【附16套高考模拟卷】上海市位育中学2020-2021学年高三下学期期中考试数学试题含解析

上海市位育中学2020-2021学年高三下学期期中考试数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种 B ．24种

C ．36种

D ．48种

2．设直线l 过点()0,1A -，且与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，那么AB AC ?=（ ）

A ．3±

B ．3

C D ．1

3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面

4．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ?-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5?8y

x =+，则表中数据m 的值为（ ）

A ．0.9

B ．0.85

C ．0.75

D ．0.5

6．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11e

x

ax

x m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）

7．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）

A ．正相关，相关系数r 的值为0.85

B ．负相关，相关系数r 的值为0.85

C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-

D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-

8．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为5m =（ ） A ．1

B ．2

C 5

D ．3

9．已知椭圆22

22:1x y C a b

+=的短轴长为2，焦距为12

23F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则12

11

PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2

B ．2,3??

C ．2,4??

D ．[]1,4

10．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．12

25

-

B ．2425

-

C ．165

D ．

85

11．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

12．设全集U=R ，集合{

}

2

21|{|}x

M x x x N x =≤=，＜

，则U

M N =（ ）

A ．[]0,1

B ．(]0,1

C ．[)0,1

D ．(],1-∞

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．戊戌年结束，己亥年伊始，小康，小梁，小谭，小杨，小刘，小林六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有_________种（用数字作答）， 14．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin 3A B C +=，且1c =，则ABC ?

15．数列{}n a 的前n 项和为1121,2,1,log 2n n n n n n

S a S a b a +??

==-

= ??

? ，则数列11n n b b +??????

的前n 项和n T =_____．

16．已知点是直线上的动点，点是抛物线

上的动点.设点为线段

的中点，为原

点，则

的最小值为________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=. （1）若1,6

b A π

==，求sin B ； （2）已知3

C π

=

，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.

18．（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈满足关系式

233n n S a =-.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的通项公式是332

1

log log n n n b a a +=

?，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正数n ，总有

34

n T <

. 19．（12分）已知322

()3(1)f x x ax bx a a =+++>的图象在1x =-处的切线方程为0y =.

（1）求常数,a b 的值；

（2）若方程()f x c =在区间[4,1]-上有两个不同的实根，求实数c 的值.

20．（12分）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +??

+

???

的值； (2)若3b =

c a -的取值范围.

21．（12分）已知函数2()cos 2

a f x x x =

+（a ∈R ），()f x '

是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '

在区间0,

2π??

??

?

存在唯一的极小值点；

（2）已知函数

42(2)3y f x x =-在0,2π??

????

上单调递减，求a 的取值范围.

手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份)；

（1）经数据分析，一天内平均气温C x 。与该出租车公司网约订单数y （份）成线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程，并预测日平均气温为7C -?时,该出租车公司的网约订单数；

（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于5C -?，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.

附：回归直线???y

bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1

1

2

2

1

1

2

()()???,()

n n

i i

i

i

i i n

n

i i

i

i x x y y x y nx y

b

a

y bx x x x

nx ====---?==

=---∑∑∑∑ 参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1、C 【解析】 【分析】

根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有2

22A =种，剩余

的3门全排列，即可求解. 【详解】

由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第

5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有2

22A =种， 剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有3

36A =种，

所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636??=种不同的排法.

本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2、B 【解析】 【分析】

过点()0,1A -的直线l 与圆C ：2

2

20x y y +-=相切于点B ，可得0BA BC ?=.因此

()

2

AB AC AB AB BC AB AB BC ?=?+=+?222AB AC r ==-，即可得出.

【详解】

由圆C ：22

20x y y +-=配方为()2

211x y +-=，

()0,1C ，半径1r =.

∵过点()0,1A -的直线l 与圆C ：2

2

20x y y +-=相切于点B ，

∴0AB BC ?=；

∴()

2

AB AC AB AB BC AB AB BC ?=?+=+?22

23AB AC r ==-=； 故选：B. 【点睛】

本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题. 3、B 【解析】 【分析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】

由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ． 【点睛】

面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若

,,//a b a b αβ??，则//αβ”此类的错误．

【分析】

求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +=

==-+--+,对应点坐标为11(,)22

- ，在第二象限． 故选：B ． 【点睛】

本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题． 5、A 【解析】 【分析】

计算,x y ，代入回归方程可得． 【详解】 由题意0123

1.54x +++=

=，3 5.5715.544

m m y ++++==，

∴

15.5

2.1 1.50.854

m +=?+，解得0.9m =． 故选：A. 【点睛】

本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ． 6、B 【解析】 【分析】

构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），求导可得()f m 在0,

上单调递增,则

()()01f m f >=-,问题转化为()1e 1e x ax x --<-,即()1e 1e

x ax

x -≤-至少有2个正整数解,构造函数()()1e x g x x =-,()1e

ax

h x =

-,通过导数研究单调性,由()0(0)g h =可知，要使得()()g x h x ≤至少有2个正整数解,只需()()22g h ≤即可,代入可求得结果. 【详解】

构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），则()1111

m

f m m m '=-

=++（0m >），所以()f m 在

()1e 1e x ax x -≤

-成立，设()()1e x g x x =-，()1e

ax h x =-，则()e x g x x '=，当0x >时0g x ，

()g x 单调递增；当0x >时，()h x 单调递增.()()22g h ≤，整理得3e e

2

a +≥.

故选:B. 【点睛】

本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难. 7、C 【解析】 【分析】

根据正负相关的概念判断． 【详解】

由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】

本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础． 8、A 【解析】 【分析】

将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】

圆2

2

2230x x y y ++--=的标准方程2

2

(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,因为直线

20x y m ++=

与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得

2(1)10m ?-++=,即1m =.

故选：A 【点睛】

本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 9、D 【解析】 【分析】

从而可得12

11PF PF +的取值范围. 【详解】

由题设有1,b c ==2a =，故椭圆2

2:14

x C y +=，

因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.

又()

1212121211

1144

=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，

因为122PF ≤≤，故()1

1

144PF PF ≤-≤，

所以12

1114PF PF ≤

+≤. 故选：D. 【点睛】

本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点

P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题

属于基础题. 10、B 【解析】 【分析】

根据角终边上的点坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得sin 2α的值. 【详解】

因为终边上有一点(3,4)P -，所以43sin ,cos 55

αα=

=-， 4324

sin 22sin cos 25525

ααα??∴==??-=- ???

故选：B 【点睛】

此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目. 11、C

先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案. 【详解】

直线1:240l ax y ++=，()2:120l x a y +-+=，12l l 的充要条件是()1221a a a a -=?==-或，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“1a =-”是“12l l ”的充分必要条件. 故答案为C. 【点睛】

判断充要条件的方法是：①若p ?q 为真命题且q ?p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ?q 为假命题且q ?p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ?q 为真命题且q ?p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ?q 为假命题且q ?p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 12、A 【解析】 【分析】

求出集合M 和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可． 【详解】

{}20121{|}|{|}{|}0x M x x x x x N x x x =≤=≤≤==，＜＜，

{}|0U

N x x =≥，

则{}011|]0[U

M

N x x =≤≤=，，

故选：A ． 【点睛】

本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1080 【解析】 【分析】

按照先分组，再分配的分式，先将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有22116421

22

22

C C C C A A ????种，再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有4

4A 种，然后用分步计数原理求解.

将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有22116421

22

2245C C C C A A ???=?种， 再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有4

424A =种，

则不同的分配方案有45241080?=种. 故答案为：1080 【点睛】

本题主要考查分组分配问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

14【解析】 【分析】

利用正弦定理将角化边得到a b +=

1

cos 1C ab

=

-，根据同角三角函数的基本关

系表示出sin C ，最后利用面积公式得到11sin 22S ab C ===由基本不等式求出ab 的取值范围，即可得到面积的最值； 【详解】

解：∵在ABC ?中，sin sin A B C +=，∴a b +==

∴22222()21

cos 122a b c a b ab c C ab ab ab +-+--===-，

∴sin C ===

∴11sin 22S ab C ===

∵a b +=

≥304ab <≤

，当且仅当a b ==时等号成立，

∴4S =

≤=

，∴ABC ?

故答案为：4

【点睛】