2019-2020中考数学第一次模拟试题(带答案)

2019-2020中考数学第一次模拟试题(带答案)

一、选择题

1．若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ） A ．﹣1

B ．0

C ．1或﹣1

D ．2或0

2．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（ ）

A ．5

{152

x y x y =+=-

B ．5{1+52

x y x y =+=

C ．5

{

2-5

x y x y =+=

D ．-5

{

2+5

x y x y ==

3．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为（ ）

A ．2

B ．4

C ．22

D ．2

4．已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c ，且a>b>c ，a ＋b ＋c ＝0，有以下四个命题，则一定正确命题的序号是（ ）

①x=1是二次方程ax 2＋bx ＋c=0的一个实数根； ②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下；

③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的左侧； ④不等式4a+2b+c>0一定成立． A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．③④

5．如图，长宽高分别为2，1，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（ ）

A 10

B 5

C ．22

D ．3

6．为了帮助市内一名患“白血病”的中学生，东营市某学校数学社团15名同学积极捐款，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（ ） 捐款数额 10 20 30 50 100 人数

2

4

5

3

1

A ．众数是100

B ．中位数是30

C ．极差是20

D ．平均数是30

7．下列各式化简后的结果为32 的是（ ） A ．6 B ．12

C ．18

D ．36

8．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第9个图形中所有点的个数

为（ ）

A ．61

B ．72

C ．73

D ．86 9．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x +3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A ．1

B ．0，1

C ．1，2

D ．1，2，3

10．均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

12．若0xy <，则2x y 化简后为（ ） A ．x y -

B ．x y

C ．x y -

D ．x y --

二、填空题

13．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =45°，则cos ∠OCB 的值是________.

14．关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a 的取值范围是___________

15．若a b ＝2，则22

2a b a ab

--的值为________．

16．分解因式：2x 3﹣6x 2+4x =__________． 17．计算：2cos45°﹣（π+1）0+

1

11()42

-+=______． 18．甲、乙两人在1200米长的直线道路上跑步，甲、乙两人同起点、同方向出发，并分别以不同的速度匀速前进，已知，甲出发30秒后，乙出发，乙到终点后立即返回，并以原来的速度前进，最后与甲相遇，此时跑步结束．如图，y （米）表示甲、乙两人之间的距离，x （秒）表示甲出发的时间，图中折线及数据表示整个跑步过程中y 与x 函数关系，那么，乙到达终点后_____秒与甲相遇．

19．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB 2

BC 3

=，那么tan ∠DCF 的值是____．

20．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用2, a a 次；甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运180吨；乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物乙车共运270吨，现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为___________ 元.(按每吨运费20元计算)

三、解答题

21．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2与x 轴交于两点A （﹣1，0）和B （4，0），与Y 轴交于点C ，连接AC 、BC 、AB ，

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D 是抛物线上一点，连接BD 、CD ，满足ABC 3

5

DBC S S ?=

V ，求点D 的坐标； （3）点E 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点F 在线段BC 上（与B 、C 不重合），是否存在以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．

22．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元）(020)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 23．已知抛物线y ＝ax 2﹣

1

3

x +c 经过A (﹣2，0)，B (0，2)两点，动点P ，Q 同时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P 沿x 轴正方向运动，动点Q 沿y 轴正方向运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒 (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ ＝

1

3

AP 时，求t 的值； (3)随着点P ，Q 的运动，抛物线上是否存在点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请求出t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

24．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：

?1

3

22

x x

+=

--

.

（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；

（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2

x=，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？

25．直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线；

（2）若FG＝4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

【分析】

把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．

【详解】

解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，

解得：k＝﹣1，

故选：A．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．2．A

解析：A

【解析】

【分析】

设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．

【详解】

设索长为x尺，竿子长为y尺，

根据题意得：

5 1

5 2

x y

x y

=+

?

?

?

=-

??

．

故选A．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

3．C

解析：C

【解析】

【分析】

由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．

【详解】

解：连接OA，OB．

∵∠APB=45°，

∴∠AOB=2∠APB=90°．

∵OA=OB=2，

∴AB=22

OA OB

+=22．

故选C．

4．C

解析：C

【解析】

试题分析：当x=1时，a+b+c=0，因此可知二次方程ax2＋bx＋c=0的一个实数根，故①正

确；根据a ＞b ＞c ，且a+b+c =0，可知a ＞0，函数的开口向上，故②不正确； 根据二次函数的对称轴为x =-

2b

a

，可知无法判断对称轴的位置，故③不正确； 根据其图像开口向上，且当x =2时，4a+2b+c ＞a+b+c=0，故不等式4a+2b+c>0一定成立，故④正确. 故选：C.

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程． 【详解】

如图所示，路径一：AB 22211=++=（）22；

路径二：AB 2221110=++=（）．

∵2210＜，∴蚂蚁爬行的最短路程为22． 故选C ．

【点睛】

本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．

6．B

解析：B 【解析】

分析：根据中位数、众数和极差的概念及平均数的计算公式，分别求出这组数据的中位数、平均数、众数和极差，得到正确结论．

详解：该组数据中出现次数最多的数是30，故众数是30不是100，所以选项A 不正确； 该组共有15个数据，其中第8个数据是30，故中位数是30，所以选项B 正确； 该组数据的极差是100-10=90，故极差是90不是20，所以选项C 不正确； 该组数据的平均数是102204305503100100

245313

?+?+?+?+=++++不是30，所以选项D 不

正确．

故选B．

点睛：本题考查了中位数、平均数、众数和极差的概念．题目难度不大，注意勿混淆概念．

7．C

解析：C

【解析】

A、6不能化简；

B、12=23，故错误；

C、18=32，故正确；

D、36=6，故错误；

故选C．

点睛：本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

8．C

解析：C

【解析】

【分析】

设第n个图形中有a n个点（n为正整数），观察图形，根据各图形中点的个数的变化可得出变化规律“a n＝n2+n+1（n为正整数）”，再代入n＝9即可求出结论．

【详解】

设第n个图形中有a n个点（n为正整数），

观察图形，可知：a1＝5＝1×2+1+2，a2＝10＝2×2+1+2+3，a3＝16＝3×2+1+2+3+4，…，∴a n＝2n+1+2+3+…+（n+1）＝n2+n+1（n为正整数），

∴a9＝×92+×9+1＝73．

故选C．

【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中点的个数的变化找出变化规律“a n＝

n2+n+1（n为正整数）”是解题的关键．

9．A

解析：A

【解析】

【分析】

【详解】

由题意得，根的判别式为△=(-4)2-4×3k，

由方程有实数根，得(-4)2-4×3k≥0，

解得k≤4

3

，

由于一元二次方程的二次项系数不为零，所以k≠0，

所以k的取值范围为k≤4

3

且k≠0，

即k的非负整数值为1，

故选A．

10．D

解析：D

【解析】

【分析】

由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．

【详解】

根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;

故选D.

【点睛】

此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．11．B

解析：B

【解析】

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．

详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；

B．是轴对称图形，也是中心对称图形；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形．

故选B．

点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

12．A

解析：A

【解析】

【分析】

二次根式有意义，隐含条件y>0，又xy<0，可知x<0，根据二次根式的性质化简．

解答

【详解】

y>0，

∵xy<0，

∴x<0，

∴原式=- 故选A 【点睛】

此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握其定义

二、填空题

13．【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠BOC=90°易求BC=OC 从而可得cos∠OCB 的值【详解】∵∠A=45°∴∠BOC=90°∵OB=OC 由勾股定理得BC=OC∴cos∠OCB=故答案为【点睛】

【解析】 【分析】

根据圆周角定理可得∠BOC=90°，易求OC ，从而可得cos ∠OCB 的值. 【详解】 ∵∠A =45°， ∴∠BOC=90° ∵OB=OC ，

由勾股定理得，OC ，

∴cos ∠OCB =

2OC BC ==

.

故答案为2

. 【点睛】

本题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及锐角三角函数的定义，属较简单题目题目．

14．

解析：9

4

-

解：∵关于x 的一元二次方程ax 2-3x-1=0的两个不相等的实数根 ∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，

解得：a＞?9 4

设f（x）=ax2-3x-1，如图，

∵实数根都在-1和0之间，

∴-1＜?

3

2a

-

＜0，

∴a＜?3

2

，

且有f（-1）＜0，f（0）＜0，

即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0，解得：a＜-2，

∴?9

4

＜a＜-2，

故答案为?9

4

＜a＜-2．

15．【解析】分析：先根据题意得出a=2b再由分式的基本性质把原式进行化简把a=2b代入进行计算即可详解：∵=2∴a=2b原式==当a=2b时原式==故答案为点睛：本题考查的是分式的化简求值熟知分式的基本

解析：3 2

【解析】

分析：先根据题意得出a=2b，再由分式的基本性质把原式进行化简，把a=2b代入进行计算即可．

详解：∵a

b

=2，∴a=2b，

原式=()()

() a b a b a a b

+-

-

=a b a +

当a=2b时，原式=2

2

b b

b

+

=

3

2

．

故答案为3

2

．

点睛：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式的基本性质是解答此题的关键．

16．2x（x﹣1）（x﹣2）【解析】分析：首先提取公因式2x再利用十字相乘法分解因式得出答案详解：2x3﹣6x2+4x=2x（x2﹣3x+2）=2x（x﹣1）（x﹣2）故答案为2x（x﹣1）（x﹣2）点

解析：2x（x﹣1）（x﹣2）．

【解析】

分析：首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．

详解：2x3﹣6x2+4x

=2x（x2﹣3x+2）

=2x（x﹣1）（x﹣2）．

故答案为2x（x﹣1）（x﹣2）．

点睛：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．

17．【解析】解：原式==故答案为：

解析：

3

2

2 +．

【解析】

解：原式=

21

212

22

?-++=

3

2

2

+．故答案为：

3

2

2

+．

18．30【解析】【分析】由图象可以V甲＝9030＝3m/sV追＝90120-

30＝1m/s故V乙＝1+3＝4m/s由此可求得乙走完全程所用的时间为：12004＝300 s则可以求得此时乙与甲的距离即可求出

解析：30

【解析】

【分析】

由图象可以V甲＝＝3m/s，V追＝＝1m/s，故V乙＝1+3＝4m/s，由此可求得乙走完全程所用的时间为：＝300s，则可以求得此时乙与甲的距离，即可求出最后与甲相

遇的时间．

【详解】

由图象可得V甲＝＝3m/s，V追＝＝1m/s，

∴V乙＝1+3＝4m/s，

∴乙走完全程所用的时间为：＝300s，

此时甲所走的路程为：（300+30）×3＝990m．

此时甲乙相距：1200﹣990＝210m

则最后相遇的时间为：＝30s

故答案为：30

【点睛】

此题主要考查一次函数图象的应用，利用函数图象解决行程问题．此时就要求掌握函数图象中数据表示的含义．

19．【解析】【分析】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠D＝90°∵将矩形ABCD沿CE折叠点B恰好落在边AD的F处∴CF＝BC∵∴∴设CD ＝2xCF＝3x∴∴tan∠DCF＝故答案为：【点

5

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，

∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF＝BC，

∵AB2

BC3

=，∴

CD2

CF3

=．∴设CD＝2x，CF＝3x，

∴22

DF=CF CD5x

-．

∴tan∠DCF＝DF5x5

=

CD2x2

=．

故答案为：

5

2

．

【点睛】

本题考查翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义．

20．【解析】【分析】根据甲乙两车单独运这批货物分别用2a次a次能运完甲的效率应该为乙的效率应该为那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍根据若甲丙两车合运相同次数运完这批货物时甲车共运了180吨；若乙丙两车合

解析：2160

【解析】

【分析】

根据“甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完”甲的效率应该为

1 2a ，乙的效率应该为

1

a

，那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍根据“若甲、丙两车合运

相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物

时，乙车共运了270吨．”这两个等量关系来列方程． 【详解】

设这批货物共有T 吨，甲车每次运t 甲吨，乙车每次运t 乙吨， ∵2a ?t 甲=T ，a ?t 乙=T ,∴t 甲:t 乙=1:2，

由题意列方程：

180270

180270T T t t --=甲乙

， t 乙=2t 甲， ∴

180270

180135

T T --=，

解得T =540. ∵甲车运180吨，丙车运540?180=360吨， ∴丙车每次运货量也是甲车的2倍，

∴甲车车主应得运费1

5402021605

??= (元)， 故答案为：2160. 【点睛】

考查分式方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.

三、解答题

21．（1）213

y x x 222=--；（2）D

的坐标为122?- ??

，122??+ ? ???

，（1，﹣3）或（3，﹣2）．（3）存在，F 的坐标为48,55??

- ???，（2，﹣1）或53,24??- ???

． 【解析】 【分析】

（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，结合点A ，B 的坐标可得出AB ，AC ，BC 的长度，由AC 2

+BC 2

＝25＝AB 2

可得出∠ACB＝90°，过点D 作DM∥BC，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，由D 1M 1∥BC 可得出△AD 1M 1∽△ACB，利用相似三角形的性质结合S △DBC ＝3

5

S ABC ? ，可得出AM 1的长度，进而可得出点M 1的坐标，由BM 1

＝BM 2可得出点M 2的坐标，由点B ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可得出直线D 1M 1，D 2M 2的解析式，联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点D 的坐标；

（3）分点E 与点O 重合及点E 与点O 不重合两种情况考虑：①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC，由点A ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，进而可得出直线OF 1的解析式，联立直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，通过解方程组可求出点F 1的坐标；②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE，交直线BC 于点F 3，则

△CEF 2∽△BAC∽△CF 3E ．由EC ＝EB 利用等腰三角形的性质可得出点F 2为线段BC 的中点，进而可得出点F 2的坐标；利用相似三角形的性质可求出CF 3的长度，设点F 3的坐标为（x ，

1

2

x ﹣2），结合点C 的坐标可得出关于x 的方程，解之即可得出x 的值，将其正值代入点F 3的坐标中即可得出结论．综上，此题得解． 【详解】

（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣2，得：

2016420a b a b --=??

+-=? ，解得：12

3

2

a b ?=????=-??， ∴抛物线的解析式为y ＝12

x 2﹣3

2x ﹣2．

（2）当x ＝0时，y ＝

12

x 2﹣3

2x ﹣2＝﹣2，

∴点C 的坐标为（0，﹣2）．

∵点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），

，BC

＝

AB ＝5． ∵AC 2

+BC 2

＝25＝AB 2

， ∴∠ACB＝90°．

过点D 作DM∥BC，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，如图1所示． ∵D 1M 1∥BC， ∴△AD 1M 1∽△ACB． ∵S △DBC ＝3

5

S ABC ?，

∴

12

5

AM AB =, ∴AM 1＝2，

∴点M 1的坐标为（1，0）， ∴BM 1＝BM 2＝3，

∴点M 2的坐标为（7，0）．

设直线BC 的解析式为y ＝kx+c （k≠0）， 将B （4，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx+c ，得： 402k c c +=??

=-? ，解得：122

k c ?

=

???=-? ， ∴直线BC 的解析式为y ＝

1

2

x ﹣2． ∵D 1M 1∥BC∥D 2M 2，点M 1的坐标为（1，0），点M 2的坐标为（7，0），

∴直线D 1M 1的解析式为y ＝

12 x ﹣12 ，直线D 2M 2的解析式为y ＝12

x ﹣72．

联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，得：21122

132

22y x y x x ?

=-??

?

?=--??

或217

22

13

222

y x y x x ?

=-???

?=--??

，

解得：112x y ?=??=??

，222x y ?=?

?=

??3313x y =??=-? ，4432x y =??=-?， ∴点D 的坐标为（2

），（

），（1，﹣3）或（3，﹣

2）．

（3）分两种情况考虑，如图2所示．

①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC， 设直线AC 的解析设为y ＝mx+n （m≠0）， 将A （﹣1，0），C （0，﹣2）代入y ＝mx+n ，得：

-02m n n +=??

=-? ，解得：2

2

m n =-??=-? ， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2． ∵AC⊥BC，OF 1⊥BC，

∴直线OF 1的解析式为y ＝﹣2x ．

连接直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，得：21

22

y x

y x =-??

?=-?? ， 解得：45

85x y ?

=????=??

，

∴点F 1的坐标为（

45

，﹣8

5 ）；

②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE，交直线BC 于点F 3，则△CEF 2∽△BAC∽△CF 3E ． ∵EC＝EB ，EF 2⊥BC 于点F 2， ∴点F 2为线段BC 的中点， ∴点F 2的坐标为（2，﹣1）； ∵BC＝

， ∴CF 2＝

12 BC

，EF 2＝12 CF 2

＝，F 2F 3＝12 EF 2

＝4

， ∴CF 3

．

设点F 3的坐标为（x ，1

2

x ﹣2）， ∵CF 3＝55

，点C 的坐标为（0，﹣2）， ∴x 2+[

12

x ﹣2﹣（﹣2）]2＝12516，

解得：x 1＝﹣52 （舍去），x 2＝5

2

，

∴点F 3的坐标为（

5

2，﹣34

）． 综上所述：存在以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，点F 的坐标为（

4

5

，﹣85 ），（2，﹣1）或（5

2 ，﹣34

）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、相似三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）找出过点D 且与直线BC 平行的直线的解析式；（3）分点E 与点O 重合及点E 与点O 不重合两种情况，利用相似三角形的性质及等腰三角形的性质求出点F 的坐标．

22．（1）10100y x =+；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元． 【解析】

【分析】

（1）根据图象可得：当2x =，120y =，当4x =，140y =；再用待定系数法求解即可；

（2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可． 【详解】

解：（1）设一次函数解析式为：y kx b =+，根据图象可知：当2x =，120y =；当

4x =，140y =；

∴2120

4140k b k b +=??+=?

，解得：10100k b =??=?，

∴y 与x 之间的函数关系式为10100y x =+；

（2）由题意得：(6040)(10100)2090x x --+=， 整理得：21090x x -+=，解得：11x =．29x =， ∵让顾客得到更大的实惠，∴9x =.

答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（1）y ＝－

23

x 2－1

3x ＋2；（2）当BQ ＝13AP 时，t ＝1或t ＝4；（3）存在．当t ＝

1-+M （1，1），或当t ＝3+M （﹣

3，﹣3），使得△MPQ 为等边三角形． 【解析】 【分析】

（1）把A （﹣2，0），B （0，2）代入y ＝ax 2－1

3

x ＋c ，求出解析式即可; （2）BQ=

1

3

AP ，要考虑P 在OC 上及P 在OC 的延长线上两种情况，有此易得BQ ，AP 关于t 的表示，代入BQ=

1

3

AP 可求t 值． （3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑△MPQ ，发现PQ 为一有规律的线段，易得OPQ 为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ 运动至何种情形时△MPQ 为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO 应为PQ 的垂直平分线，即使△MPQ 为等边三角形的M 点必属于PQ 的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足△MPQ 为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t 的方程，考虑t 的存在性． 【详解】

（1）∵抛物线经过A （﹣2，0），B （0，2）两点，

∴

2

40,

3

2.

a c

c

?

++=

?

?

?=

?

，解得

2

,

3

2.

a

c

?

=-

?

?

?=

?

∴抛物线的解析式为y＝－

2

3

x2－

1

3

x＋2．

（2）由题意可知，OQ＝OP＝t，AP＝2＋t．

①当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ＝2－t．

∵BQ＝

1

3

AP，∴2﹣t＝

1

3

（2＋t），∴t＝1．

②当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ＝t﹣2．

∵BQ＝

1

3

AP，∴t﹣2＝

1

3

（2+t），∴t＝4．

∴当BQ＝

1

3

AP时，t＝1或t＝4．

（3）存在．

作MC⊥x轴于点C，连接OM．

设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标为－

2

3

m2－

1

3

m＋2．当△MPQ为等边三角形时，MQ＝MP，

又∵OP＝OQ，

∴点M点必在PQ的垂直平分线上，

∴∠POM＝

1

2

∠POQ＝45°，

∴△MCO为等腰直角三角形，CM＝CO，

∴m＝－

2

3

m2－

1

3

m＋2，

解得m1＝1，m2＝﹣3．

∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．

①如图，

当M 的坐标为（1，1）时，

则有PC ＝1﹣t ，MP 2＝1＋（1﹣t ）2＝t 2﹣2t ＋2， PQ 2＝2t 2，

∵△MPQ 为等边三角形， ∴MP ＝PQ ， ∴t 2﹣2t ＋2＝2t 2，

解得t 1＝1+3-，t 2＝13--（负值舍去）． ②如图，

当M 的坐标为（﹣3，﹣3）时， 则有PC ＝3＋t ，MC ＝3，

∴MP 2＝32＋（3＋t ）2＝t 2＋6t ＋18，PQ 2＝2t 2， ∵△MPQ 为等边三角形， ∴MP ＝PQ ， ∴t 2＋6t ＋18＝2t 2，

解得t 1＝333+t 2＝333-

∴当t ＝3-M （1，1），或当t ＝333+M （﹣3，﹣3），使得△MPQ 为等边三角形． 【点睛】

本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析． 24．（1）0x =;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1. 【解析】 【分析】

（1）“？”当成5，解分式方程即可，