完整word版,20xx高考一轮复习教案-函数及其表示.doc

第一节函数及其表示

1．函数的概念及其表示

(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

了解映射的概念．

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象

法、列表法、解析法 )表示函数．

2．分段函数及其应用

了解简单的分段函数，并能简单应用．

知识点一函数与映射的概念

函数映射

两集合 A，

设 A、 B 是两个非空的数集设 A、 B 是两个非空的集合B

如果按照某种确定的对应关系f，使对如果按某一个确定的对应关系f，使对对应关系

于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B

于集合 A 中的任意一个元素x，在集合f： A→ B

f(x)和它对应 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应中都有唯一确定的数

称 f ： A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一称 f ： A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一名称

个函数个映射

易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到 B 的一个映射， A、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．

[ 自测练习 ]

1．下列图形可以表示函数y＝ f(x)图象的是 ( )

知识点二

函数的有关概念

1． 函数的定义域、值域

(1)在函数 y ＝ f(x)，x ∈ A 中，自变量 x 的取值范围 (数集 A)叫作函数的定义域；

函数值的

集合 { f(x)|x ∈ A} 叫作函数的值域．

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

2． 函数的表示方法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3． 分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，

因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，

这种函数称为分段函数．

(2) 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

易误提醒 (1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先 ” 的原则．

(2)误把分段函数理解为几个函数组成． 必备方法

求函数解析式的四种常用方法

(1)配凑法：由已知条件

f(g(x)) ＝F(x) ，可将 F(x)改写成关于

g(x)的表达式，然后以

x 替

代 g(x) ，便得 f(x)的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型

(如一次函数、二次函数 )可用待定系数法；函数的实

际应用问题多用此法；

(3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

1

或 f(－ x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外

(4)解方程组法：已知关于 f(x)与 f x 一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)．

[ 自测练习 ]

2． (2016 贵·阳期末 )函数 f(x)＝ log ( x ＋ 1)的定义域为 ()

2

A ． (0，＋∞ )

B ． [－1，＋∞ )

C ．( －1，＋∞ )

D ．(1，＋∞ ) 3． f(x) 与 g(x)表示同一函数的是 (

)

3

A ． f(x)＝ x 2－ 1与 g(x)＝ x －1· x ＋ 1

B ． f(x)＝ x 与 g(x)＝ x

2 ＋ x

x ＋ 1

C ．y ＝ x 与 y ＝ ( x)

2

D ． f(x)＝ x 2

与 g(x)＝ 3

x 3

x2＋1， x≤ 0，

4．若函数 f( x)＝1 则 f(f(2)) ＝ ()

log 2x， x>0 ，

A．－ 1 B ． 2

C．1 D ．0

考点一函数的定义域问题|

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题探究角度有：

1．求给定函数解析式的定义域；

2．已知 f(x)的定义域，求f(g(x)) 的定义域；

3．已知定义域确定参数问题．

探究一求给定解析式的定义域

1． (2015 江·西重点中学一联)函数 f(x)＝3x

＋ lg(3－ x)的定义域是 ( ) x－ 2

A ． (3，＋∞ )

B ． (2,3)

C．[2,3) D ．(2，＋∞ )

探究二已知 f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域

f 3x

的定义域是 ( )

2．若函数 y＝ f(x)的定义域是 [0,3] ，则函数 g(x)＝x－1

A ． [0,1)

B ． [0,1]

C．[0,1) ∪(1,9] D ．(0,1)

探究三已知定义域求参数范围问题

3．若函数f( x)＝2x2＋ 2ax－ a－ 1的定义域为R，则 a 的取值范围为 ________．

函数定义域的三种类型及求法

(1) 已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组 )求解．

(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组 )求解．

(3) 若已知函数 f(x)的定义域为 [a，b]，则函数 f(g(x)) 的定义域由不等式a≤g( x)≤ b 求出．

考点二

函数解析式的求法 |

(1) 已知 f(1－ cos x)＝ sin 2x ，求 f(x)的解析式；

(2)已知 f(x)是二次函数且

f(0)＝ 2， f(x ＋ 1)－ f(x) ＝x － 1，求 f(x)的解析式；

1

(3)已知 f(x)＋ 2f x ＝x( x ≠0)，求 f(x) 的解析式．

函数解析式求法中的一个注意点

利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．

求下列函数的解析式：

2 (1)已知 f x ＋ 1

＝lg x ，求 f(x)；

(2)2f(x)－ f(－ x)＝lg( x ＋ 1)，求 f(x)．

考点三分段函数 |

2x－1－ 2， x≤ 1，1． (2015 高·考全国卷Ⅰ )已知函数且 f(a) ＝－ 3，则 f(6－a)

f(x)＝

－ log2 x＋ 1 ，x>1 ，

＝()

7 5

A．－4 B．－4

3 1

C．－4 D．－4

2．(2015 高·考全国卷Ⅱ )如图，长方形 ABCD 的边 AB＝ 2，BC＝ 1，O 是 AB 的中点．点P 沿着边 BC， CD 与 DA 运动，记∠ BOP＝ x.将动点 P 到 A， B 两点距离之和表示为x 的函数 f(x)，则 y＝ f(x)的图象大致为 ( )

分段函数“两种”题型的求解策略

(1)根据分段函数解析式求函数值

首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．

(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围

应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段

的自变量的取值范围．

3.分段函数的定义理解不清致误

2x＋a， x<1，

若 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，则 a 的【典例】已知实数 a≠0，函数 f(x)＝

－ x－ 2a， x≥ 1，

值为 ________．

[易误点评 ] 本题易出现的错误主要有两个方面：

(1)误以为 1－a<1,1＋ a>1，没有对 a 进行讨论直接代入求解．

(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．

[防范措施 ] (1) 对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．

(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意

求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．

x， x≥ 0，

[跟踪练习] 设函数f(x)＝若 f(a)＋ f(－ 1)＝ 2，则a＝ ( )

－x， x<0 ，

A．－ 3 C．－ 1

B．±3

D ．±1

A 组考点能力演练

1． (2015 高·考陕西卷 )设 f(x)＝1－ x，x≥0，

则 f[f(－ 2)]＝ ( ) 2x， x<0，

1 1 3

A．－ 1 B.4 C.2 D.2

1

＋ x的定义域为 () 2． (2015 北·京朝阳模拟 )函数 f(x)＝x－1

A ． [0，＋∞ )

B ． (1，＋∞ ) C．[0,1) ∪(1，＋∞ ) D ．[0,1)

3．已知函数 f(x)的定义域为 (－∞，＋∞ )，如果 f(x＋ 2 014)＝

2sin x， x≥0

，那么lg － x ，x<0

π

f 2 014＋4·f(－7 986)＝ ()

A．2 014 B ． 4

1 1

C.4

D.

2 014

3＋ x x 3

4． (2016 岳·阳质检 )设函数 f(x)＝ lg3－x，则 f 3＋ f x的定义域为 ()

A ． (－ 9,0)∪ (0,9)

B ． (－9，－ 1)∪ (1,9)

C．( －3，－ 1)∪ (1,3) D ．(－ 9，－ 3)∪ (3,9)

5．若函数 f( x)＝ x2＋ ax＋ 1的定义域为实数集R，则实数 a 的取值范围为 () A ． (－ 2,2) B． (－∞，－ 2)∪(2，＋∞ )

C．( －∞，－ 2]∪ [2，＋∞ ) D． [－ 2,2]

6． (2015 陕·西二模 )若函数 f(x)＝lg x，x>0

，则 f(f( － 99))＝ ________. 1－ x， x≤ 0

7．函数 y＝ f(x)的定义域为 [ －2,4] ，则函数g(x)＝ f(x)＋ f( － x)的定义域为 ________．

1

＝－ f(x)的函数，我们称为满足“倒

8．具有性质： f x 负”变换的函数．下列函数：

x， 0

1 1 0， x＝1，

① y＝ x－x；② y＝ x＋x；③ y＝ 1

－x， x>1.

其中满足“倒负”变换的函数是________．

x－ 1， x>0，

9．已知 f(x)＝ x2－ 1， g(x)＝

2－ x， x<0.

(1)求 f(g(2))和 g(f(2)) 的值；

(2)求 f(g(x))的解析式．

10．动点 P 从单位正方形 ABCD 的顶点 A 出发，顺次经过B， C， D 绕边界一周，当 x

5

表示点 P 的行程， y 表示 PA 的长时，求 y 关于 x 的解析式，并求 f 2 的值．

B 组高考题型专练

1

1． (2014 ·考山东卷高 )函数 f(x)＝的定义域为()

log2 x－ 1

A ． (0,2)

B ． (0,2]

C．(2，＋∞ ) D ．[2，＋∞ )

2． (2015 ·考湖北卷高

x2－5x＋ 6

) )函数 f(x)＝ 4－ |x|＋ lg 的定义域为 (

x－ 3

A ． (2,3)

B ． (2,4]

C．(2,3) ∪(3,4] D ．(－ 1,3)∪ (3,6]

3x－ b，x<1， 5

3． (2015 高·考山东卷 )设函数 f(x)＝2x， x≥ 1. 若 f f 6 ＝ 4，则 b＝ ()

7

A ． 1 B.8

3 1

C.4

D.2

4． (2015 ·考浙江卷高)存在函数 f(x)满足：对于任意x∈ R 都有 ( )

A ． f(sin 2x)＝ sin x

B ． f(sin 2 x)＝ x2＋ x

C．f(x2＋ 1)＝ |x＋ 1| D． f( x2＋ 2x)＝ |x＋1|

5． (2014 高·考四川卷 )设 f( x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈ [ － 1,1)时， f(x)＝－ 4x2＋ 2，－ 1≤ x＜ 0， 3

x， 0≤ x＜1，则 f 2＝ ________.

答案： 1.解析：本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个x 只能对应一个y，所以排除 A ， B， C，故选 D.

2.解析：由 x＋ 1>0 知 x>－ 1，故选 C.答案： C

3.解析：选项 A ，C 中的函数定义域不同，选项D的函数解析式不同，只有选项 B 正确．

4.解析：本题考查分段函数、复合函数的求值．由已知条件可知，

1

f(2) ＝log22＝－ 1，所

以 f(f(2)) ＝ f(－ 1)＝ (－ 1)2＋ 1＝ 2，故选 B.答案： B

x－ 2>0 ，

1.解析：本题考查函数的定义域．由题意得解得 2

3－ x>0，

0≤ 3x≤ 3，

即 0≤ x<1，因此函数 g(x)的定义域是 [0,1) ，故选 A.

2.解析：依题意得

x－ 1≠0，

.解析：函数 f(x)的定义域为 R，所以 2x2＋ 2ax－ a－1≥ 0 对 x∈R 恒成立，即 2x2＋ 2ax－a≥ 1， x2＋ 2ax－ a≥ 0 恒成立，因此有＝ (2a)2＋4a≤ 0，解得－ 1≤a≤ 0.答案： [－ 1,0] 例 1 [解 ] (1)f(1－ cos x)＝ sin2x＝ 1－ cos2x，

令 t＝ 1－ cos x，则 cos x＝ 1－t ，

t∈[0,2] ，∴f(t)＝ 1－ (1－ t)2＝ 2t－ t2，

t∈[0,2] ，

即 f(x) ＝2x－ x2， x∈[0,2] ．

(2)设 f(x)＝ ax2＋ bx＋c( a≠ 0)，由 f(0) ＝2，得 c＝2，

f(x＋1) －f(x)＝ a(x＋ 1)2＋ b(x＋ 1)－ ax2－ bx＝ x－ 1，即 2ax＋ a＋ b＝ x－ 1，

1

2a＝1，a＝2，

∴即

a＋ b＝－ 1，

3

b＝－2.

∴f(x) ＝1

2x2－

3

2x＋ 2.

11 1

(3)∵f(x)＋ 2f x＝ x，∴f x＋ 2f( x)＝x.

1

f x ＋ 2f x ＝ x ，

2 x 2 2

解方程组

1

1

得 f(x)＝ 3x － 3(x ≠ 0)．变式 1 解：(1)令 t ＝ x ＋ 1，则 x ＝ t － 1 ，

f x ＋ 2f x ＝ x ，

∴f(t)＝ lg 2

，即 f(x)＝ lg 2 (x>1)．

t － 1 x － 1

(2)∵2f( x)－ f(－ x)＝ lg( x ＋ 1)，∴2f( －x)－ f(x)＝ lg(1－ x)．

2f x －f － x ＝ lg x ＋ 1 ，

解方程组

得

2f － x － f x ＝ lg 1－ x

2 1

f(x)＝ 3lg(x ＋ 1)＋ 3lg(1－ x)(－ 1

2

x －1

－ 2， x ≤ 1，

a>1，

1.解析： 因为 f(x) ＝

f(a)＝－ 3，所以

或

－ log 2 x ＋ 1 ， x>1，

－ log 2 a ＋ 1 ＝－ 3，

a ≤ 1，

2

a － 1

－ 2＝－ 3，

7

解得 a ＝ 7，所以 f(6－ a)＝ f(－ 1)＝ 2－1－

1－ 2＝－ 4，选 A. 答案： A

π

π π

2.解析： 由于 f(0) ＝2， f 4 ＝ 1＋ 5，f 2 ＝ 2

2

项 C 、 D ；当点 P 在 BC 上时， f(x)＝ BP ＋ AP ＝ tan x ＋ 4＋ tan 2x

π

0≤ x ≤ 4 ，不难发现 f(x)的图象是非线性的，排除选项

A. 故选

B.答案： B

1.[解析 ] 当 a>0 时，1－ a<1,1＋ a>1，由 f(1－ a)＝ f(1＋ a)可得 2－ 2a ＋ a ＝－ 1－ a － 2a ， 解得 a ＝－ 3

，不合题意；当 a<0 时， 1－ a>1,1＋ a<1，由 f(1 －a)＝f(1＋a) 可得－ 1＋ a － 2a

2

3 3

＝2＋ 2a ＋ a ，解得 a ＝－ .[ 答案 ] －

4

4

变式 解析： 因为 f(－1)＝ － － 1 ＝1，所以 f(a)＝ 1，当 a ≥0 时， a ＝ 1，所以 a ＝ 1；

当 a<0 时， － a ＝1，所以 a ＝－ 1.故 a ＝ ± 1.

答案： D

1.解析： 由 f(－ 2)＝ 2－

2＝ 1

1 1 1

4，∴f[f(－ 2)]＝ f 4 ＝1－

4

＝2.

答案： C

2.解析： 本题考查函数的定义域．根据函数有意义的条件建立不等式组．要使函数

f(x)

x － 1≠ 0，

解得 x ≥ 0 且 x ≠ 1，即函数定义域是

[0,1) ∪(1，＋ ∞ )，故选 C.

有意义，则

x ≥ 0，

3.3.解析： f 2 014＋ π ＝ π

4 2sin ＝1， f(－ 7 986)

4

＝ f(2 014－ 10 000)＝ lg 10 000 ＝4，

π

则 f 2 014＋ 4 ·f(－ 7 986)＝ 4.答案： B

4.解析： 利用函数 f(x)的定义域建立不等式组求解． 要使函数 f( x)有意义， 则 3＋x

>0，解

3－x

x

x

3

－ 3< 3<3，

－ 9

得－ 3

3 解得

所以定义域

－ 3< x <3， x<－ 1或x>1 ，

为( －9，－ 1)∪(1,9) ，故选 B. 答案： B

5.解析： 函数的定义域为 R 等价于对 ? x ∈R ，x 2＋ax ＋ 1≥ 0，令 f(x)＝ x 2＋ ax ＋ 1，结合

二次函数的图象 (图略 )，只需

＝ a 2－ 4≤ 0 即可，解得实数 a 的取值范围为 [ －2,2] ，故选 D.

6.解析： f(－ 99)＝1＋ 99＝100，所以 f(f(－ 99)) ＝f(100)＝lg 100 ＝ 2.答案： 2

－ 2≤ x ≤ 4，

7.解析： 由题意知

解得－ 2≤ x ≤ 2.答案： [－2,2]

－ 2≤－ x ≤ 4，

1

1

1

1 1 1

8.解析：对于①， f(x)＝ x － x ，f x ＝ x － x ＝－ f(x)，满足题意； 对于②， f x ＝ x ＋ 1＝f(x)≠

x －f(x)，不满足题意；对于③，

1 1

，

1

x

，0< <1

x

x ，x>1， 1

1

1

f x ＝ 0， x ＝ 1，

即 f x ＝

0， x ＝ 1，

1

－ x ， 0< x<1.

－ x ，x >1 ，

1

故 f x ＝－ f(x)，满足题意．

答案： ①③

9.解： (1)由已知， g(2) ＝ 1， f(2)＝ 3，∴f(g(2)) ＝ f(1)＝ 0，g(f(2))＝ g(3)＝ 2.

(2)当 x>0 时， g(x) ＝x－ 1，故 f(g(x)) ＝(x－1)2－ 1＝ x2－ 2x；当 x<0 时， g(x)＝ 2－ x，故

x2－2x，x>0，

f(g(x)) ＝ (2－x)2－ 1＝x2－4x＋ 3；∴f(g(x)) ＝

x2－4x＋ 3， x<0.

10.解：当 P 点在 AB 上运动时， y＝ x(0≤ x≤1) ；当 P 点在 BC 上运动时，

y＝12＋ x－ 1 2＝x2－2x＋ 2(1

x2－ 2x＋ 2，1

∴f 2＝2 .

x2－ 6x＋ 10， 2< x≤ 3，

4－ x， 3

B 组高考题型专练

log2x－ 1>0，

1.解析：∵f(x)有意义，∴∴x>2，∴f(x)的定义域为 (2，＋∞) ．答案： C

x>0.

4－ |x|≥ 0

－ 4≤ x≤ 4

2.解析：依题意知，x2－ 5x＋6 ，即，即函数的定义域为 (2,3)∪(3,4] ．答

x－ 3

>0 x>2且 x≠ 3

案： C

5 5 5 5 3 5

3.解析： f f 6＝ f 3×6－ b ＝ f 2－ b .当2－ b<1，即 b>2时， 3×2－ b － b＝4，解得 b 7 5 3 5 1

＝8(舍 )．当2－ b≥1，即 b≤2时，22－ b＝ 4，解得 b＝2.故选 D.答案： D

4.解析：本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x 有唯一的 y 与之相对应．对于 A ，

π 5π

当 x＝4或4时， sin 2x 均为 1，而 sin x 与 x2＋ x 此时均有两个值，故 A 、B 错误；对于 C，当 x＝ 1 或－ 1 时， x2＋ 1＝2，而 |x＋ 1|有两个值，故 C 错误，故选 D. 答案： D

3 3

－ 2 ＝ f 1

.又∵当 x∈[－1,0)时， f(x) ＝－ 4x2＋ 2，

5.解析：∵f(x)的周期为 2，∴f 2＝ f 2 －2

∴f

1 1 2

－2＝－ 4× －2＋ 2＝1.答案： 1