【成才之路】高中数学 1-1 集合的含义与表示同步练习 北师大版必修1

1-1集合的含义与表示基础巩固

一、选择题

1. 下列各组对象不能构成集合的是( )

A．著名的中国数学家

B．北京四中2012级新生

C．奇数的全体

D．2012年伦敦奥运会所设的所有比赛项目

[答案] A

[解析] 根据集合元素的确定性来判断是否能构成集合．因为B、C、D中所给的对象都是确定的，从而可以构成集合；而A中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算作著名，故不能构成集合．

2．集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是( )

A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}

C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}

[答案] A

[解析] ∵x<5且x∈N，∴x＝0,1,2,3,4，特别注意0∈N.

3．(2012·石家庄高一检测)用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )

A．{1,1} B．{1}

C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}

[答案] B

[解析] ∵x2－2x＋1＝0，∴x＝1.故集合为单元素集合．故选B.

4．由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值可以是( )

A．0 B．－1

C．1 D．－1或1

[答案] B

[解析] 验证法：若x＝0时，x2＝0，不合题意；

若x＝1时，x2＝1，不合题意；

若x＝－1时，x2＝1，符合题意，故选B.

5．若集合{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )

A．锐角三角形B．等腰三角形

C．钝角三角形D．直角三角形

[答案] B

[解析] 根据集合中元素的互异性，可知三角形的三边长不相等，故选B.

6．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，

Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为( )

A．9 B．8 C．7 D．6

[答案] B

[解析] 列举法：P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，共8个元素．

二、填空题

7．集合{x∈Z|(x－1)2(x＋1)＝0}用列举法可以表示为________．

[答案] {－1,1}

[解析] ∵方程(x－1)2(x＋1)＝0的解有三个：－1,1,1，而作为解集，集合中元素只能是－1,1.

8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．[答案] 2

[解析] ∵－5是方程x2－ax－5＝0的根，

∴25＋5a－5＝0，

∴a＝－4，

∴x2－4x－a＝x2－4x＋4＝0，

∴x＝2，∴该集合中所有元素之和为2.

三、解答题

9．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

[分析] 分别令－3＝a－3或－3＝2a－1→解方程求a→检验得a的值．

[解析] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，

若－3＝a－3，则a＝0.

此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．

若－3＝2a－1，则a＝－1，

此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，

综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.

能力提升

一、选择题

1．(2012·温州高一检测)由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )

A．1 B．－2 C．6 D．2

[答案] C

[解析] 解法一：验证法：若a＝1时，a2＝1,2－a＝1，不满足集合中元素的互异性；若a＝－2或2时，a2＝4，也不满足集合中元素的互异性，故a＝6，选C.

解法二：直接法：由集合中元素的互异性可知，a2≠4，

∴a ≠±2.

又a 2

≠2－a ，∴a 2

＋a －2≠0， ∴a ≠1且a ≠－2，故选C.

2．(2012·开平高一检测)定义集合A 、B 的一种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，

x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，则A *B 中的所有元素数字之和为( )

A ．9

B ．14

C ．18

D ．21 [答案] B

[解析] ∵x 1∈A ，x 2∈B ，A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2}，则x 1＋x 2的和如下表所示：

∴A *B ＝{2,3,4,5}，故所有元素数字之和为2＋3＋4＋5＝14. 二、填空题

3．(2012·济南高一检测)用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，8

6－x ∈N }＝________.

[答案] {－2,2,4,5} [解析] ∵x ∈Z ，∴x ＝2，

8

6－2

＝2∈N 满足条件． x ＝4，

8

6－4

＝4∈N 也满足条件， 同理：x ＝5，x ＝－2都满足条件，∴A ＝{－2,2,4,5}． 4．能被5整除的正整数集合用描述法表示为________． [答案] {x |x ＝5n ，n ∈N ＋}

[解析] 能被5整除的正整数是5的倍数．因而写成：x ＝5n ，其中n ∈N ＋. 三、解答题

5．若集合A 中有且仅有三个数1、0、a ，若a 2

∈A ，求a 的值． [解析] 若a 2

＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，∴a 2

≠0. 若a 2

＝1，则a ＝±1， ∵由元素的互异性知a ≠1， ∴a ＝－1时适合．

若a 2

＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求． 综上可知a ＝－1. 6．下列三个集合： ①{x |y ＝x 2

＋1}； ②{y |y ＝x 2＋1}； ③{(x ，y )|y ＝x 2

＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们的各自含义是什么？ [解析] (1)它们是不相同的集合．

(2)集合①是函数y ＝x 2

＋1的自变量x 所允许的值组成的集合．因为x 可以取任意实数，所以{x |y ＝x 2

＋1}＝R .

集合②是函数y ＝x 2

＋1的所有函数值y 组成的集合． 由二次函数图像知y ≥1， 所以{y |y ＝x 2

＋1}＝{y |y ≥1}．

集合③是函数y ＝x 2

＋1图像上所有点的坐标组成的集合．

7．设集合A 的元素为实数，且满足①1?A ，②若a ∈A ，则11－a ∈A ，

(1)若2∈A ，试求集合A ； (2)若a ∈A ，试求集合A ；

(3)集合A 能否为单元素集合？若能，求出该集合；若不能，请说明理由． [解析] (1)由题意知：

11－2＝－1∈A ，11－－1＝12∈A ，而1

1－1

2

＝2，∴A ＝?

?????－1，12，2.

(2)由题意知：11－a

∈A ，

1

1－11－a

＝

a －1

a

∈A ，而1

1－a －1a

＝a .∴A ＝{a ，11－a ，a －1

a }． (3)假设A 为单元素集合，则必有1

1－a ＝a ，

∴a 为a 2

－a ＋1＝0的根． 又∵a 2

－a ＋1＝0无实解，

∴这样的a 不存在，即A 不可能是单元素集合．