质量管理--天津大学
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《质量管理》讲义
第六章
版本：4.2
版本日期：2008.12.20
教 学 单 位：天津大学管理学院工业工程系
课程负责人： 何 桢
主 讲 教 师：刘子先 施亮星 聂 斌 张 敏
客 座 教 授：Ed Knod（美）
第六章 测量系统分析
6.1测量系统分析概述
1．测量系统及其构成要素
测量系统是指测量中的仪器及其操作方式和方法、其他设备、软件、
人员等的总称。
测量系统的组成包括了测量者、参照标准、测量方法以及测量仪器等
基本要素。
2. 测量系统分析的目的
. 测量系统分析的主要作用有以下几个方面：
1） 作为接受新测量设备的准则；
2） 一种测量设备与另一种的比较；
3） 作为评价计量量具的依据；
4） 维修前后测量设备的比较；
5） 计算过程误差所需的方法，判定生产过程的可接受性水平。
. 一般来讲，进行测量系统分析的目的主要有以下几个方面：
1）明确过程/工序测量系统的能力水平；
2）确认测量系统的变异来源；
3）确认测量系统在一段时间内是否稳定；
4）确认测量系统是否线性。
3. 在什么情况下需要做测量系统分析
1）在正常仪器维护条件下，测量仪器误差很大；
2）测量仪器进行了改装，如更换了重要零部件；
3）对测量仪器进行了大修；
4）进行工序能力分析时需要考虑测量仪器的测量能力；
5）在测量系统表现不稳定时；
6）测量结果波动比较大时；
7）在决定是否接受一台新仪器时；
8）在测量仪器之间进行比较时。
4. 测量系统分析中的几个基本概念
测量系统的误差包括偏倚（Bias）、重复性（Repeatability）、再现性
（Reproducibility）、稳定性（Stability）和线性（Linearity）等。
测量系统能力反映测量系统在对其特定的测量对象测量时测量值的
变异程度，表示测量能力的指标有P/T比率（精度/公差比率）和R&R%
（重复性与再现性百分数）。
引起重复性较差的可能原因有：
1）测量仪器没有得到很好的维护；
2）测量仪器精度达不到要求；
3）测量仪器需重新设计；
4）零件的装夹方式需进一步改进；
5）存在松动连接、接地不良、干扰等。
导致再现性较差的可能原因有：
1）测量者未能得到正确使用仪器的培训；
2）仪表盘上面读数不清楚或精度差；
3）仪器未校准；
4）两个测量系统的设计不同；
5）两个测量系统的工作环境不同。
在设备的测量范围内偏倚的不同被称为线性。线性可以被认为是关
于偏倚大小的变化。
6.2均值-极差法
1. 测量系统分析模型
222MSEPσσ
σ+=
为了分析的大小，在进行测量系统分析时，一般随机选择名
测量者、个零件，令每个测量者对每个零件以随机顺序测量轮，令
表示第个测量者测量第个零件时的第轮测量结果。显然，这是一个
随机效应的交叉型实验设计问题，其线性统计模型为：
式中：
为常量；
表示第位测量者的变异效应，～，是再现性变
异方差；
表示第个零件本身的变异效应，～；
表示测量者和零件的交互影响（后面将会简单讨论交互作用
的情形），～，是交互作用变异方差；
表示同一测量者对同一零件进行测量时的随机性变异，～
，是重复性变异方差。
在测量系统分析中，、、分别用、、表示。
显然，测量系统的变异总方差为：
2MSEσ
m
n
r
ijkX
i
j
k
.)(ijijjiijkPOPOXεμ+×+++=
μ
iO
i
iO
),0(2ONσ
2Oσ
jP
j
jP
),0(2PNσ
ijPO)(×
ijPO)(×
),0(2PON×σ
2PO×σ
.ijε
.ijε
),0(2ENσ
2Eσ
2Oσ
2PO×σ
2Eσ
2AVσ
2IVσ
2EVσ
2222222EVIVAVEPOOMSEσσσσσσσ++=++=×
2. 均值-极差分析法
传统的测量系统分析方法采用的是均值-极差法。均值-极差法是一种
改进的计量型测量系统研究方法，它可简便快速地提供一个测量变异性的
近似值，这种方法只提供整个测量系统的总体误差特性。
假设有个操作者，个零件，每个零件测量轮，则均值-极差法
的分析步骤如下：
1）收集数据；
m
n
r
2）计算每个测量者测量每个零件轮的极差：
3）计算平均极差：
4）计算每个测量者测量结果的均值：
5）计算各个测量者测量结果的均值的极差：
6）计算零件测量均值的极差：
其中为m位测量者测量第j个零件r轮的平均值。
7）计算、、和：
r
ijR
njmiXMinXMaxRijijij,...,2,1,...,2,1}{}{..
==
.=
其中：
R
ΣΣ==×=
minjijRnmR111
,...m,iXrnXnjrkijki..21111=
×=ΣΣ==
..iX
OR
miXMinXMaxRiiO,...2,1}{}{....
=
.=
pR
}{}{....jjpXMinXMaxR.=
..jX
EVσ.
AVσ.
pσ.
MSEσ.
2
.
dREV=σ
rndREVOAV×....
.
...
.
=
22*
2
..σσ
*
2
.
dRpp=σ
22...EVAVMSEσσσ+=
是与测量轮数（实际上就是计算时的样本量）有关的常数；
与不同，是依赖于计算极差的样本含量和极差个数的统计常
数， 是与测量者人数和极差个数（这里是1个）有关的常数；而
2d
r
ijR
*
2d
2d
*
2d
*
2d
m
*
2d
则是与零件个数和极差个数（这里是1个）有关。均可查书后附
的统计参数表得到
D. C. Montgomery提出估计的更为简易的近似计算公式如下。
8）计算重复性（EV）、再现性（AV）以及重复性与再现性（）：
9）评价测量系统能力：
为了评价测量系统能力，一般采用比率和两个指标。
比率即为测量系统的精度与公差范围的比率，
常用百分数表示。如
下式所示：
n
*
22,dd
AVσ
*
2
.
dROAV=σ
RR&
EVEVσ15.5=
AVAVσ15.5=
2215.5&AVEVRRMSE+==σ
TP/
%&RR
TP/
%10015.5%/×.
=
LUMSETTTPσ
其中代表测量误差的标准差，和表示工序质量的上下公差，5.15表示了测量系统的变异范围（在正态分布下，落在5.15倍标准
差范围的概率为99%）。R&R%是测量精度的估计值与过程范围的比率，如
下所示：
MSEσ
UT
LT
MSEσ
%100%&
22×+
=
PMSEMSERRσσσ
一般要求，%和两者中的较大者应小于10%。在
QS9000的测量系统分析手册中给出了的评价要求：若%
小于10%，认为测量系统能力充分；大于30%，则测量系统能力
不足，应改进；当处于10%-30%时，测量系统能力处于边界水
平，应根据测量过程的重要程度判定是否对测量系统进行改进。
TP/
%&RR
%&RR
RR&
%&RR
%&RR
另外需要指出的是，以上的公式是基于下面三个假设：第一，测量
误差是彼此独立的；第二，测量误差与零件大小无关；第三，测量误差服
从正态分布。
3. 均值-极差法应用举例
为了更加直观地了解和掌握均值-极差法的应用，我们以某企业的实际
应用为例来加以说明。该企业主要生产型号为YSK30-6A的电机，该电机
的主要质量特征值为电机轴的径向跳动大小，公差要求是0到0.03mm。已
知其质量特征值（X）服从正态分布，并且对该质量特征值进行测量时，
是由测量员A和B利用同一台测量仪器进行测量的，使用的测量仪器是百分
表。为了了解该测量系统的可靠性，我们取10个样品随机地分配给测量员
A和B，并利用测量仪器进行测量，每个人对每个样品测量3轮（注意，测
量员A、测量员B并不知晓测量的是哪个样品，也不知晓是否测量过该样
品），该过程取得的数据如下表所示。
测量系统分析数据
轮数
样品
测量员A
测量员B
第1轮
第2轮
第3轮
第1轮
第2轮
第3轮
1
0.025
0.02
0.02
0.02
0.015
0.02
2
0.03
0.045
0.03
0.025
0.04
0.03
3
0.014
0.015
0.015
0.02
0.015
0.02
4
0.008
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
5
0.04
0.04
0.04
0.04
0.03
0.04
6
0.048
0.045
0.045
0.03
0.04
0.04
7
0.01
0.02
0.01
0.01
0.015
0.015
8
0.01
0.01
0.01
0.02
0.01
0.015
9
0.025
0.025
0.02
0.02
0.03
0.02
10
0.045
0.03
0.03
0.03
0.025
0.04
按照我们前面介绍的步骤，利用表中的数据就可以进行计算分析了。
首先可以计算出每个测量员3轮测量各个样品的极差以及每个测量者
ijR
测量结果的均值，具体计
算结果如下表所示。
测量系统分析数据处理
测量者
轮数
样品
测量员A
测量员B
样品
均值
()
..jX
第1轮
第2轮
第3轮
均值
()
.ijX
极差
()
.ijR
第1轮
第2轮
第3轮
均值
()
.ijX
极差
()
.ijR
1
0.025
0.02
0.02
0.0217
0.005
0.02
0.015
0.02
0.0183
0.005
0.0200
2
0.03
0.045
0.03
0.0350
0.015
0.025
0.04
0.03
0.0317
0.015
0.0333
3
0.014
0.015
0.015
0.0147
0.001
0.02
0.015
0.02
0.0183
0.005
0.0165
4
0.008
0.01
0.01
0.0093
0.002
0.01
0.01
0.01
0.0100
0
0.0097
5
0.04
0.04
0.04
0.0400
0
0.04
0.03
0.04
0.0367
0.01
0.0383
6
0.048
0.045
0.045
0.0460
0.003
0.03
0.04
0.04
0.0367
0.01
0.0413
7
0.01
0.02
0.01
0.0133
0.01
0.01
0.015
0.015
0.0133
0.005
0.0133
8
0.01
0.01
0.01
0.0100
0
0.02
0.01
0.015
0.0150
0.01
0.0125
9
0.025
0.025
0.02
0.0233
0.005
0.02
0.03
0.02
0.0233
0.01
0.0233
10
0.045
0.03
0.03
0.0350
0.015
0.03
0.025
0.04
0.0317
0.015
0.0333
平均
-
-
-
0.0248
0.0056
-
-
-
0.0235
0.0085
-
根据表中的计算结果，显然有：
=（0.0056+0.0085）/2=0.0071
查统计参数表可得，当样本含量为3时（本例中测量轮数为3），
为1.693，当样本含量为2时（本例中测量员人数为2），为1.41。这样，
可以计算、和：
R
0013.00235.00248.0}{}{....
=
.=
.=iiOXMinXMaxR
2d
*
2d
EVσ.
AVσ.
MSEσ.
因为的个数为10个，而的个数为1个，此时查表可知为3.18，
则为：
这样便可得：
从而可以计算%：
0042.0693.10071.0
.
2=
=
=
dREVσ
0006.0390042.041.10013.0
..
2222*
2=
×...
.
..
.=
×....
.
...
.
=
rndREVOAVσσ
0.00420042.00006.0
...
2222=
+=
+=EVAVMSEσσσ
..jX
pR
*
2d
pσ.
01.018.30317.0
.*
2=
=
=
dRppσ
18746.00364.015.515.5=
×=
=EVEVσ
004017.000078.015.515.5=
×=
=AVAVσ
0.1875103641.015.515.5&
=
×=
=MSERRσ
RR&
显然，该测量系统能力不足。
当然，我们也可以利用Montgomery提出估计的近似计算公式来
计算，读者可以自己进行计算。
6.3 方差分析法
方差分析法（ANOVA）是一种标准的统计技术，可用来分析测量误
差和测量系统分析中数据的其他变异源。方差分析中，误差可分为4个种
类：零件、测量者、零件与测量者的交互作用、量具造成的重复误差等。
在ANOVA法中数据的采集方法是很重要的。如果数据不是以随机方
式采集的，会产生偏倚值。能够保证对（）零件，（）测量者，（）
次试验的平衡设计的一个简单方式就是通过随机化。一种普通的随机化方
法是：在纸片上写下A1代表第一位测量者对第一个零件的测量。这样写
到An代表第一位测量者对第个试件的测量。对下一位测量者执行同样
的程序直到第k位测量者。同样可以使用符号B1，C1表示第2、第3位
测量者对第一个零件的测量。当所有的nk组合都写下后，这些纸片可以
放入一个容器内。每次选择一片纸。这些组合（A1，B2，……）是进行量
具研究的测量次序，当所有的组合被选择后，把它们放回容器内，然
后重复执行上述程序。总共需重复次以确定每次重复试验的顺序。一个
更好的办法是使用一个随机数据表或随机数发生器。
%1.72%100003.00042.015.5%100-
15.5%/
=
×.
×=
×=
LSLUSLTPMSEσ
%88.38%10001.00042.00042.0%100%&
2222=
×+
=
×+
=
PMSEMSERRσσσ
AVσ
n
k
r
n
nk
r
这里我们仅讨论典型测量系统（即不同测量者使用同一测量仪器对
同一批零件进行测量）能力分析的情形，对于其它测量系统问题的情形
可在此基础上得到。
前面我们给出了典型测量系统分析的线性统计模型：
该模型中，，，和在模型中均为独立的效应，则
我们记、、、和分别为总离差平方和、测量者
离差平方和、零件离差平方和、重复性误差离差平方和以及测量者和零
件之间交互作用的离差平方和。而总的离差平方和以及各效应的离差平
方和的计算公式为：
容易证明，
方差分析和均方和的期望的计算如下表所示。其中关于均方期望计
算方法请参考有关文献，鉴于篇幅所限，本文直接引用结论，不给出证
明。
.)(ijijjiijkPOPOXεμ+×+++=
iO
jP
ijPO)(×
ijkε
2222222MSEPEPOPOσσσσσσσ+=+++=×
TSS
OSS
PSS
ESS
POSS×
2...
111)(XXSSminjrkijkT.=ΣΣΣ===
2...
1..)(XXnrSSmiiO.=Σ=
2...
1..)(XXmrSSnjjP.=Σ=
ΣΣΣ===
.=
minjrkijijkEXXSS1112.)(
2.......
11.)(XXXXrSSjiminjijPO+..=ΣΣ==
×
EPOPOTSSSSSSSSSS+++=×
典型测量系统分析方差分析表
来源
离差平方和
（SS）
自由度
（DF）
均方和
（MS）
均方和期望
（E(MS)）
测量者
OSS
1.m
1.mSSO
222OPOEnrrσσσ++×
零件
PSS
1.n
1.nSSP
222PPOEmrrσσσ++×
交互作用
POSS×
)1()1(.×.nm
)1()1(.×.
×nmSSPO
22POEr×+σσ
重复性误差
ESS
)1(.××rnm
)1(.××rnmSSE
2Eσ
合计
TSS
1.××rnm
利用表中的结论，我们便可估计出典型测量系统中各效应的方差为：
以上方差估计值为负数时，一律认为方差为零。测量系统误差为：
我
们在上一节中举了一个测量系统分析的实例，并用均值-极差法对
其重复性与再现性进行计算估计，现在我们利用方差分析和方差估计来作
同样目的的计算。利用表中的数据，我们很容易计算得到测量值总平均为：
EEMS=2.σ
rMSMSEPOPO/)(.2.=××σ
nrMSMSPOOO/)(.2×.=σ
mrMSMSPOPP/)(.2×.=σ
222....EPOOMSEσσσσ++=×
%100
..
.
%&
22×+
=
PMSEMSERRσσσ
0.024167=ijkX
这样，便可计算出总离差平方和为：
同样，容易计算出各测量者测量值均值、各零件测量值均值
以及各测量者重复测量同一零件的均值等统计量，从而可得到如下表
所示的方差分析表。
方差分析表
0.0084223=TSS
..iX
..jX
.ijX
来源
离差平方和
（SS）
自由度
（DF）
均方和
（MS）
零件
0.0072240
9
0.0008027
测量者
0.0000267
1
0.0000267
交互作用
0.0002290
9
0.0000254
纯误差
0.0009427
40
0.0000236
合计
0.0084223
59
则可得：
0.0000236.2==EEMSσ
所以，
这样便可计算重复性与再现性的百分比为：
0.000000633/)0.00002360000254.0(
/)(.2=
.=
.=××rMSMSEPOPOσ
0.00000004)310/()0.00002540000267.0(
/)(.2=
×.=
.=×nrMSMSPOOOσ
0.00012954)32/()0000254.00008027.0(
/)(.2=
×.=
.=×mrMSMSPOPPσ
80.004922730000236.000000063.000000004.0
....222=
++=
++=×EPOOMSEσσσσ
所以，利用方差分析法我们得到该测量系统的重复性与再现性的百分
比为39.698%。
39.698%
%100
0.0001295480.0049227380.00492273%100
..
.
%&
222=
×+
=
×+
=
PMSEMSERRσσσ
%&RR
6.4 典型测量系统分析方法的比较
均值-极差法与方差分析法是常用的两种典型测量系统分析方法，它
们均有各自的优缺点。均值-极差法的优点是计算较为简便，但缺点是未考
虑测量者和零件间交互作用的影响，当测量系统中存在交互作用时，会低
估测量系统的变异。而方差分析则是考虑了交互作用的影响，从前两节分
别使用两种方法对同一实例进行分析的结果中可以看出这一点，利用方差
分析法得到的要比均值-极差法得到的要大，原因就在
于此。
课后练习：
%&RR
%&RR
1． 某企业主要生产型号为YSK30-6A的电机，该电机的主要质量特征值
为电机轴的径向跳动大小，公差要求是0到0.03mm。已知其质量特征
值（X）服从正态分布，并且对该质量特征值进行测量时，是由测量员
A和B利用同一台测量仪器进行测量的，使用的测量仪器是百分表。
为了了解该测量系统的可靠性，我们取10个样品随机地分配给测量员
A和B，并利用测量仪器进行测量，每个人对每个样品测量3轮。以
下是利用Minitab分析得出的结果，请根据以下结果给出：
（1）重复性的标准差=___________、再现性标准差=_________、过程变
异的标准差=__________；R&R=___________、R&R%=_____________、
P/T%=______________；NDC=________。
（2）请根据结果对该测量系统作简要分析。