优化设计人教高中数学选修第三章章末综合检测

(时间：100分钟；满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在复平面内，复数10i

3＋i

对应的点的坐标为( )

A ．(1,3)

B ．(3,1)

C ．(－1,3)

D ．(3，－1) 解析：选A.10i 3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝3i －i 2＝1＋3i.

2．z 是纯虚数的一个充要条件是( ) A ．z ＋z ≠0 B ．z －z ≠0 C ．z ·z ≠0

D.z ＝－z (z ≠0)

解析：选D.(1)设z ＝b i(b ≠0)，则z ＝－b i ，所以z ＋z ＝0，所以z ＝－z .

(2)设z ＝a ＋b i(z ≠0)，则z ＝a －b i ，因为z ＝－z ，所以a －b i ＝－(a ＋b i)，即a ＝0，又z ≠0，所以b ≠0，所以z 是纯虚数，由(1)，(2)知z 是纯虚数的一个充要条件是z ＝－z (z ≠0)． 3．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

解析：选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以O A →，O B →

为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．

4．复数1＋3i 3－i

等于( )

A ．i

B ．－i C.3＋i

D.3－i

解析：选A.1＋3i 3－i ＝(1＋3i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝3＋i ＋3i －3

4＝i.

5．已知下列命题：

①复数a ＋b i 不是实数；

②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ③若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数． 其中正确的命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

解析：选A.根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数；②是假命题，因为由纯虚数的条件得

?

??

??

x 2－4＝0，

x 2

＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应的复数为实数；③是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .

6．下列命题正确的是( ) A ．若z ∈C ，则z 2＞0

B ．若z 1，z 2∈

C 且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2 C ．若a ＞b ，则2a ＋i ＞2b ＋i

D ．虚数的共轭复数一定是虚数

解析：选D.对A ，当z ＝0或z 为虚数时不成立，两复数不能比较大小，B 、C 不成立，故选D.

7．若复数2－b i

1＋2i

(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )

A. 2

B.2

3

C ．－23

D ．2

解析：选C.因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i

1＋2i (b ∈R )的实部与虚部

互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－2

3

.

8．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( )

A ．0 B.π

2

C ．π

D ．2π

解析：选B.因为

z 2＝(cos θ－isin θ)2＝cos 2θ－isin 2θ，又z 2＝－1，所以

?????

cos 2θ＝－1，

sin 2θ＝0，

再由选择项验证得θ＝π

2.

9．已知复数a i

1＋i

(a ∈R )对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，则a

的取值范围是( )

A ．(－2,2)

B ．(0,2)

C ．(－7，7)

D ．(－2,0)∪(0,2) 解析：选A.因为a i 1＋i ＝a i (1－i )2＝a 2＋a i 2，所以复数a i

1＋i

(a ∈R )对应的点为Z ????a 2，a 2.又复数a i

1＋i (a ∈R )对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，则????a 22＋????a 22＜2，即－2＜a ＜2.

10．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )对应向量的模为3，则y

x

的最大值是( )

A.32

B.33

C. 3

D.1

2

解析：选C.由(x －2)2＋y 2＝3，得(x －2)2＋y 2＝3.∴y

x

可理解为圆上的点(x ，y )与原点(0,0)

连线的斜率，可知相切时最大，如图∠COP ＝π3，∴y

x

＝k ＝ 3.

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在题中横线上)

11．定义运算??????a b c d ＝ad －bc ，若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝??????4i x i 2 x ＋i ，则y ＝________. 解析：依题意，y ＝4i(x ＋i)－2x i ＝4i 2＋2x i ＝－4＋

(1－i )2i

1＋i

＝－4＋2＋2i

1＋i

＝－4＋2＝－2.

答案：－2

12．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是________． 解析：

设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，

以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝

(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)间的距

离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.

答案：3 13．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹为________．

解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， |x ＋1＋y i|＝

(x ＋1)2＋y 2，

|1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝(y －1)2＋x 2， 则

(x ＋1)2＋y 2＝

(y －1)2＋x 2.

∴复数z ＝x ＋y i 对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1,0)和(0,1)距离相等的直线． 答案：直线

14．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z

2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝________.

解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R )，

则ω＝k i

(2＋i )(1＋3i ).

∵|ω|＝52，

∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)

15．在复数集C 内，方程2x 2－(5－i)x ＋6＝0的解为________．

解析：设x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，代入原方程整理得(2a 2－2b 2－5a ＋6－b )＋(4ab ＋a －5b )i

＝0，于是有????? 2a 2

－2b 2

－5a ＋6－b ＝0，4ab ＋a －5b ＝0，解得?????

a ＝1

b ＝1或???

a ＝3

2

，

b ＝－32，

所以x ＝1＋i 或x ＝3

2

－

32

i. 答案：x ＝1＋i 或x ＝32－3

2

i

三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．已知x 、y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝5

1＋3i ，求x 、y 的值．

解：x 1＋i ＋y 1＋2i ＝5

1＋3i 可写成x (1－i )2＋y (1－2i )5＝5(1－3i )10.

5x (1－i)＋2y (1－2i)＝5－15i ， (5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i.

∴????? 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15.∴?

????

x ＝－1，

y ＝5. 17．已知函数f (x )＝x 21＋x 2

，求f (1)＋f (2i)＋f ????12i ＋f (3i)＋f ????13i ＋f (4i)＋f ????14i 的值． 解：f (1)＝121＋12＝12，f (x )＋f ????1x ＝x 21＋x 2＋1

x 21＋1x

2

＝1.f (1)＋f (2i)＋f ????12i ＋f (3i)＋f ????13i ＋f (4i)＋f ????14i ＝12＋1＋1＋1＝72

. 18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；

(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．

解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.

(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.

19．已知z ＝1＋i ，

(1)设ω＝z 2＋3z －4，求ω；

(2)如果z 2＋az ＋b

z 2－z ＋1

＝1－i ，求实数a ，b 的值．

解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝1＋2i －1＋3－3i －4＝－1－i. (2)由(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ，

得(2＋a )i ＋a ＋b ＝1＋i ，

???

?? a ＋b ＝1，2＋a ＝1，∴?????

a ＝－1，

b ＝2.

20．设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→

分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5

－(10－a 2)i ，

z 2＝21－a

＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．

解：依题意得z 1＋z 2为实数，

∵z 1＋z 2＝3a ＋5＋2

1－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ，

∴????

?

a 2

＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0.

∴a ＝3.

此时z 1＝3

8－i ，z 2＝－1＋i ，

即OZ 1→＝???

?38，－1，OZ 2→

＝(－1,1)． ∴OZ 1→·OZ 2→＝3

8×(－1)＋(－1)×1＝－118

.