(整理)傅立叶变换与拉普拉斯变换

附录A 傅里叶变换

1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS

狄立赫雷条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞

dt t f T 1

)(。

傅里叶级数：正交函数线性组合。 正交函数集可以是三角函数集

}:s i n ,c o s ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集

}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1

，角频率为1

1122T f π=π=ω。

任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。

傅里叶级数：

∑∞

=ω+ω+

=1

110)sin ()(n n n t n b t con a a t f

系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。

称11111/()f T f ω==为信号的基波、基频；1(,2~)i nf i n ω=为信号的n 次谐波。

根据欧拉公式：cos ,sin 22in t in t in t in t

e e e e n t n t i

ωωωωωω--+-== 复指数形式的傅里叶级数： ∑∞

-∞

=ω=

n t jn n e F t f 1

)(

(1) 周期信号的傅里叶频谱：

(i) 称{}n F 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS 谱。 (ii)称{}n F 为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS 幅度谱。

(iii)称{}n ?为傅里叶复数相位频谱，简称FS 相位谱。

(iv)周期信号的FS 频谱仅在一些离散点角频率1ωn (或频率1nf )上有值。 (v)FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为11/2T π=ω。

(vi)FS 谱、FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS 频谱的值、幅度和相位 2 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)

(1) 信号f (t )的傅里叶变换：[]

)()()(t f F dt e

t f F t

j ?

∞

∞-ω-==ω?

是信号)(t f 的频谱密度函数或FT 频谱，简称为频谱(函数)。

(2) 频谱密度函数)(ωF 的逆傅里叶变换为：

[]

)(?)(21

)(1ω=

ωωπ

=-∞

∞

-ω?

F F d e F t f t j (3) 称t j e ω-为FT 的变换核函数，t j e ω为IFT 的变换核函数。

(4) FT 与IFT 具有唯一性。如果两个函数的FT 或IFT 相等，则这两个函数必然相等。 (5) FT 具有可逆性。如果[])()(ω=F t f F ，则必有[])()(1t f F F =ω-；反之亦然。 (6) 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成

)

()()(ω?ω=ωj e F F

(i) 称)(ωF 为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性； (ii) 称())()(ω=ω?F Arg 为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。

(7) FT 频谱可分解为实部和虚部：)

()()(ω+ω=ωi r jF F F

)

()

(arctan )(,)()()(22ωω=ω?ω+ω=ωr i

i r F F F F F

()())(sin )()(,)(cos )()(ω?ω=ωω?ω=ωF F F F i r

(8) FT 存在的充分条件：时域信号)(t f 绝对可积，即?

∞∞

-∞

注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT 。 (2) FT 及IFT 在赫兹域的定义：

?∞

∞

-π-=

dt e t f f F ft j 2)()(；?∞

∞-π=

df

e

f F t f ft

j 2)()(

(3) 比较FS 和FT ：

3 典型非周期信号的FT 频谱 (1) 单边指数信号：

ω

ω

|F(ω)|

1/a

?(ω) π/2 -π/2 0 0

t 0

1

f (t ) (a )

(b )

(c )

图1 (a)单边指数信号 (b)幅度谱 (c)相位谱

(2) 偶双边指数信号：)0()(>=-a e t f t a

ω

F(ω) 2/a

0 t 0 1

f (t ) (a )

(b )

图2 (a)偶双边指数信号 (b)频谱

(3) 矩形脉冲信号

F (ω)

E τ=矩形脉冲面积

0 τπ2 τπ4

τπ

6 ω

-τ/2 0 τ/2 t

f (t )=)(t EG τ E

(a ) (b )

图3 (a)矩形脉冲信号 (b)频谱

(4) 符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT 。

|F(ω)|

-a a ω (b )Sgn(t)

1

0 t

-1

(a )

图5 (a)符号函数 (b)频谱

(5) 阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT

|F(ω)| (π)

0 ω

u(t)

1

0 t

图6 单位阶跃函数及其幅度谱

附录B 拉普拉斯变换及反变换 一．拉普拉斯变换及逆变换

定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数

)s (F t d e )t (f t s =?

∞

-

-0

其中，S=σ+j ω 是复参变量，称为复频率。

左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换； 右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S 为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t ），则拉普拉斯变换为

t d e t t f S F t s ?

∞

-

-=

0))()(（ε

其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

拉普拉斯反变换：

S d e S F t j

t f j j t S ?∞

+∞

-=σσεπ)()(21

)(

这是复变函数的积分

拉氏变换和拉氏反变换可简记如下

F(S)=L[f(t)] ； f(t)=L -1[F(s)]

1()([n n k f t dt s s

-+=+∑?

个

二．拉普拉斯反变换的应用

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即

11

10

111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,

,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数

定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。

（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，

即

∑=-=-++-++-+-=n

i i

i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122

11)( （F-1）

式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i

i i s s c s s F s →=- （F-2）

或 i

s

s i s A s B c ='=)()

( （F-3）

式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原

函数为

[]?

??

??

?-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11

1

)()(＝

1

i n

s t

i i c e

=∑

(F -4)

（2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

())

()()()

(11n r r

s s s s s s s B s F ---=

+ =n

n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11

111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算：

)()(lim 11

s F s s c r s s r -=→

11lim

[()()]i

r r s s d

c s s F s ds

-→=-

)()(lim !11)()

(1s F s s ds

d j c r j j s s j

r -=→-

(F-5)

)()(lim )!1(11)1()

1(11s F s s ds

d r c r r r s s --=--→

原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=

??????-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11

111

1111)()()

( t s n

r i i t s r r r r i

e c e c t c t r c t r c ∑+=---+??

????+++-+-=112211

1

)!2()!1( （F-6）

用拉普拉斯变换解微分方程：

例1 求解常微分方程 336t x x x x e -''''''+++=，

(0)(0)(0)0x x x '''===.

解：令()[()]X s l x t =，在方程两边取Laplace 变换，并应用初始条件，得

326

()3()3()()1

s X s s X s sX s X s s +++=

+， 求解此方程得 4

3!

()(1)X s s =+，

求Laplace 逆变换，得 11343!()[()](1)t

x t l X s l t e s ---??===??

+??

. 例2求解常微分方程 43t x x x e -'''++=，

(0)(0)1x x '==.

解：令()[()]X s l x t =，在方程两边取Laplace 变换，并应用初始条件，得

()21

()14()13()1

s X s s sX s X s s --+-+=

+， 求解此方程得 2266

()(1)(3)s s X s s s ++=++

2

7734(1)2(1)4(3)

s s s =+-+++， 求Laplace 逆变换，得3713()424t t x t t e e --??

=+- ???

.

例3求解常微分方程组2312,(0),(0),22

12,(0)1,(0).

2

t

x x y e x x x y y t y y ?''''--==-=????''''--===-??

解：()[()],()[()]X s l x t Y s l y t ==，在方程组两边取Laplace 变换，并应用初始条件得

2

23311()()2()2,221

312()()2(),

22s X s s X s sY s s sX s s Y s s Y s s ?+---+=??-?

?+-+--=??

求解得2332(),2(1)113(),2(1)2X s s s Y s s s s ?

=-+?-?

??=--+?-?

取Laplace 逆变换得原方程组的解为

23()2,2

113().

222t t x t e t y t e t ?

=-+????=--+??

傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质应用

1.前言 1.1背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以 使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积 分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属 于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变 换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成 分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例 如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 成分。Pierre Simon Laplace （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他 的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理 论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉 斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理 学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛 （1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方 法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论 的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依 据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也 是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉 普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并 且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识 定理1.2.1（傅里叶积分定理）

拉普拉斯变换及逆变换

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中，直接计算 32 8 .95781 2028.6?? =N 5 3)164.1(? 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内 收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= 0)()( （12.1） 称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为() f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数） ，记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： （1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。 （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。 例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。 解：00 00[]()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =- =-+? ?? 2020 ][0p a e p a dt e p a pt pt =-=+ =∞ +-∞+-? ) 0(>p

傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义频域的相位与时域的相位有关系吗信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。 想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。 傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。 傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正

典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换

成绩评定表

课程设计任务书

目录 1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)

1．Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面： 1）数学计算； 2）新算法研究开发； 3）建模、仿真及样机开发； 4）数据分析、探索及可视化； 5）科技与工程的图形功能； 6）友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户

傅里叶变换和拉普拉斯变换

傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义 一傅里叶变换在应用上的局限性 在第三章中，已经介绍了一个时间函数()t f 满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变 换。即 ()()dt e t f j F t j ωω-∞ ∞-?∞= (正变换) (5.1) ()()ω ωπ ωd e j F t f t j ? ∞ ∞ -= 21 (反变换) (5.2) 但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号()t U ，斜变信号()t tU ，单边 正弦信号()t tU ωsin 等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。 还有一些信号，例如单边增长的指数信号()t U e at ()0>a 等，则根本就不存在傅里叶变换。 另外，在求傅里叶反变换时，需要求ω从∞-到∞区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。 利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。 由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。 实际上，信号 ()t f 总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号()t f 接入系统的时刻作为0=t 的 时刻(称为起始时刻)，那么，在t ＜0的时间内即有()t f =0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这 样，式(5-1)即可改写为 ()()dt e t f j F t j ωω-∞ ?-=0 (5-3) 式(5-3)中的积分下限取为- 0，是考虑到在0=t 的时刻()t f 中有可能包含有冲激函数()t δ。但要注 意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是ω)，不过此时要在公式后面标以t ＞0，意即只有在t ＞0时 ()t f 才有定义，即 ()()ω ωπ ωd e j F t f t j ? ∞ ∞ -= 21 t ＞0 (5-4a) 或用单位阶跃函数()t U 加以限制而写成下式，即 ()()()t U d e j F t f t j ???? ??=?∞ ∞-ωωπ ω21 (5-4b) 二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 当函数 ()t f 不满足绝对可积条件时，可采取给()t f 乘以因子t e σ-（σ 为任意实常数)的办法，这样 即得到一个新的时间函数 ()t e t f σ-。今若能根据函数()t f 的具体性质，恰当地选取σ 的值，从而使当 ∞→t 时，函数()0→-t e t f σ，即满足条件 ()0 lim =-∞→t t e t f σ 则函数 ()t e t f σ-即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子t e σ-起着使函数 ()t f 收敛的作用，故称t e σ-为收敛因子。 设函数() t e t f σ-满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据式(5-3)有 ()()()()dt e t f dt e e t f j F t j t j t ωσωσω+-∞ --∞ ??--==0

傅里叶变换及拉普拉斯变换的比较研究

学号1109141006 论文 课题：拉氏变换和傅里叶变换的关系 学生姓名：陈兴宇 院系：电气工程学院 专业班级：2011级电气工程及其自动化（1）班指导教师：董德智 二0一三年六月

1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介 (2) 1.1 傅里叶变换 (2) 1.1.1 傅里叶变换的历史由来 (2) 1.1.2 傅里叶变换的定义 (2) 1.1.3 傅里叶变换与逆变换的性质 (3) 1.2 拉普拉斯变换 (4) 1.2.1 拉普拉斯变换的历史由来 (5) 1.2.2 拉普拉斯变换的定义 (5) 1.2.3 拉普拉斯变换与逆变换的性质 (6) 1.3 小结 (7) 2 傅氏变换与拉氏变换的比较研究 (7) 2.1 两种积分变换在求解广义积分中的应用 (7) 2.2 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用 (10) 2.3 两种积分变换在求解偏微分方程中的应用 (12) 2.4 两种积分变换在电路理论中的应用 (16) 3 总结 (20) 参考文献 (23)

1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介 人们在处理与分析工程实际中的一些问题时，常常采取某种手段将问题进行转换，从另一个角度进行处理与分析，这就是所谓的变换。在数学、物理、工程技术等领域中应用最多的是傅里叶变换与拉普拉斯变换。下面对傅氏变换与拉氏变换进行简单的介绍。 1.1 傅里叶变换 1.1.1 傅里叶变换的历史由来 17世纪和18世纪，在牛顿和莱布尼茨等科学巨人的推动下，数学获得了飞速的发展。随着函数、极限、微积分和级数理论的创立，法国数学家傅里叶在研究热传导问题时发表了《热的解析理论》的论文[1]，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶变换的理论基础。其后，泊松、高斯等人最早把这一成果应用到电学中去。时至今日，傅里叶分析法不仅广泛应用与电力工程、通信和控制领域中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中都得到了广泛而普遍的应用。 1.1.2 傅里叶变换的定义 由《数学物理方法》课程的知识可知，对于(),-∞+∞上的非周期函数()f t 有如下的傅里叶积分定理[2]： 设()f t 在(),-∞+∞上有定义，且 ①在任一有限区间上满足狄利克雷条件[3]（即连续或有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点）； ②在无限区间(),-∞+∞上绝对可积，即 ()f t +∞ -∞ <+∞? 则有傅里叶积分公式 1 ()()2i i t f t f e d e d ωτωττωπ +∞ +∞--∞ -∞??= ???? ? ? (1-1) 在()f t 的连续点x 处成立，而在()f t 的第一类间断点0x 处，右边的积分应以 ()001 0(0)2 f x f x ++-????代替。

拉普拉斯变换及反变换.

拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 表-1 拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+=+∑? 个 2．常用函数的拉氏变换和z 变换表

表-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即

11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理 可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i i i s s c s s F s →=- （2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝1 i n s t i i c e =∑ (4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ 11lim [()()]i r r s s d c s s F s ds -→=- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (5)

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020

§13拉普拉斯变换 重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点： 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 预习知识： 积分变换 §13－1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中c为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即： 它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如 i(t),u(t)。 3）象函数F(s)存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数

(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表

拉普拉斯变换及其反变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -，m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

《傅里叶变换与拉普拉斯变换区别演讲稿》

《傅里叶变换与拉普拉斯变换区别演讲稿》这个演讲分为三部分进行展开。在介绍两者区别之前，首先将给大家带来的是两种变换的背景以及两种变换的给我们带来的便利。最后进入到正题，两种变换之间的差别。 第一部分两种变换的背景。 首先是傅里叶变换的背景。这个背景想必大家在高数课，电分课和之前的信号与系统课上已经阅读过了，那么在这里大家可以稍稍再重温一遍。 接下来是拉普拉斯变换的背景。 大家一定没有想到，拉普拉斯变换并不是由拉普拉斯发明的，而是由这为heaviside先生发明的。拉普拉斯对这项变换的贡献是进行了严密的数学定义，确定其可行性后进行了推广。因此这项变换被称为拉普拉斯变换。 说一句额外的话，在准备内容时，我本指望能像傅里叶变换一样，找到有关拉普拉斯变换发展的波澜历史，却因拉普拉斯变换并不是被其发明者命名，所以有关heaviside先生如何得到这种变换的资料少之又少，而拉普拉斯对其定义的过程相对来说又很枯燥，并没有什么值得记载的故事，因此大家可以从刚刚这段说明中看出拉普拉斯的发展历史只是草草陈述。这也告诉我们，做事一定要完备，知识一定要渊博，否则发现了什么却忘记对其进行推广，或者知道要去推广却因数学功底不足而无法给出严格定义以及证明，流芳百世的机会也只能拱手让人。

因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现实意义，引入拉普拉斯单边变换。下述有关拉普拉斯变换的讨论均基于拉普拉斯单边变换。 第二部分 两种变换带来的便利。 首先是傅里叶变换带给我们的方便。求解线性电路有了通法。面对三角函数信号，以及电容电感这类原件，时域中求解电路状态变得十分困难。但通过电分的学习，我们掌握了频域解法。又通过傅里叶变换，我们可以将任何信号变成虚指数或者说三角函数形式，对于线性系统，我们可以依次求解这些三角函数分量作用时的电路状态，再加和。所以只要是线性系统我们都可以求解。 我们能够从一个不随时间变换的空间中观察函数或者信号。傅里叶就是通往这个世界的大门，把时域信号转换至频域。在这个域中，时间不是变量，频率才是变量。并且在这个域中，人们可以方便地观察不同频率的信号分量。 其次是拉普拉斯变换带给我们的便利。其实这两项优点是同一项，求解微分方程十分便利。大家可以回想一下学习高数时，用经典法求解常系数微分方程时的痛苦。现在拉普拉斯变换将微分方程统统化成简单的多项式方程，并且把用于求解特解的初值自动引入，可谓是十分便利。 下面是最后一部分 两种变换之间的区别

傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换

如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧 Heinrich，生娃学工打折腿 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… 一、嘛叫频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢 这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：

拉普拉斯变换

§13 拉普拉斯变换 重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点： 1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 预习知识： 积分变换 §13－1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解 时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2. 拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为 式中s=σ＋jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中 c 为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0- 开始，即： 它计及t=0- 至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方 便。 2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t),u(t)。 3）象函数F(s) 存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1) 单位阶跃函数的象函数

傅里叶变换和拉普拉斯变换

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信 号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的 所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密 度 对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示 已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里 叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。 傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里 叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。 我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。 傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义 傅里叶变换（Transformée de Fourier）在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，

傅里叶变换与拉普拉斯变换区别演讲稿

这个演讲分为三部分进行展开。在介绍两者区别之前，首先将给大家带来的是两种变换的背景以及两种变换的给我们带来的便利。最后进入到正题，两种变换之间的差别。 第一部分两种变换的背景。 首先是傅里叶变换的背景。这个背景想必大家在高数课，电分课和之前的信号与系统课上已经阅读过了，那么在这里大家可以稍稍再重温一遍。 接下来是拉普拉斯变换的背景。大家一定没有想到，拉普拉斯变换并不是由拉普拉斯发明的，而是由这为Heaviside先生发明的。拉普拉斯对这项变换的贡献是进行了严密的数学定义，确定其可行性后进行了推广。因此这项变换被称为拉普拉斯变换。 说一句额外的话，在准备内容时，我本指望能像傅里叶变换一样，找到有关拉普拉斯变换发展的波澜历史，却因拉普拉斯变换并不是被其发明者命名，所以有关Heaviside先生如何得到这种变换的资料少之又少，而拉普拉斯对其定义的过程相对来说又很枯燥，并没有什么值得记载的故事，因此大家可以从刚刚这段说明中看出拉普拉斯的发展历史只是草草陈述。这也告诉我们，做事一定要完备，知识一定要渊博，否则发现了什么却忘记对其进行推广，或者知道要去推广却因数学功底不足而无法给出严格定义以及证明，流芳百世的机会也只能拱手让人。 因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现实意义，引入拉普拉斯单边变换。下述有关拉普拉斯变换的讨论均基于拉普拉斯单边变换。 第二部分两种变换带来的便利。 首先是傅里叶变换带给我们的方便。求解线性电路有了通法。面对三角函数信号，以及电容电感这类原件，时域中求解电路状态变得十分困难。但通过电分的学习，我们掌握了频域解法。又通过傅里叶变换，我们可以将任何信号变成虚指数或者说三角函数形式，对于线性系统，我们可以依次求解这些三角函数分量作用时的电路状态，再加和。所以只要是线性系统我们都可以求解！ 我们能够从一个不随时间变换的空间中观察函数或者信号。傅里叶就是通往这个世界的大门，把时域信号转换至频域。在这个域中，时间不是变量，频率才是变量。并且在这个域中，人们可以方便地观察不同频率的信号分量。 其次是拉普拉斯变换带给我们的便利。其实这两项优点是同一项，求解微分方程十分便利。大家可以回想一下学习高数时，用经典法求解常系数微分方程时的痛苦。现在拉普拉斯变换将微分方程统统化成简单的多项式方程，并且把用于求解特解的初值自动引入，可谓是十分便利。

傅里叶变换和拉普拉斯变换

傅里叶变换和拉普拉斯变换

一傅里叶变换在应用上的局限性 在第三章中，已经介绍了一个时间函数()t f 满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即 ()()dt e t f j F t j ωω-∞ ∞ -?∞= (正变换) (5.1) ()()ω ωπωd e j F t f t j ? ∞ ∞ -= 21 (反变换) (5.2) 但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号()t U ，斜变信号()t tU ，单边正弦信号()t tU ωsin 等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。 还有一些信号，例如单边增长的指数信号 ()t U e at () 0>a 等，则根本就不存在傅里叶变换。

另外，在求傅里叶反变换时，需要求ω从∞-到∞区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。 利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。 实际上，信号()t f总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号()t f接入系统的时刻作为0=t的时刻(称为起始时刻)，那么，在t＜0的时间内即

有()t f =0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为 ()()dt e t f j F t j ωω-∞ ?-=0 (5-3) 式(5-3)中的积分下限取为- 0，是考虑到在0 =t 的时刻()t f 中有可能包含有冲激函数()t δ。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是ω)，不过此时要在公式后面标以t ＞0，意即只有在t ＞0时()t f 才有定义，即 ()()ω ωπ ωd e j F t f t j ? ∞ ∞ -= 21 t ＞ 0 (5-4a) 或用单位阶跃函数()t U 加以限制而写成下式，即 ()()()t U d e j F t f t j ?? ?? ??=?∞ ∞-ωωπ ω21

傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系

傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系 摘要 通过对复变函数的学习，我基本上了解了傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本理论知识，并且知道了他们在数学、物理以及工程技术等领域中有着广泛的应用，傅氏变换与拉氏变换存在许多类似之处，都能够在解决广义积分、微分积分方程、偏微分方程、电路理论等问题中得到应用。下面通过对他们做一些比较研究，来更清楚地认识他们。 关键词：两种积分变换积分与微分方程电路理论 正文 （一）前言： 1、傅里叶变换与拉普拉斯变换都属于积分变换，是两种常见的数学变换手段，而所谓的积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，其作用就是将复杂的函数运算变成简单的函数运算，当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换，傅里叶变换与拉普拉斯变换就是因取不同的积分域与变换核得来的。 2、傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例。拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与变换的“频域”有所区别。拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。傅里叶变换则随着FFT算法的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。

（二）提出问题： 已知傅里叶变换是拉氏变换的特例，如何用例子进一步说明他们的关系，如何运用它们解决积分与微分方程和电路问题。 （三）解决问题： 傅里叶变换与拉普拉斯变换两种变换的性质有许多相似之处，故两者在求解问题时也会有许多类似，另外，由于傅氏变换的积分区间为（-∞，+∞），拉氏变换的积分区间为(0，+∞），两者又 会在不同的领域中有着各自的应用。下面通过一些具体的例子来对两种变换的应用做一些研究： 3.1 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用 例1 求解积分方程 ()()()()g t h t f g t d τττ+∞ -∞=+-? 其中(),()h t f t 都是已知的函数，且()g t 、()h t 和()f t 的傅里叶变换都存在。 分析：该积分方程中的积分区间是()+∞∞-,，故首先应考虑用傅里叶积分变换法求解。积分项内是函数()f t 与()g t 的卷积，对方程两边取傅氏变换，利用卷积性质便可以很方便的求解该问题。 解：设[()](),[()](ω),[()](ω)g t G w f t F h t H ===F F F 由卷积定义可知()()()()f g t d f t g t τττ+∞ -∞-=*?。因此对原积分方程两边取傅里叶变换， 可得 (ω)(ω)(ω)(ω)G H F G =+? 因此有

拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换

拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]

拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换

3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根

拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换

拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换 2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式

11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []? ?????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) 原函数)(t f 为 （F-6）

傅立叶变换与拉普拉斯变换

附录A 傅里叶变换 1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS 狄立赫雷条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞