海淀区初二数学全等三角形经典50题证明

海淀名校全等三角形证明经典50题（含答案）

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD?

解析：延长AD 到E,使DE=AD,

则三角形ADC 全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

即:10-2<2AD<10+2 4

又AD 是整数,则AD=5

2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12

CD AB

3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

A

D B

C

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC

5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2

∠C

证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD

AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C

6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF

＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，

所以△CEB ≌△CEF 所以∠B

＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝

180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°

所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平

分∠BAD 所以∠DAC ＝

∠FAC 又因为AC ＝AC 所以

△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以

AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝

AD ＋BE

12. 如图，四边形ABCD 中，

AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠

ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。

证明:在BC 上截取BF=BA,连接

EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则

⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,

则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则

∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故

⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所

以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C

证明：AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC

所以三角形AEF 全等于三角形DCB ， 所以:∠C=∠F

C

D B D C F

E A

B A

C

D

F

2

1 E

14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当AD

时，E 点是射线BA,CD 的交点，当AD>BC 时，E 点

是射线AB,DC 的交点）。

则：△AED 是等腰三角形。所以：AE=DE 而AB=CD

所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：

△BEC 是等腰三角形所以：角B=角C.

15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：

PC-PB

证明：作B 关于AD 的对称点B ‘，因为AD 是角BAC 的平分线，B'在线段AC 上（在AC 中间，因

为AB 较短）因为PC

B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB

AC-AB=2BE

证明：∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C

∠1=∠BAC/2=90-2∠C

∠ABE=90-∠1=2∠C

延长BE 交AC 于F

因为，∠1 =∠2，BE ⊥AE

所以，△ABF 是等腰三角形

AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC

证明：作AG ∥BD 交DE 延长线于G AGE 全等BDE

AG=BD=5AGF ∽CDF AF=AG=5 所以DC=CF=2 18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，

∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．

证明：延长AD 至H 交BC 于H;BD=DC;

所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;

所以:AB=AC;

三角形ABD 全等于三角形ACD;

∠BAD=∠CAD;AD 是等腰三角形的顶角平分线所以:AD 垂直BC

19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．

求证：∠OAB =∠OBA

证明：因为AOM 与MOB 都为直角三角形、共用OM ，且∠MOA=∠MOB

所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA

因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA

20．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE

A B C D P D A C B F

A E D C B

的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 证明：做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°， 又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ，∴三角形DEF

与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B

证明：在AB 上找点E ，使AE=AC ∵AE=AC ，∠EAD=∠CAD ，

AD=AD ∴△ADE ≌△ADC 。DE=CD ，

∠AED=∠C ∵AB=AC+CD ，

∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠ED

B=2∠B

P

E D

C B

A D C

B A