大学物理第二十章题解

第二十章 稳恒电流的磁场

20-1．如图所示，将一条无限长载流直导线在某处折成直角，P 点在折线的延长线上，

到折线的距离为a .（1）设导线所载电流为I ，求P 点的B r

．（2）当20A I =，0.05m a =，求B r ．

解 （1）根据毕-萨定律，AB 段直导线电流在P 点产生的磁场0B =；BC 段是“半

无限长”直导线电流，它在P 点产生的磁场为001224I

I B a a

μμππ==，方向垂直纸面向里．根

据叠加原理，P 点的磁感应强度

001224I

I B a a

μμππ==

方向垂直纸面向里．

（2）当20A I =，0.05m a =时

75141020410(T)22005

B .ππ--??=?=??

20-2．如图所示，将一条无限长直导线在某处弯成半径为R 的半圆形，已知导线中的电流为I ，求圆心处的磁感应强度B r

．

解 根据毕-萨定律，两直线段导线的电流在O 点产生的磁感应强度0B =，半圆环形

导线的电流在O 点产生的磁感应强度0122I

B R

μ=

．由叠加原理，圆心O 处的磁感应强度 04I

B R

μ=

方向垂直纸面向里．

20-3．电流I 若沿图中所示的三种形状的导线流过（图中直线部分伸向无限远）, 试求

各O 点的磁感应强度B ρ

．

解 （a ）根据毕-萨定律和叠加原理，O 点的磁感应强度等于两条半无限长直线电流的磁感应强度和14个圆环形导线的电流的磁感应强度的叠加

0000111(1)22224224

I I I I B R R R R μμμμπ

πππ=

++=+ ，方向垂直纸面向外．

（b ）根据毕-萨定律和叠加原理，O 点的磁感应强度等于下面一条半无限长直线电流的磁感应强度和34个圆环形导线的电流的磁感应强度的叠加

000133(1)224242

I I I B R R R μμμπππ=+=+ ，方向垂直纸面向里．

（c ）根据毕-萨定律和叠加原理，O 点的磁感应强度等于两条半无限长直线电流的磁感应强度和12个圆环形导线的电流的磁感应强度的叠加

000111222222I I I

B R R R μμμππ=++()024I R

μππ=+ ，方向垂直纸面向里．

*20-4．如图所示，电流I 均匀地流过宽为a 2的无限长平面导体薄板．P 点到薄板的

垂足O 点正好在板的中线上，设距离x PO =，求证P 点的磁感应强度B ρ

的大小为

x

a a I B arctan 20πμ=

解 把薄板等分成无限多条宽为d y 的细长条，每

根细长条的电流d d 2I

I y a

=，可视为线电流；无限长

载流薄板可看成由无限多条无限长载流直导线构成．

y 处的细长条在P 点产生的磁感应强度为d B +r

，

y -处的细长条在P 点产生的磁感应强度为d B -r

，二者叠加为沿Oy 方向的d B r ．所以P 点

的磁感应强度B ρ沿Oy 方向，B ρ

的大小

02202cos 2a B x y θπ=+?022220

22a a x y x y

π=?

?++? 0220d 2a Ix y a x y μπ=+?001arctan 2a

Ix y a x x μπ=0arctan 2I a a x μπ

=

*20-5．如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单

层线圈盖住半个球面．设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I ，求球心O 处的B ρ

．

解 在14圆周的圆弧oab 上，单位长度弧长的线圈匝数为 224N N

R R

ππ=

在如图θ处，d θ角对应弧长d l 内通过的电流

22d d d NI NI I l R θππ

==

此电流可视为半径为r 的圆环形电流圈，参见教材p80，此圆环形电流圈在O 处产生的

2222

00033

d sin 2d d sin d 22r I R NI NI B R R R

μμθμθθθππ=== 所以总磁感应强度 20022

00d sin d 4NI NI B B R R

π

πμμθθπ===??

20-6．如图所示，载流长直导线的电流为I ，试求通过与直导线共面的矩形面积CDEF 的磁通量．

解 用平行于长直导线的直线把矩形CDEF 分成无限多个无限小的面元，距长直导线r 处的面元的面积为d d S l r =，设矩形CDEF 的方向为垂直纸面向里，则

d S Φ=B S ???r r 0d 2b a I l r r μπ=?b 0d 2a Il r r μπ=?0ln 2Il b

a

μπ=

20-7．无限长同轴电缆的横截面如图所示，内导线半径为a ，载正向电流I ，圆筒形外导线的内外半径分别为b 和c ，载反向电流I ，两导线内电流都均匀分布，求磁感应强度的分布．

解 考虑毕-萨定律，又因同轴电缆无限长，电流分布具有轴对称性，所以磁感应线在

与电缆轴线垂直的平面内，为以轴线为圆心的同心圆；B r

沿圆周切向，在到轴线距离r 相同

处B r

的大小相等，()B B r =．沿磁感应线建立安培环路L （轴线为圆心、半径为r 的圆），

沿磁感应线方向积分．

在r c >区域，由安培环路定理

110d 2()0L

B l rB I I πμ?==-=?r r ?

可得10B =．在c r b >>区域，由安培环路定理

2222

22002222d 2()L r b c r B l rB I I I c b c b πππμμππ--?==-=--?r r ?

可得22

0222

2I c r B r c b

μπ-=-．在b r a >>区域，由安培环路定理 330d 2L

B l rB I πμ?==?r r ?

可得032I

B r

μπ=

．在a r >区域，由安培环路定理 22

440022d 2L r r B l rB I I a a ππμμπ?===?r r ?

可得0422Ir

B a

μπ=．

20-8．如图所示，厚度为2d 的无限大导体平板，电流密度J 沿z 方向均匀流过导体板，求空间磁感应强度的分布．

解 此无限大导体板可视为无限多个无限薄的无限大平板的叠加，参见习题20-4，可知，0y >区域B r 沿Ox 负方向，0y <区域B r

沿Ox 正方向．

选择如图矩形回路abcda ，ab 与cd 与板面平行、沿Ox 方向，长度为l ，与Oxz 面距离为r ．在r d >的板外区域，根据安培环路定理，有

0d 22L

B l B l dlJ μ?==?r r

?外外

所以0B dJ μ=外．B 外与到板面的距离无关，说明板外为匀强磁场．

在r d <的板内区域，根据安培环路定理，有

0d 22L B l B l rlJ μ?==?r r

?内内 所以0B rJ μ=内．可表示为0B yJi μ=-r r

内（d y d -<<）．

20-9．矩形截面的螺绕环如图所示，螺绕环导线总匝数为N ，导线内电流强度为I ．（1）求螺绕环截面内磁感应强度的分布；（2）证明通过螺绕环截面的磁通量为01

2

ln 2NIh D ΦD μπ=． 解 由于电流分布对过螺绕环中心的对称轴具有轴对称性，所以螺绕环截面内磁感应线在与对称轴垂直的平面内，为以对称轴为圆心的同心

圆；B r 沿圆周切向，在到轴线距离r 相同处B r

的大小相等，()B B r =．在

螺绕环截面内，沿磁感应线作安培环路（以r 为半径的圆，2122

D D

r <<），

由安培环路定理

0d 2L

B l rB NI πμ?==?r

r ?

所以02NI

B r

μπ=

． 通过螺绕环截面的磁通量为

1220

0122

d d ln 22D D NI NIh D B S h r r D μμΦππ=?==??r r

20-10．如图所示，半径为5m 的无限长金属圆柱内部挖出一半径为 1.5m r =的无限长圆柱形空腔．两圆柱的轴线平行，轴间距离 2.5m a =．今在此空心导体上通以5A 的电流，

电流沿截面均匀分布．求此导体空心部分轴线上任一点的B ρ

．

解 设空心导体上电流强度为I ，则电流密度22

()

I

J R r π=-． 电流分布可视为由电流密度为J r

、半径为R 的实心长圆柱，和填充

满挖空区域的、通有反向电流、电流密度为J -r

、半径为r 的圆柱的叠加．

可用安培环路定理求出半径为R 的实心长圆柱电流在O'处的磁感应强度为

2

010222212()2()

Ia I B a a R r R r μμππππ==--

其方向与圆柱轴线以及OO'垂直，与电流I 成右手螺旋关系．

由反向电流的轴对称分布可知，反向电流在其轴线上的磁感应强度为20B =r

．

由叠加原理可得在空心圆柱轴线上的磁感应强度为121B B B B =+=r r r r

，

77012222

410525

1110(T)2()2(515)

Ia

.B .R r .μπππ--???===?--

20-11．把一个2.0keV 的正电子射入磁感应强度为0.10T 的均匀磁场内，其速度v ρ与B ρ

成o

89角，正电子的运动轨迹将是一条螺旋线．求此螺旋线运动的周期T 、螺距h 和半径r ．

解 周期 31

1019

223149111035710(s)1610010

m ..T .qB ..π---???===??? 速率为 319

731

22210161026510(m s)91110k E .v .m .--????===?? 螺距为 7104

cos 8926510cos 893571016510(m)h v T ...--==????=?o o

半径为 3173

19

sin899111026510sin8915110(m)161001

mv ..r .qB ..---????===???o o

20-12．速率选择器如图所示，在粒子穿过的区域V 有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，

两侧有等高的窄缝S ．现有一束具有不同速率的电子束A 从左侧缝穿入，以垂直于E r 和B r

的

方向进入区域V ．若300V U =，10cm d =，4

310T B -=?．试计算能从速率选择器右侧

的缝穿出的粒子的速率．带电粒子的带电符号及质量大小是否影响选择器对它们速率的选择？

解 能从速率选择器右侧的缝穿出的电子必作直线运动，这些电子在电场E r

中的受力

为eE -r ，方向竖直向上；在磁场B r 中的受力为ev B -?r

r ，方向竖直向下；且满足

eE evB =

所以 E U v B dB ==4

30001310

.-=??7

10(m s )= 由于E

v B

=与带电粒子的带电符号及质量大小无关，所以电粒子的

带电符号及质量大小不影响选择器对它们速率的选择．

20-13．一块半导体样品的体积为c b a ??如图所示，0.10cm a =，0.35cm b =，

1.0cm c =cm ．沿x 轴方向有电流I ，沿z 轴方向加匀强磁场B ρ

，已测得 1.0mA I =，

1310T B -=?，样品两侧的电势差 6.55mV AA U '=．

（1）问这半导体是p 型还是n 型，即该半导体的载流子是带正电还是带负电？（2）求载流子浓度n ．

解 （1）由电流方向、磁场方向和A 侧电势高于A'侧电势可知，此半导体的载流子带负电，属于n 型．

（2）AA'IB

n U qa

=

33193

10100365510161010

....----??=????203

28610m .-=?

20-14．如图所示，一条长直导线载有电流130A I =，矩形线圈载有电流220A I =，试计算作用在线圈上的合力．已知：0.01m a =，0.08m b =，0.12m l =．

解 线圈左侧边导线受力

01

11222I F B I l I l a

μπ==

，方向向左． 线圈右侧边导线受力

()

01

22222I F B I l I l a b μπ==

+ ，方向向右．

线圈上下两边导线所受的磁力大小相等、方向相反．因此线圈所受磁力的合力为

()0120121222I I I I F F F l l a a b μμππ=-=

-+()

0122I I lb

a a

b μπ=+ 741030200120082001(008001)

.....ππ-?????=??+312810(N).-=?

方向向左，垂直指向长直导线．

20-15．如图所示，无限长直导线通有电流1I ，半径为R 的半圆形导线ABCDE 通有电流2I ．长直导线过圆心O 且与半圆形导线共面（但不相交），a DE AB ==. 求：（1）

ABCDE 导线中，AB 、?BCD 、DE 各段所受1

I 产生的磁场的作用力的大小和方向，（2）长直导线在圆心O 处元段d l 上所受2I 的磁场力的大小和方向．

解 （1）设直线电流1I 产生的磁感应强度为1B r

． 求AB 段受1I 的作用力时，令y ξ=-，则

01

212d d 2R a AB R I F I l B I k μξπξ

+=?=???r r r r

012ln 2I I R a k a

μπ+=?r

DE 段受到1I 的作用力为

01

012212d d ()ln 22R a DE R I I I R a F I l B I y k k y a

μμππ++=?=?-=-???r r r r r

求?BCD

段受1

I 的作用力时，取电流元2

d I l 如图，d d l R θ=．由于Oz 方向的分力会相互抵消（参见图），只需计算Oy 方向的分量，则

?21202cos d BCD F B I R j πθθ=-???

r r 2

01

202cos d 2cos I I R j R πμθθπθ=-??r 0122

I I j μ=-r

（2）半圆形导线电流2I 在圆心O 点处产生的磁场0224I B i R

μ=r r

，所以

0121212d d d d 4I I l F I l B I B l j j R

μ=?=?=r r r r r

20-16．有一匝数为10匝，长为0.25m ，宽为0.10m 的矩形线圈，放在3

1.010T B -=?的匀强磁场中，通以15A 的电流，求它所受的最大力矩．

解 线圈在匀强磁场中所受的最大力偶矩为

m T NIBS =31015101002501...-=?????337510(N m).-=??

（第二十章题解结束）