线性规划练习题含答案

线性规划练习题含答案一、选择题

1．已知不等式组

2,

1,

y x

y kx

x

≤-+

?

?

≥+

?

?≥

?

所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k的值为

A．－1 B．

1 2 -

C．

1

2

D．1

【答案】B

【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB

?的面积为2, AOC

?的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A（2，0），B（0，1）时符合要求，此时

1

2

k=-,故选B。

2．定义

()

()

max{,}

a a b

a b

b a b

≥

??

=?

<

??

，已知实数y

x,满足1

,1≤

≤y

x，设{}

max,2

z x y x y

=+-，则z的取值范围是（）

A、?

?

?

??

?

-2,

2

3

B、?

?

?

??

?

2,

2

3

C、?

?

?

??

?

3,

2

3

D、?

?

?

??

?

-3,

2

3

【答案】D

【解析】{}

,2,20

max,2

2,22,20

x y x y x y x y x y

z x y x y

x y x y x y x y x y

++≥-+-≤

??

=+-==

??

-+<--->

??

，

当z=x+y时，对应的点落在直线x-2y=0的左上方，此时

3

2

2

z

-≤≤；当z=2x-y时，对应的点落在直线x-2y=0的右下方，

3

3

2

z

-≤≤

3．若实数x ，y 满足??

?

??≤+≥≥,

1234,0,

0y x y x 则13++=x y z 的取值范围是（ ）

A ． )

7,4

3( B ．??????5,32 C ．??

????7,3

2

D ．??

????7,4

3

【答案】D

【解析】作出如右图所示的可行域，由于13

++=x y z 的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率，数形结合，可知3

3

,,7,[,7]4

4

PA PB PA PB k z k k k z ≤≤=

=∴∈Q ,应选D

4．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥??

-+≥??≥?

，则2z x y =+的最小值等于 ( )

A. 2

B. 3

C.5

D. 9

【答案】B

【解析】解：因为设,x y ∈R 且满足满足1

230

x x y y x ≥??

-+≥??≥?

故其可行域为

当直线Z=x+2y 过点（1，1）时，z=x+2y 取最小值3， 故选B

5．若实数，满足条件则的最大值为（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A

【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y 过点A 时，Z 取得最大值.因为A(3,-3)，所以Z max =23(3)9?--=,故选A.

x y 0,30,03,x y x y x +≥??

-+≥??≤≤?

2x y -9303-

6．设变量x ，y 满足约束条件??

?

??≥+≤+≥-120y x a y x y x ，若目标函数z=2x+6y 的最小值为2，则a =

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】A

【解析】解：由已知条件可以得到可行域，，要是目标函数的最小值为2，则需要满足直线过x 2y 1+=与x+y=a 的交点时取得。则为（2a-1,1-a ）,代入目标函数z=2x+6y 中，求解得到a=1.

7．实数y x ,满足不等式组20

206318x y x y x y -≥??

+-≥??+≤?

，且()0z ax y a =+> 取最小值的最优解有无穷多个, 则实数a 的取值是

（ ）

A ．4

5

-

B ．1

C ．2

D ．无法确定

【答案】B

【解析】解：如图所示

要是目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则令ax+y=0,并平移过点C 24(,)33

，（可行域最左侧的点）的边界重合即可。注意到a>0，只能与AC 重合，所以a=1

8．已知点集，，点集所表示的平面

区域与点集所表示的平面区域的边界的交点为.若点在点集所表示的平面区域内（不在边界上），则△的面积的最大值是

A. B. C. D.

【答案】

B

{}22

(,)48160A x y x y x y =+--+≤{}

(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+A B ,M N (,4)D m A DMN 12224

【解析】解：

因为点集A 表示的为圆心为（2,4），半径为2的圆，而点集B 表示为绝对值函数表示的区域则利用数形结合思想，我们可以求解得到。

【题

型】选择题

9．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥??

-≤??-+≥?

（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ）

A ． -5

B ．1

C ． 2

D ． 3 【答案】D 【解析】解：

当a<0时，不等式表示的平满区域如图中的M ，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a 0≥，此时不等式表示的区域为如图中的N ，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为2，则AB=4，即点B （1,4），代入y=ax+1，得a=3 10．已知方程：220x ax b ++= (,)a R b R ∈∈，其一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内，则22(3)z a b =++的取值范围为 A. 2(

B. 1

(,4)2

C. (1,2)

D. (1,4) 【答案】B 【解析】解：

222f (x)x ax 2b,f (0)0

f (1)0,f (3)0b 0,a 2b 10,2a 2b 40a b z (a 3)b -1

z 2

解：设由图像可知，三者同时成立，求解得到由线性规划知识画出可行域，以为横轴，为纵轴，再以为目标，几何意义为区域内的点到（3,0）的距离的平方，当a=-1，b=0时，z 最大为4，当点到直线a+2b+1=02的距离为

最小为，由题目，不能去边界2=++><>>++<++>=++

11．的取值范围是则满足约束条件变量1

2

2,012430,++=≤-+≥≥??

???x y s y x x

y x y x （ ） A ．[1,4] B ．[2,8]

C ．[2,10]

D ．[3,9]

【答案】B

【解析】约束条件034120

x y x x y ≥≥+-≤?????

表示的区域如图，221112y y s x x ++=++=?

，1

1y x ++表示点（x ，y ）与点（-1，-1）的斜率，PB 的斜率为最小值，PA 的斜率为最大值，斜率的取值范围是[1,4]，1

1

2y x ++?

的取值范围是[2,8]。

12．若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-??

≥??+≤?

则z=2x+y 的最大值为

（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】C

【解析】：∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，∴即为（1，1），

当1,1x y ==时

max 3

z =

y x =325x y +=

13．在集合}4,1,1|),{(≤+≥≥=y x y x y x A 中，y x 2+的最大值是 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8． 【答案】C

【解析】画出不等式组表示的平面区域,可以看出,当直线2z x y =+经过点(1,3)时, 2z x y =+最大值为7,故选C. 14．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是( )

A B ． C ．

D ．

【答案】A 【解析】解：

0,0,

1011由题意可知，x y x y x x y y

>??>??

-->??->?->?? 即为所求的区域A

15，变量y x ,满足40

01

+-≤??-≤??≥?

x y x y x ，则有( )

A ．max min 2,0==z z

B ．max min 3,0==z z

C ．min min 3,1==z z 无最大值

D ．max min 0,2==-z z 【答案】A

【解析】解:利用不等式组，做出可行域，然后目标函数表示的为，区域内的点，到定点（0,1），直线的斜率的取值范围，则可以利用边界点得到选项A

16．．设m 为实数，若22250

{()|30}{()|25}0

x y x y x x y x y x y mx y -+??

-∈?+??+?R ，，、，≥≥≤≥，则m 的最大值是（ ）

A ．

4

3

B ．

3

4

C ．23

D ．32

【答案】B

17．已知点1

(,)40x x y x y ax by c ≥??

+≤??++≥?

是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数2z x y =+的最大值为7，

最小值为1，则a b c

a

++的值为（ ）

A ．2

B ．12

C ．-2

D ．-1

【答案】C

18．的取值范围是则满足约束条件变量1

2

2,012430,++=≤-+≥≥??

???x y s y x x

y x y x （ ） A.[1,4]

B.[2,8]

C.[2,10]

D.[3,9]

【答案】B

19．已知变量x ，y 满足约束条件1,0,20,y x y x y -??

+??--?

≤0≥≤则24x y z =g 的最大值为

A ．16

B ．32

C ．4

D ．2

【答案】B

20．设x,y 满足约束条件??

?

??≥≤+-≥+-004320

32y y x y x ，若目标函数 by ax z +=（其中0,0>>b a ）的最大值为3,则b a 21+

的最小值为 A.3

B.1

C.2

D.4

【答案】A

21．设x ，y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y ì--????-+í?????

≤≥≥≥若目标函数z ax by =+（a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则23a b +的最小值为 A ．8

3

B ．

256

C ．

113

D ． 4

【答案】B

22．设m>1，在约束条件1y x y mx x y ≥??

≤??+≤?

下，目标函数z=x+5y 的最大值为4，则m 的值为_______。

【答案】3

3．已知在平面直角坐标系xoy 上的区域D

由不等式组02x y x ?≤≤?

≤??

≤?给定。若(,)M x y 为D 上的动点，点

的坐标为

，则z OM OA =u u u u r u u u r

g

的最大值为（ ） A

． B

．

C ．4

D ．3

【答案】C

24．已知点满足，点在曲线上运动，则的最小值是( )

A (,)P x y 1

110

x y x y ≤??

≤??+-≥?

Q 1(0)y x x =

A ．

B ．

C ．

D

【答案】A

25．设不等式组所表示的平面区域是,平面区域与关于直线对称,对于中的

任意一点A 与中的任意一点B , 的最小值为( ) A ．

B ．

C ．4

D ．2

【答案】C

26．若点M （y x ,

）是平面区域?

??

??≤≤≤≤y

x y x 222

0内任意一点，点A （-1，2），则z OM OA =?u u u u r u u u r 的最小值为

A.0

B.24-

C.2-2

D.4 【答案】A 【解析】略

27．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 A 、32

B 、1

C 、4

D 、2

3

【答案】A

二、填空题（题型注释）

28．设实数,x y 满足约束条件220

8400 , 0

x y x y x y -+≥??

--≤??≥≥?

，若目标函数9，则小值为__ ___。【解析】作出可行域，由图象可知x y

z a b

=

+过点（1,4）时有最大值149a b +=，

22

x 1

x-2y+30y x ≥??

≥??≥?

1Ω2Ω1Ω3490x y --=1Ω2Ω||AB 28

5

125

因0,0a b >>,则21141164()(4)(8)99b

a

d a b a b a b a b

=+=++=++11616(82.

)99b a a b ≥+=， 所以d 得最小值为

4

3

29．已知实数x,y 满足330101x y x y y +-≤??

-+≥??≥-?

，则z=2|x|+y 的取值范围是_________【答案】[-1,11]

【解析】作出可行域与目标函数，结合图象可得目标函数经过（0，-1）时，有最小值-1，经过点（6，-1）时有最大值11，所以取值范围是[-1,11]。

30．已知实数满足20

25020

x y x y y --≤??+-≥??-≤?

，则y

x b =的取值范围是 【答案】]2,31[

【解析】如图画出的可行域如下：

y

x b =的几何意义是可行域内的点与原点的斜率，由图可知过（1,2）有最大值212==b ，过（3,1）有最小值3

1=b .

所以y

x b =的取值范围是]2,3

1

[

31．已知实数x 、y 满足??

?

??≤≤--≥-+301,094y y x y x ，则x －3y 的最大值是 _______ .【答案】-1

【解析】条件??

?

??≤≤--≥-+3

01,

094y y x y x 表示的区域如图所示，设3z x y =-，即133z y x =-在y 轴上的截距为3z -，z 的值越

大，直线向下平移，过A 点时，z 值最大，求得A （2，1），代入得z 的最大值为-1.

32．如果实数x ，y 满足???

??≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则42++=y x z 的最大值 ___ 【答案】29

【解析】如图画出实数x ，y 满足??

?

??≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，的可行域如下：

由图像可知当过点（7,9）时42++=y x z 的有最大值29.

33．若实数x 、y 满足20,

,,

x y y x y x b -≥??

≥??≥-+?

且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为____.【答案】94.

【解析】由于2z x y =+最小值为3,所以最优解应为直线y=-x+b 与2x-y=0的交点.由23

20

x y x y +=??

-=?得33(,)42,代入

y=-x+b 得b=

9

4

. 34．设,x y 满足约束条件3

123

x y x y x y +??

--??-?

≥≥≤，若目标函数(0,0)x y z a b a b =+>>的最大值为10，则54a b +的最小值

为 . 【答案】8

【解析】由题意知当直线

x y

z

a b

=+经过直线x-y=-1与直线2x-y=3的交点(4,5)

时，z最得最大值10.

所以

4514511625

10,54(54)()(40)

1010

b a

a b a b

a b a b a b

+=∴+=++=++

11625

(402)8

10

b a

a b

≥+?=(当且仅当

4

,1

5

a b

==时，取“=”)

35．若实数x，y满足不等式组

30

20

350

x y

x y

x y

+≥

?

?

-≥

?

?--≤

?

，则x2＋y2的最大值是____．【答案】5

【解析】解：利用不等式组，做出可行域，然后目标函数的几何意义为，区域内点到原点距离平方的最大值问题，我们结合边界点，可以解得为5

36．若非负实数,x y满足

28,

39,

x y

x y

+

?

?

+

?

≤

≤

则2

2x y

z+

=的最大值为 . 【答案】128；

【解析】解：由题意可作出可行域，如下图，当直线z‘=x+2y平移到过点（3,2）时，Z’最大，则此时2

2x y

z+

==128

37．设变量x，y满足约束条件

?

?

?

?

?

≤

+

≥

≥

,7

,

3

,0

ay

x

x

y

x

(其中a>1)．若目标函效z=x+y的最大值为4，则a的值为．【答案】2

38．已知

44

3515

1,2

x y

x y

x y

-≥-

?

?

+≤

?

?≥≥-

?

，则

2

3

2

+

+

+

x

y

x

的最大值为▲；【答案】

37

79

39．已知且，则的取值范围是_______。【答案】（3，8）

40．若变量y

x,满足约束条件

1

3215

x

y x

x y

≥

?

?

≥

?

?+≤

?

，则

3

log(2)

w x y

=+的最大值是【答案】2

41．设变量y

x,满足约束条件

3

1

1

x y

x y

y

+≤

?

?

-≥-

?

?≥

?

,则目标函数42

z x y

=+的最大值为______【答案】10

42．已知点A(53,5)，过点A的直线:(0),

l x my n n

=+>若可行域30

x my n

x

y

≤+

?

?

≥

?

?≥

?

的外接圆直径为20，则实数n的值14

x y

-<+<23

x y

<-<23

z x y

=-

是

【答案】43．在平面直角坐标系中，满足条件[][]2

2

1x y +≤的点(),x y 构成的平面区域Ω的面积为S （[][],x y 分别表示不大

于,x y 的最大整数），则S = _.【答案】5

44．设满足条件，则的最小值 【答案】

45．设实数y x ,满足约束条件36020,0,0

x y x y x y --≤??-+≥??≥≥?

若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23

a b +的最小值

为____________【答案】256

46．设，不等式组 所表示的平面区域是．给出下列三个结论：

① 当时，的面积为； ② ，使是直角三角形区域； ③ 设点,对于有．

其中，所有正确结论的序号是______．【答案】①、③

47．已知实数y x ,满足0,

1,2210.x y x y ≥??

≤??-+≤?

若目标函数y ax z +=()0≠a 取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的

值为____ 【答案】1-

,x y 3

10x y y x y +≤??

≤-??≥?

22(1)x y w e ++=4e 0λ>2,0,20x x y x y λλ≤??

-≥??+≥?

W 1λ=W 30λ?>W (,)P x y P W ?∈4y

x λ

+

≤