奥赛学案：平面几何选讲--反演变换(一)复习课程

奥赛学案：平面几何选讲

反演变换(-)

基础知识

一.定义 1. 设0是平面 上的一个定点，k 是一个非零常数?如果平面 的一个变换，使得对于平 面 上任意异于 0的点A 与其对应点 A 之间，恒有(1) A ',O,A 三点共线；(2)

屮uuu

OA OA k ，则这个变换称为平面 的一个反演变换，记做l(O,k) ?其中，定点 0称为 反演中心，常数k 称为反演幕，点 A 称为点A 的反点.

2. 在反演变换I(0,k)下，如果平面 的图形F 变为图形F '，则称图形F '是图形F 关于反 演变换I (0,k)的反形?反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反

图形.

3. 设两条曲线u 、v 相交于点A , l 、m 分别是曲线u 、v 在点A 处的切线(如果存在)，则 l 与m 的交角称为曲线u 、v 在点A 处的交角；如果两切线重合，则曲线 u 、v 在点A 处的 交角为0 .特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交

角.当两圆的交角为 90°时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，

则有AB B '= k AB . OA OB

为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换 I (I ,r 2)，则

的反点分别为L 、M 、N ，因而VABC 的反形是VLMN 的外接圆. 故VABC 的外心、内心和 VLMN 的外心三点共线.

则切线与直线的交角就是直线与圆的交角.当这个交角为

90° 时, 称为直线与圆正交. 定理 定理

1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点.

定理 2. 在反演变换l(0,k)下，设A 、B 两点(均不同于反演中心

0)的反点分别为 A 、B ,

定理 定理 反形是不过反演中心的直线.

典型例题

一.证明点共线

例1. VABC 的内切圆与边 BC 、CA 、AB 分别相切于点 D 、E 、F , 设L 、M 、

N 分别是EF 、FD 、DE 的中点.求证： 内心与VLMN 的外心三点共线. 证明：如图，设VABC 的内心为I ，内切圆半径为r .

3. 4. 在反演变换下，过反演中心的直线不变.

在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆; 过反演中心的圆的

VABC 的外心、 以内心I

二.证明线共点

例2.四边形 ABCD 内接于e O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设VABP 、VBCP 、VCDP 、 VDAP 的外心分别为O i 、O 2、O 3、O 4 ?求证：OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点.

uuu mu

证明：作反演变换l(P,PC PA)，则A 、C 互为反点，B 、 D 互为反点，eO 不变，直线PO i 不变，VABP 的外接圆的反形

是直线CD ?由于直线PO 1与VABP 的外接圆正交，因而 PO 1与CD

正交，即有PO 1 CD ?又OO 3 CD ，所以PO 1 // O 3O ；同理PO 3〃OQ ，所以四边形 PO 1OO 3为平行四边形，从而 O1O 3过PO 的中点；同理 O 2O 4也过PO 的中点?故OP 、 O 1O 3、O 2O 4三线共点.

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