利用向量法求点到平面的距离
利用平面的法向量求点到平面的距离
甘肃省 彭长军
如图1，设n 是平面α的一个法向量，P 是α外一点，Q 是α内任意一点，则向量PQ u u u r 在法向量n 方向上的射影长d=PQ u u u r cos PQ,n <>uuu r u r =PQ n n
u u u r r g r 就是点P 到平面α的距离.下面举几例予以说明.
例1．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离. 解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0n AB =g 及10n BC =g ,得
2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=??++=??2y x 32z x 3?=????=-??
,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n n u u u r r g r = 17
49=171749. 例2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.
解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，∴GE =(2,4,-2),
GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0).
设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =，则由0n GE =g 及0n GF =g ，得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=??+-=?? x=y z 3y
??=?,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n u u u r r g r =11112112=. 例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求点C 1到平面A 1BD 的距离。
解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz ，则A 1(1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0, 1,1). 设平面A 1BD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由1DA 0n =g 及DB 0n =g ，得x z 0x y 0
+=??+=??
z=-x y=-x
???,取x=-1,得n =(-1,1, 1),于是点C 1到平面A 1BD 的距离为d=1C D n n u u u u r r g r
. 例4．(06年福建高考题)如图4，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA=CB=CD=BD=2，
，求点E 到平面ACD 的距离.
解：由题设易知AO ⊥BD ，OC ⊥BD ，∴OA=1，
OA 2+OC 2=AC 2，∴∠AOC=90?，即OA ⊥OC. 以O 为原点，OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则
A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, ∴ E(12
,0), AD =(-1,0,-1), AC
,-1), ED =(-32
设平面ACD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由AD 0n =g 及AC 0n =g
，得x z 0z 0
+=??-=?
x=-z y=3?????
,取
得n
于是点E 到平面ACD 的距离为d=D E n n u u u r r g r
.
怎样求点到平面的距离
怎样求点到平面的距离 徐加生 在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本文总结几种求点到平面距离的常用方法，供参考。 一 直接法 根据空间图形的特点和性质，找到垂足的位置，直接向平面引垂线，构造可解的直角三角形求解。 例1. （1998年全国高考题）已知斜三棱柱111C B A ABC -的侧面11ACC A 与底面ABC 垂直，32AC ,2BC ,90ABC ==?=∠，且C A AA ,C A AA 1111=⊥；（I ）求侧棱A A 1与底面ABC 所成角的大小；（II ）求侧面11ABB A 与底面ABC 所成二面角的大小；（III ）求顶点C 到侧面11ABB A 的距离。 图1 简析：（I ）如图1，取AC 中点D ，易得侧棱1AA 与底面ABC 所成的角为?=∠45AD A 1。 （II ）由于⊥D A 1底面ABC ，过D 作AB DE ⊥于E ，连E A 1，知AB E A 1⊥，则ED A 1∠为所求二面角的平面角。易求得?=∠60ED A 1。 （III ）要求C 到平面11ABB A 的距离，可直接作⊥CH 面11ABB A 于H ，CH 的长就是点到平面的距离。关键是怎样求CH 的长。注意到AB BC ⊥，连BH ，则由三垂线定理得AB HB ⊥，即HBC ∠为二面角的平面角。由（II ）知HBC ∠?=60，所以360sin BC CH =?=为所求。 注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解。 二. 找垂面法 找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到 平面的垂线段。 例2. 正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为3，11C A 的中点为D 。（1）求证//BC 1平面D AB 1；（2）求点B 到平面D AB 1的距离。
向量法求空间距离教案
A B C D O S x y z 图2 A B C D α n a b 龙文学校——您值得信赖的专业化个性化辅导学校 龙文学校个性化辅导教案提纲 教师：_______ 学生：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____——_____段 一、授课目的与考点分析：向量法求空间距离 能用向量方法解决空间距离问题，了解向量方法在研究集合问题中的应用. 二、授课内容及过程： 1、点到平面的距离 方法：已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量， 则A 到平面α的距离d =AB n n ? . 2、两条异面直线距离： 方法：a 、b 为异面直线，a 、b 间的距离为：AB n d n ?= . 其中n 与a 、b 均垂直，A 、B 分别为两异面直线上的任意两点 题型1：异面直线间的距离 例1、如图2，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =。求异面直线BD 和SC 之间的距离？ 题型2：点面距离 如图，在长方体1111ABCD A BC D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AD 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4 π. 解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C （1）.,0)1,,1(),1,0,1 (,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法 目录 1.引言 (1) 2.预备知识 (1) 3.求点到平面距离的若干求法 (3) 3. 1 定义法求点到平面距离 (3) 3. 2 转化法求点到平面距离 (5) 3. 3 等体积法求点到平面距离 (7) 3.4 利用二面角求点到平面距离 (8) 3. 5 向量法求点到平面距离 (9) 3.6最值法求点到平面距离 (11) 3.7公式法求点到平面距离 (13) 1.引言 求点到平面的距离是高考立体儿何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了儿何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。 2.预备知识 （1）正射影的定义：（如图1所示）从平面外一点向平面。引垂线，垂足为P,则点P'叫 做点〃在平面。上的正射影，简称为射影。同时把线段PP'叫作点P与平面。的垂线段。
图1 (2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离, 也即点与平面间垂线段的长度。 (3)四面体的体积公式 V=-Sh 3 其中V表示四面体体积，S、/?分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。 (4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。 (6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线/把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面a与平面“所成的二面角，记作二面角a-1-p,其中/为二面角的棱。如图在棱/上任取一点。，过点。分别在平面。及平面”上作/的垂线。4、OB，则把平面角匕叫作二面角a-1-p的平面角，匕4彼的大小称为二面角a-1-p的大小。在很多时候为了简便叙述，也把匕称作a与平面“所成的二面角。 (7)空间向量内积： 代数定义：设两个向量刁=(而,》1，4)，/；=(易况，全)，则将两个向量对应分量的乘积之和 定义为向量。与片的内积,记作沁，依定义有必。二%工2 +凹)‘2 +4弓
点面距离的几种求法
点面距离的几种求法 距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。 求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的 垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法： 1、 利用定义作垂线，解三角形。 例1， 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在棱1CC 上，且 1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。 解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面 C C BB 11,PM ?面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。AB 1C B ?=B ， 1 C 1 D 1 A P M D A B C 1 B ，
∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵ 0!45=∠BCC ，4 3!= P C ,在PM C R t !?中， 8 2 343224510= ?=?= PM P C PM Sin . 2、 转化成其它点到面的距离： 2 C A A
、向量法： 例3、 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点E, F 分别是 11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。∥⊥ 解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法 向量 =(x,y,z),则： AB → →?， y n → )1,2 1,0(),0,2 1,1(=→-=→DF DE
向量法求异面直距离解法探求
向量法求异面直距离解法探求
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向量法求异面直线的距离解法探求 湖南 黄爱民 空间异面直线的距离问题是立体几何的重点，难点，同时也是历届高考试题的热点问题。如何很好地利用向量法求解这类问题又是一个值得探讨与研究的问题。下举例谈谈向量法求解这类问题的基本方法与策略。 一、 定义法： 例1、如图1，正方形ABCD 与ABEF 成600的二面角，且正大光明方形的边长为，M ，N 分别为BD ，EF 的中点，求异面直线BD 与EF 的距离。 解析：选取为,,,AB AF AD 基向量。显然AF AD ,的夹角为600，AD AB ,的夹角为900，AF AB ,的夹角为900， AD AF AB AD AF AB AD FE DF BD FN DF MD MN 2 121)()(212121-=+-+-=++=++=ΘEF MN EF MN AB AD AB AF AB AD AF FE MN BD MN BD MN a a AB AD AB AF AD AD AF AB AD AD AF BD MN ⊥⊥∴=?-?=?-=?⊥⊥∴=+--=?+?--?=-?-=?∴即又即）（,021)2 1(.,,0002160cos 2 121)21(2022从而MN 为异面直线BD 与EF 的公垂线。 ,2 3||434160cos 41)21(||2202222222a MN a a a a AD AD AF AF AD AF MN MN ==+-=+?-=-==Θ异面直线BD 与EF 的距离为a 2 3。 点评：本题利用向量数量积定义，很好地证明MN 为异面直线的公垂线。然后利用向量 模与数量积的关系，巧妙进行了模与向量的转化，解法自然，回味无穷。 二、射影法： 分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂 直的法向量为n ，则两异面直线间的距离是a 在n 方向上的正射影向量的模设为d ，从而由 公式||| |n n a d ?=求解。 例2、如图2，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形， ,PA ABCD ⊥底面33PA AB a ==，求异面直线AB 与PC 的距离。 解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则B （a,0,0）,C(a,a,o),P(0,0,3a)，则)3,,(),0,0,(a a a PC a AB -==， 设PC AB ,的公垂线的方向向量为),,(z y x n =由 ? ??==??????=-+=?==?z y x az ay ax PC n ax AB n 30030，不妨令x=0,y=1,z=3则有)3,1,0(=n ，又)3,0,0(a AP =，∴AB 与PC 间的距离为：a a n AP n d 1010910 9||| |==?=。 点评：异面直线公垂线难于确定时，可用向量法求异面间的距离。这种方法的关键是利 用待定系数法确定公垂线的方向向量n 。
向量法求空间点到平面的距离教案
学习必备 欢迎下载 向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
学习必备欢迎下载
学习必备 欢迎下载 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ? ABO COS ∠? ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥，.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ?-=???-=?即340320x y x z -+=??-+=? ∴3432y x z x ?=????=?? 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z = 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n ⊥⊥-=?∴?--+=?∴=，
用向量法求空间距离
用向量法求空间距离 湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙 在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离 用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离. 例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点， DQ=4 1 DB ，求P 、Q 两点间的距离. 解 如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 0)4 141(Q )21021(，，、，，P ， 所以)21 －4141(－，，=. 46= ,即P 、Q 两点的距离为4 6. 二、 求点到直线之间的距离 已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d . 则有>= < 故>
例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2). 所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故 d = 13 286 213168=- = 所以点O 1到直线AC 的距离为13 286 2. 三、 求点到平面的距离 如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量 在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d ，所以 d ==>
求点到平面距离的基本方法
利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离. 2, A .AM为点A到平面的距 求点到平面距离的基本方法 北京农大附中闫小川 求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也 是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出 求点到平面的距离的几种基本方法. (I )求证：AE 平面BCE ; (n )求二面角B AC E的大小; (m )求点D到平面ACE的距离. (I)、( n)解略，(m)解如下: 、直接法 例 (2005年福建高考题)如图1,直二面角 D AB E中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB，F为CE上的点, 且BF 平面ACE. D B
解：如图3,过点A 作AG 峑EC ，连结DG,CG ，则平面ADG //平面BCE , ???平面BCE 平面ACE , ???平面ADG 平面ACE , 作DH AG,垂足为H ，则DH 平面ACE. ??? DH 是点D 到平面ACE 的距离. 二、平行线法 ,B 为I 上任意一点，AM , BN ,则AM BN . 点A 到平面的距离转化为平行于平面 的直线I 到平面的距离，再转化为直 线I 上任意一点B 到平面 的距离. 解：如图5,过点D 作DM 屯AE ，连结CM ，则DM //平面ACE , 点D 到平面ACE 的距离转化为直线 DM 到平面ACE 的距离，再转化为点 M 到平面ACE 的距离. 作MN CE,垂足为N , 在 Rt ADG 中, DH AD DG 2 迈 2/3 AG 76 3 如图 4, A 1,1 // C B
???平面CEM 平面ACE , ??? MN 平面 ACE , ??? MN 是点M 到平面ACE 的距离. 三、斜线法 利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离 .如图 AO O , A,B l , AM , BN ,若竺 t,则 AM t BN.点 A 到 BO 平面 的距离转化为求直线I 上的点B 到平面 的距离. 解：如图8, BD 与AC 的交点为Q ，即BD 平面ACE Q , ??? DQ BQ , ???点D 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等. ???平面BCE 平面ACE ，BF 平面ACE , ? BF 是点B 到平面ACE 的距离. 在 Rt CEM 中，MN EM CM 2 72 C E 7 6 6、7, l N
向量法求空间点到平面的距离教案
向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 剖析：如图， BO 平面 ，垂足为O ，则点B 到平面 的距离是线段BO 的长度。 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
若AB 是平面 的任一条斜线段，则在BOA Rt ABO COS ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z r 则n AB n AC r u u u r r u u u r ，.∵(3,4,0)AB u u u r ,(3,0,2)AC u u u r ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z 即340320x y x z ∴3432y x z x 取4x ,则(4,3,6)n r ∴(4,3,6)n r 是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E u u u r u u u r u u u r 设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z r 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n r u u u r r u u u r r ，
空间点到面的距离练习题
空间点到面的距离 一、选择题 (每小题6分，共36分) 1．平面α内的∠MON ＝60°，PO 是α的斜线，PO ＝3，∠POM ＝∠PON ＝45°，那么点P 到平面α的距离是( ) 2．在正三棱锥P —ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a ，则点P 到平面ABC 的距离为( ) A ．a a a a 3．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( ) 4．空间四点A 、B 、C 、D 每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上， 则点P 与Q 的最小距离为( ) a a a 5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6 .过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( ) A ．2∶1 B ．3∶1 C ．3∶2 D ．4∶3 6．已知平面α∥平面β，直线m ?α，直线n ?β，点A ∈m ，点B ∈n ，记点A 、B 之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则( ) A ．b ≤c ≤a B ．a ≤c ≤b C ．c ≤a ≤b D ．c ≤b ≤a 二、填空题(每小题6分，共18分)
7．如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1.若二面角C—AB—C1的大小为60°，则点C到平 面ABC1的距离为________． 8．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M为AC边上的一个动点，则PM 的最小值为________． 9．(2008年全国Ⅰ)已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A—BD—C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于________． 三、解答题 (10,11每题15分，12题16分，共46分) 10．如图所示，棱长均为a的正三棱柱中，D为AB中点，连结A1D，DC，A1C. (1)求证：BC1∥面A1DC； (2)求BC1到面A1DC的距离．
高中数学完整讲义——空间几何量的计算1.点到平面的距离问题
【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平 面α的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0或1 【例2】 ABC ?的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则 ABC ?的重心到平面α的距离为___________． 【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离． 【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求 点D 到平面PAB 的距离． O E A 1 D C 1 B 1 D C A H A C B D P 典例分析 板块一.点到平面的距离问题
【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，求点C 到面 1ABC 的距离. 【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1 2 PD AB = 中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A B C D 【例7】 （2007湖北文5） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上 的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A B C D 【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45?，则点A 到侧面PBC 的 E D C 1 B 1A 1 C B A A A 1 A B C D E
用向量法求空间距离
A B C D m n 1 图向量法求空间距离 向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。 1.异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在 n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离 d 等于在上的射影长，即| |n d = 证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==, | |||)(?=?∴?++=?∴++= | |||||n n AB d ?= =∴ 2平面外一点P 到平面α的距离 如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定 点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即| |n d = 因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。 [例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2， 底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。 图2 A B C M N 1 A 1 B 1 C 图3
几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ， 、)0,0,0(A )81 ,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则 )2,0,0(),0,4 3,43( ),8 1 ,41,43(1==- =AA AM MN ， 设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有 )0()1,1,3(8 ),81,83( 8183 0434********>-=-=∴?????? ?-==?=???????=+=++-??????⊥⊥z z z z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n 向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是 5 5 21)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||2 2201011011= +-+-?= =>
利用向量法求点到平面的距离
利用平面的法向量求点到平面的距离 甘肃省 彭长军 如图1，设n 是平面α的一个法向量，P 是α外一点，Q 是α内任意一点，则向量PQ u u u r 在法向量n 方向上的射影长d=PQ u u u r cos PQ,n <>uuu r u r =PQ n n u u u r r g r 就是点P 到平面α的距离.下面举几例予以说明. 例1．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8) 是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离. 解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0n AB =g 及10n BC =g ,得 2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=??++=??2y x 32z x 3?=????=-?? ,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n n u u u r r g r = 17 49=171749. 例2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则 G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，∴GE =(2,4,-2), GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0). 设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =，则由 0n GE =g 及0n GF =g ，得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=??+-=?? x=y z 3y ??=?,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n u u u r r g r =11112112=. 例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求点C 1到平面A 1BD 的距离。
向量法求空间点到平面的距离教案
向量法求空间点到面距离（教案） 教材分析 重点：点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点：找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1.能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2.能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3.加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、空间中如何求点到面距离 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a ? b = a b cos 0（0为a与b的夹角） 二、向量法求点到平面的距离
如果令平面的法向量为 n ，考虑到法向量的方向，可以得到点 B 到平面的距离为 _r BA?n BO=—:— n 因此要求一个点到平面的距离， 可以分为以下三步：(1)找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量 (2)求出该平面的一个法向量 (3)求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标，如何求经过这三点的平面的一个法向量 ? 例1、在空间直角坐标系中，已知A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0,2),试求平面 ABC 的一个 法向量. 解：设平面ABC 的一个法向量为 r n (x, y, z) r uuu r uuur uuu unr 则 n AB , n AC . v AB (3,4,0), AC (3,0, 2) ? (x, y, z)( 3,4,0) 0即 3x 4y 0 3 y x (x, y, z)( 3,0,2) 0 3x 2z 0 . 4 取x 4,则n (4, 3,6) 3 z x 2 ??? n (4, 3,6)是平面 ABC 的一个法向量 例2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为4, E 、F 分别是AB 、AD 的 中点，GC 丄平面 ABCD ，且GC = 2,求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2). uuir uuur EF (2, 2,0), EG ( 2, 4,2), uuu BE (2,0,0) 设平面EFG 的一个法向量 若AB 是平面 的任一条斜线段，则在 Rt BOA 中，BO = BA?COS ABO BA?BO B A B O BO 剖析：如图，BO 平面 ，垂足为0，则点B 到平面 的距离是线段 BO 的长度。 =网? BA? BO
向量法求空间距离n
向量法求空间距离 广州市第78中学数学科 黄涛 教学重点难点 重点：掌握由向量数量积推导距离公式 难点：空间向量的投影的理解，灵活运用数形结合的思想，空间直角坐标系的 建立，求法向量，向量的选取。 教学方法、教学手段 采用启发诱导式教学，并结合实践探索，互动教学。 因为要充分体现数形结合思想，有大量的图形对比引导，以多媒体展示作为黑板板书补充。 教学目标： (1) 知识目标：理解向量数量积与射影的关系，基本掌握用数量积公式的变形求空间距离的方法和步骤 (2) 能力训练目标：培养动手能力，计算表达能力，空间想象能力 (3) 创新素质目标：通过立体几何向量方法解题体会知识之间的内在联系，事物内在的本质联系，懂得通过思维的拓展从事物的广泛联系中寻找解决问题的方法 (4) 情感目标：化繁为简，化难为易，在师生共同探索中建立学生学习数学的信心和热情 教学过程： 一．复习引入 1．如右图中正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点D 1到平面BB 1C 1C 的距离是_______,直线B 1C 1与B 1C 的距离是_________. 2.点C 1到平面AB 1C 的距离又是______,体对角线BD 1与面对角线B 1C 的距离是__________. 分析：以第一题找具体线段方法求距离很困难，提出能否避开“作图”这一难点，不通过找具体的线段求解，而用“数”来求解？ 3.我们已经学习了向量的数量积为0可证垂直，| |||,cos b a b a b a ??>=<可求夹角， 221221221)()()(||z z y y x x a a a -+-+-==? 可以求两点间的距离，射影公式>
高中数学点到平面的距离问题练习
高中数学点到平面的距离问题练习 【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α 的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0或1 【例2】 ABC ?的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，， 且它们在平面α的同一侧， 则ABC ?的重心到平面α的距离为___________． 【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离． A 1 D 1 C A 【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=o ，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离． H A C B D P 【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60o ，求点C 到面1 ABC
的距离. E D C 1 B 1A 1 C B A 【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1 2 PD AB = 中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()1 01AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A B C D A A 1 【例7】 （2007湖北文5） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()1 01AG λλ=≤≤，则点G 到平面1 D EF 的距离为（ ） A B C D A B C D E 【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45?，则点A 到侧面PBC 的距 离是 ． 【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=o ，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E 是 PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法 求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种基本方法． 例：已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离． 一、直接通过该点求点到平面的距离 １．直接作出所求之距离，求其长． 解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的 距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ＝ ． 图1 图2 ２．不直接作出所求之距离，间接求之． （１）利用二面角的平面角． 课本Ｐ．４２第4题，Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．① ①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角． 解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝４，ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠
点到平面的距离的几种求法 人教版
点到平面的距离的几种求法 https://www.360docs.net/doc/bc7867131.html, 云南会泽实验高中方强 摘要线面距离及面面距离通常都是转化为点面距离进行求解.异面直线的距离也常常须转化为线面距离，进而转化为点面距离求解.所以点面距离是学习其它空间距离的基础.弄清点到平面的距离的概念及理解一些相关定理是掌握点面距离的前提条件,在教学过程中让学生掌握点面距离与线面距离、面面距离之间的相互转化是教学的重点. 关键词点平面距离 Abstract The distance between a line and a plane or two planes is always turned into the distance btween a point and a plane to solve. The distance between two to lines which are in different planes is also need to be turend into the distance between line and planes,and then point and plane to solve.so the distance between point and plane is the basic of learning other kinds of space distance,Clarifying the conception of the distance between point and plane and understanding some relatice theoms of it are the supposition of mastering the distance between point and lane.During teaching process,it is the focal point to let students master the transform the transform of distances between point and plane ,line and plane , plane and plane. Key words point plane distance 1引言 立体几何中的距离是建立在弄清概念、恰当作图、严格论证的基础上的.空间中的距离有八种点与点、点到直线、点到平面、两平行直线、两异面直线、平行平面、平行于平面的直线与该平面、两点间的球面距离；其中点与点、点到直线、点到平面的距离是基础，而异面直线的距离、线面平行的距离一般均可通过化为点到平面的距离来求.这些知识点及处理能力均为高考的重要内容，因此熟练掌握求点到平面的距离的常用方法是立体几何中应重视的课题. 点到平面的距离的求法是研究得比较多的一个问题，也是一个很陈旧的问题，在国内外探索“点面距离求法”通常是建立在定义的基础之上.通过一些例题进而总结出一些基本方法. 2 基本概念 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距