江苏省2021届高三上学期第二次百校联考数学试卷

江苏省2021届百校联考高三年级第二次试卷

数学

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}2340x x x +->，B ＝{}

12x x -<，则(

R

A)B ＝

A ．{}11x x -<≤

B ．{}13x x -<<

C ．{}13x x <<

D ．{}11x x -<< 2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝5﹣5i ，则z ＝

A ．3﹣3i

B ．1﹣3i

C ．1＋3i

D ．3＋3i 3．已知a ，b 都是实数，则“2

211

log log a b

<”是“22a b >”的 A ．充要条件 B ．必要不充分条件

C ．充分不必要条件

D ．既不充分也不必要条件 4．函数ln ()e e x x

x f x -=

+的部分图像大致为

5．点P 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上一点，直线x ＝2p 交抛物线C 于M ，N 两点，若△PMN 的面积为20，则p ＝ A ．1 B 2 C ．2 D 5 6．已知sin(θ﹣

12π

)＝13

，则sin(2θ＋3π)＝ A ．29- B ．29 C ．79- D ．7

9

7．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点（包含边界），且∠BAD ＝120°，则AP AB ?的取值范围是

A ．[﹣2，4]

B ．(﹣2，4)

C ．[﹣2，2]

D ．(﹣2，2)

8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以A 为球心，2A 1B 1

C 1

D 1的交线长为 A ．

2

π

B 2π

C 2π

D ．π

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(﹣2，1)，c ＝(3，﹣5)，则 A ．(a ＋2b )∥c B ．(a ＋2b )⊥c

C ．10a c +=+

D ．2a c b += 10．已知实数x ，y 满足﹣3＜x ＋2y ＜2，﹣1＜2x ﹣y ＜4，则 A ．x 的取值范围为(﹣1，2)

B ．y 的取值范围为(﹣2，1)

C ．x ＋y 的取值范围为(﹣3，3)

D ．x ﹣y 的取值范围为(﹣1，3)

11．已知函数()2sin()f x x ω?=+(N ω*∈，2

π

?<

)的图象经过点A(0，且()f x 在[0，

2π]上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是 A ．ω＝2

B ．6

π

?=

C ．()f x 在(3

π

-

，0)上单调递增 D ．()f x 在(0，2π)上有3个极小值点

12．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()f x ax bx cx d =+++(a ≠0)的图象都只有一

个对称中心点(0x ，0()f x )，其中0x 是()0f x ''=的根，()f x '是()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(﹣1，2)，且不等式e e (ln x mx x -1)+≥32e [()3e]f x x x x --+对任意x ∈(1，+∞)恒成立，则

A ．a ＝3

B ．b ＝1

C ．m 的值可能是﹣e

D ．m 的值可能是1

e

-

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．在等差数列{}n a 中，12a =，248a a +=-，则数列{}n a 的公差为 ．

14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．

15．已知双曲线C ：22188

x y -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，A(0，4)，当△

MAF 的周长最小时，△MAF 的面积为 ． 16．已知函数2()1f x x x =--，若关于x 的方程()1f x a x =+恰有两个实数根，则实数a

的取值范围 ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知B ＝3

π

．

（1）若a ＝4，c ＝3，求sinA 的值；

（2）若△ABC 的面积为43，求△ABC 周长的最小值． 18．（本小题满分12分）

在①1120n n n a a a +--+=(n ≥2)且11a =，525S =，②35a =，2n S n tn =+，③11a =，23a =， 且2n S -，1n S +，2n S +成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，

并作答．

问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ， ．若1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和为T n ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．

（1）证明：CD ⊥B 1D ；

（2）若BC ＝3，求二面角B —C 1D —B 1的大小．

20．（本小题满分12分）

已知函数()Acos()f x x ω?=+(A ＞0，ω＞0，0＜?＜π)的部分图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；

（2）设

()()23cos(

2)16

g x f x x π

=+-+．若关于x 的不等式

2()(32)()g x m g x m -+--23≤0恒成立，求m 的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1的直线l 与椭

圆C 交于A ，B 两点，点21)在椭圆C 上，且当直线l 垂直于x 轴时，AB ＝2．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）是否存在实数t ，使得1111AF BF AF BF t +=恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数12

1()(1)e 2

x f x x a x ax -=---

+(x ＞0)． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）当a ≤2时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围．

江苏省2021届百校联考高三年级第二次试卷

数学

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}2340x x x +->，B ＝{}

12x x -<，则(

R

A)B ＝

A ．{}11x x -<≤

B ．{}13x x -<<

C ．{}13x x <<

D ．{}11x x -<< 答案：A 解析：

R

A ＝[﹣4，1]，

B ＝(﹣1，3)，(

R

A)B ＝(﹣1，1]，故选A ．

2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝5﹣5i ，则z ＝

A ．3﹣3i

B ．1﹣3i

C ．1＋3i

D ．3＋3i 答案：B 解析：55i

13i 2i

z -=

=-+，故选B ． 3．已知a ，b 都是实数，则“2

211

log log a b

<”是“22a b >”的 A ．充要条件 B ．必要不充分条件

C ．充分不必要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为“2211

log log a b

<”

，所以a ＞b ＞0，而“22a b >”得到a b >，故选C ． 4．函数ln ()e e x x

x f x -=

+的部分图像大致为

答案：B

解析：首先判断出是偶函数，其次过点(1，0)和(﹣1，0)，故选B ．

5．点P 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上一点，直线x ＝2p 交抛物线C 于M ，N 两点，若△PMN 的面积为20，则p ＝ A ．1 B 2 C ．2 D 5 答案：C

解析：求得准线方程为x ＝2p -

，MN ＝4p ，则15

42022

p p ??=，p ＝2（负值已舍去），选C ． 6．已知sin(θ﹣

12π

)＝13

，则sin(2θ＋3π

)＝ A ．29- B ．29 C ．79- D ．7

9

答案：D

解析：sin(2θ＋

3

π

)＝17

sin[2()]cos2()121221299

π

ππθθ-

+=-=-?=，故选D ． 7．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点（包含边界），且∠BAD ＝120°，则AP AB ?的取值范围是

A ．[﹣2，4]

B ．(﹣2，4)

C ．[﹣2，2]

D ．(﹣2，2) 答案：A

解析：当点P 与点B 重合时，求得AP AB ?＝4，当点P 与点D 重合时，AP AB ?＝﹣2，故

选A ．

8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以A 为球心，22为半径的球面与平面A 1B 1

C 1

D 1的交线长为 A ．

2π

B ．

22

π

C ．2π

D ．π 答案：D

解析：由题意知AB 1＝AD 1＝222222+=，如图，在平面A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，使

A 1P ＝2，则AP ＝2

211AA A P 22+=，故以A 为球心，22为半径的球面与平面

A 1

B 1

C 1

D 1的交线是以A 1为圆心，以2为半径的圆弧B 1PD 1，故该交线长为

22

π

π?=．

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(﹣2，1)，c ＝(3，﹣5)，则 A ．(a ＋2b )∥c B ．(a ＋2b )⊥c

C ．1034a c +=+

D ．2a c b += 答案：AD

解析：a ＋2b ＝(﹣3，5)，故A 对B 错；22(13)(35)252a c b +=++-==，故C 错D 对，综上，选AD ．

10．已知实数x ，y 满足﹣3＜x ＋2y ＜2，﹣1＜2x ﹣y ＜4，则 A ．x 的取值范围为(﹣1，2) B ．y 的取值范围为(﹣2，1) C ．x ＋y 的取值范围为(﹣3，3) D ．x ﹣y 的取值范围为(﹣1，3) 答案：ABD

解析：﹣3＜x ＋2y ＜2，﹣2＜4x ﹣2y ＜8，﹣5＜5x ＜10，即﹣1＜x ＜2，故A 正确； ﹣4＜﹣2x ﹣4y ＜6，﹣1＜2x ﹣y ＜4，即﹣5＜﹣5y ＜10，故﹣2＜﹣5y ＜1，故B 正确； 3(2)(2)

5

x y x y x y ++-+=

∈(﹣2，2)，故C

错； (2)3(2)

5

x y x y x y -++--=∈(﹣1，3)，故D 对．

综上选ABD ．

11．已知函数()2sin()f x x ω?=+(N ω*∈，2

π

?<

)的图象经过点A(03，且()f x 在[0，

2π]上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是 A ．ω＝2

B ．6

π

?=

C ．()f x 在(3

π

-

，0)上单调递增 D ．()f x 在(0，2π)上有3个极小值点

答案：AC

解析：因为(0)2sin 3f ?==2

π

?<

，所以3

π

?=

，故B 错；因为()f x 在[0，2π]上有

且仅有4个零点，故A 对；易知()2sin(2)3f x x π=+，画出草图可知，在(3

π

-，0)上

单调递增，故C 正确；在(0，2π)上有2个极小值点，故D 错．综上选AC ．

12．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()f x ax bx cx d =+++(a ≠0)的图象都只有一

个对称中心点(0x ，0()f x )，其中0x 是()0f x ''=的根，()f x '是()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(﹣1，2)，且不等式e e (ln x mx x -1)+≥32e [()3e]f x x x x --+对任意x ∈(1，+∞)恒成立，则

A ．a ＝3

B ．b ＝1

C ．m 的值可能是﹣e

D ．m 的值可能是1

e

-

答案：ABC

解析：由题意得(1)112f a b -=-+--=，因为2()321f x x ax '=++，所以()62f x x a ''=+，

所以(1)620f a ''-=-+=，解得a ＝3，b ＝1，故32()31f x x x x =+++，因为x ＞1，

所以e

e (ln x

mx x -1)+≥3

2

e

[()3e]f x x x x --+，等价于e e (1e)

ln +1

x x x m x --++≤，当x ＞0

时，e 1x x >+，则e

e ln e e eln 1x x

x

x x x --+=≥-++（当且仅当x ＝e 时，等号成立），从

而e e (1e)eln e

e ln +1ln 1

x x x x x x --++--≥=-+，故m ≤﹣e ，故C 正确，D 错误．

综上，选ABC ．

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．在等差数列{}n a 中，12a =，248a a +=-，则数列{}n a 的公差为 ． 答案：﹣3

解析：设数列{}n a 的公差为d ，因为248a a +=-，所以34a =-，则31

331

a a d -=

=--． 14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．

答案：(8π+

解析：由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径r ＝l ＝4，则其表面积

为2(8r rl πππ+=+．

15．已知双曲线C ：22

188

x y -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，A(0，4)，当△

MAF 的周长最小时，△MAF 的面积为 ． 答案：12

解析：设右焦点坐标为F 1(4，0)，周长L ＝AF ＋MA ＋MF ＝MA ＋(2a ＋MF 1)＋MA ＋

MF 1＋因为MA ＋MF 1≥AF 1，∴M ，A ，F 1三点共线时，MA ＋MF 1有最小值AF 1

＝M(3，1)，即当M(3，1)时，△MAF 的周长最小，此时S △MAF ＝

1

2

×8(4﹣1)＝12．

16．已知函数2()1f x x x =--，若关于x 的方程()1f x a x =+恰有两个实数根，则实数a

的取值范围 ． 答案：(1，5){0}

解析：由题意可知211x x a x --=+，显然x ＝﹣1不是方程的实数根，则

211

(1)31

1

x x a x x x --=

=++

-++，故关于x 的方程()1f x a x =+恰有两个实数根，等价于y ＝a 与y ＝1

(1)31

x x ++-+的图像恰有两个不同的交点，画出 y ＝1

(1)31

x x ++-+的大致图像，如图所示，由图像可得实数a 的取值范围(1，5)

{0}．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知B ＝3

π

．

（1）若a ＝4，c ＝3，求sinA 的值；

（2）若△ABC 的面积为43，求△ABC 周长的最小值． 解：（1）由余弦定理可得

，

则

，

由正弦定理可得，则， （2）因为△ABC 的面积为，所以

，则

，

由余弦定理可得， 则（当且仅当a ＝c 时，等号成立），即

因为

，所以

，

所以（当且仅当a ＝c 时，等号成立）， 故，即△ABC 周长的最小值为12． 18．（本小题满分12分）

在①1120n n n a a a +--+=(n ≥2)且11a =，525S =，②35a =，2n S n tn =+，③11a =，23a =， 且2n S -，1n S +，2n S +成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，

并作答．

问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ， ．若1

1

n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为T n ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

解：若选①，

因为1120n n n a a a +--+=，所以

，即数列{}n a 是等差数列，

因为11a =，525S =，所以，

解得，

故，

因为，所以

，

则

，

若选②，

因为2n S n tn =+，所以

，

，

所以，解得，

则， 因为满足上式，所以， 以下步骤同①， 若选③，

因为2n S -，1n S +，2n S +成等差数列，所以，

所以，即

，

因为

，

，所以

，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，

故，

以下步骤同①． 19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．

（1）证明：CD ⊥B 1D ；

（2）若BC ＝3，求二面角B —C 1D —B 1的大小．

解：（1）证明：因为△ACD 是边长为1的等边三角形，所以∠ADC ＝60°，∠DA 1C 1＝120° 因为D 是AA 1的中点，所以AD ＝A 1D ＝A 1C 1＝1，即△A 1C 1D 是等腰三角形， 则∠A 1DC 1＝30°，故∠CDC 1＝90°，即CD ⊥C 1D ，

因为BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ∥B 1C 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ， 因为CD ?平面AA 1C 1C ，所以B 1C 1⊥CD ， 因为B 1C 1C 1D ＝C 1，B 1C 1?平面B 1C 1D ，C 1D ?平面B 1C 1D ，所以CD ⊥平面B 1C 1D ， 因为B 1D ?平面B 1C 1D ，所以CD ⊥B 1D ； （2）连接CA 1，则AC ⊥CA 1，以C 为原点，

的方向分别为x 轴，y 轴，z

轴的正方向，建立空间直角坐标系C —xyz ，

则

故

设平面BDC 1的法向量为

，

则令，得，

故

所以二面角B —C 1D —B 1的大小为30°． 20．（本小题满分12分）

已知函数()Acos()f x x ω?=+(A ＞0，ω＞0，0＜?＜π)的部分图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；

（2）设

()()23cos(

2)16

g x f x x π

=+-+．若关于x 的不等式

2()(32)()g x m g x m -+--23≤0恒成立，求m 的取值范围．

解：（1）由图可知A ＝2，，

则，从而

，故

，

因为的图像过点，所以，所以

，

因为，所以

， 故

；

（2）由（1）可得

，

设，因为

，所以

，

因为

，即

在[﹣3，5]

上恒成立，

则，即，

解得

，

故m 的取值范围为．

21．（本小题满分12分）

已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1的直线l 与椭

圆C 交于A ，B 两点，点M(2，1)在椭圆C 上，且当直线l 垂直于x 轴时，AB ＝2．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）是否存在实数t ，使得1111AF BF AF BF t +=恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．

解：（1）由题意可得

解得

，

故椭圆C 的标准方程为，

（2）如图，由（1）可知 当直线l 的斜率不存在时，，则

当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线l 的方程为

，

联立整理得

，

则，

，从而

，

故，

由题意可得

则

因为

，所以，

综上，存在实数，使得

恒成立．

22．（本小题满分12分）

已知函数12

1()(1)e 2

x f x x a x ax -=---

+(x ＞0)． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）当a ≤2时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围． 解：（1）12

1()(1)e 2

x f x x a x ax -=---+(x ＞0)，

时，时，

时，

在(0，1)递减，在

递增；

时，

时，

时，

在

递增，递减，递增；

时，，

在递增；

时，

时，时，

在(0，1)递增，在

递减，在

递增；

（2）时，由（1）知：，与题意不符，舍去；

时，

，由（1）知：

要使无最小值，则：；

时，由（1）知：无最小值，符合题意；

④

时，

，由（1）知：

要使无最小值，则：

令

，令

在递增，

故在(1，2)上恰有一个零点，设为

时，，时，，即故在递减，递增，

因此，时，恒成立，则；综上，．