF与MN的大小，并说明理由．
9．（本题满分12分）
如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC；
，CF=5，（2）过点A作AE//PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE．若sin∠P=3
5
求BE的长．
E
C
F
P A D O B
G
（第9题）
1 2 已知点 P 是线段 AB 上与点 A 不重合的一点，且 AP α(0o<α≤90o)得到 AP 1，BP 绕点 B 顺时针也旋转角α 得到 BP 2，连接 PP 1、PP 2． （1）如图 1，当 α=90o 时，求∠ P PP 的度数； 1 2 （2）如图 2，当点 P 2 在 AP 1 的延长线上时，求证：△ P 2 P P ∽△ P P A ； （3）如图 3，过 BP 的中点 E 作 l 1⊥BP ，过 BP 2 的中点 F 作 l 2⊥BP 2，l 1 与 l 2 交于点 Q ，连 接 PQ ，求证：P 1P ⊥PQ ． 图 1 图 2 （第 10 题） 图 3 11．（本题满分 12 分） 已知：a 、b 、c 均为非零实数，且 a >b >c ，关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 （a ≠0） 其中一个实数根为 2． （1）请直接写出方程 ax 2 + bx + c = 0 的另一个实数根（用含 a 、c 的代数式表示）； （2）若实数 m 使代数式 am 2 + bm + c 的值小于 0，问：当x =m +5 时，代数式ax 2 + bx + c 的值 是否为正数？写出你的结论，并说明理由． 一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后，要日夜兼程以最短的时间赶回家．如图1，A为出发地，B为小伙子家的位置，MN是一条驿道，在和B位于驿道MN同侧的地段全是砂土．设BC⊥MN于C，AC=m，BC=n．小伙子在驿道MN和砂土地上的速度分别为v、v（v>v>0）． 1212 （1）若v∶v=5∶3，在图2中作出小伙子从A赶到家B的路线（用尺规作图）； 12 （2）求小伙子赶回家所用的最短时间（用含m、n、v、v的代数式表示）． 12 B B n m M A C N M A N 图1 （第12题） 图2 13．（本题满分14分） 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数y=1 x (x>0)和y=x+1(-4 （2）若函数y=-x+1(a≤x≤b，b>a)的边界值是2，且这个函数的最 大值也是2，求b的取值范围； （3）将函数y=x2(-1≤x≤m，m≥0)的图像向下平移m个单位， 得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足3 ≤t≤1？ 4（第13题）