03第三节条件概率

第三节 条件概率

分布图示

★ 概念引入

★ 条件概率的定义

★例1

★例2 ★例3 ★ 乘法公式

★例4

★例5 ★例6 ★ 全概率公式

★例7 ★例8

★例9 ★ 例10

★ 贝叶斯公式

★ 例11 ★ 例12 ★ 例13

★ 例14

★ 例15

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题 10-3

内容要点

一、条件概率的概念 引例

在事件 A 发生的条件下 ,求事件 B 发生的条件概率 ,记作 P(B | A) .

二、条件概率的定义

定义 1 设 A,B 是两个事件 ,

且P(A) 0,

则称

P(AB) (1)

P(B | A)

P( A)

为在事件 A 发生的条件下 ,事件 B 的条件概率 .相应地，把 P (B ) 称为无条件概率。一般地，

P(B | A) P(B) .

计算条件概率有两种方法 :

a) 在缩减的样本空间

A 中求事件

B 的概率，就得到

P(B|A)；

b) 在样本空间 S 中，先求事件 P ( AB )

和

P( A)

，再按定义计算 P(B | A) 。

三、乘法公式

由条件概率的定义立即得到 :

P(AB) P( A) P(B | A)

(P( A)

0)

(2) 注意到 AB BA , 及 A, B 的对称性可得到 :

P(AB)

P(B)P(A | B) (P(B) 0)

(3)

(2) 和 (3)式都称为 乘法公式 , 利用它们可计算两个事件同时发生的概率

.

四、全概率公式

全概率公式是概率论中的一个基本公式。 它使一个复杂事件的概率计算问题， 可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。

定理 1

设 A 1, A 2 , , A n ,

是一个完备事件组 ,且 P( A i ) 0, i 1,2,

, 则对任一事件 B ,有

P (B

)

P (A 1)P (B | A 1

)

P ( A n )P ( B | A n

)

注 : 公式指出 : 在复杂情况下直接计算 P( B) 不易时 ,可根据具体情况构造一组完备事件

{ A i } , 使事件B发生的概率是各事件A i (i 1,2, ) 发生条件下引起事件 B 发生的概率的总和.

五、贝叶斯公式

利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求

得该事件发生的概率 .下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题,即 ,一事件已经发生 ,要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性. 例如 ,有三个放有不同数量和颜色

的球的箱子 ,现从任一箱中任意摸出一球,发现是红球 ,求该球是取自 1号箱的概率 .或问 :该球取自哪号箱的可能性最大?

定理 2设 A1, A2,, A n , 是一完备事件组 ,则对任一事件B , P( B)0 ,有

P( A i B)P( A i )P( B | A i )

i 1,2, , 贝叶斯公式

P( A i | B),

P( B)P( A j )P(B | A j )

j

注 : 公式中 , P( A i ) 和 P( A i | B) 分别称为原因的验前概率和验后概率 . P( A i )( i1,2,) 是在没有进一步信息( 不知道事件B是否发生 )的情况下诸事件发生的概

率 .当获得新的信息(知道B发生 ),人们对诸事件发生的概率P( A i | B) 有了新的估计 . 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 .

例题选讲

条件概率

例1(E01) 某种元件用满6000小时未坏的概率是3 4，

10000 小时未坏的概率为用满

1 2，

6000 小时未坏，试求它能用到10000 小时的概率 .

现有一个此种元件，已经用过

解设 A 表示{用满10000小时未坏}， B 表示{用满6000小时未坏}，则

P(B) 3 4 ,P(A) 1 2.

由于 A B, AB A, 因而P( AB) 1 2,故

P(A|B)P( AB)P( A) 1 2

2 3. P( B)P( B)

3 4

例 2 袋中有5个球,其中3个红球取得红球时 , 求第二次取得白球的概率解法 1 设A表示“第一次取得红球

2 个白球 . 现从袋中不放回地连取两个.

.

”, B表示“第二次取得白球”,依题意要求

已知第一次

P(B | A). 缩

减样本空间 A 中的样本点数, 即第一次取得红球的取法为P31 P41 ,其中 ,第二次取得白球的

1

1

P 31P 21 1

取法有 P 3

P 2 种, 所以 P(B|A)

.

P 31P 41

2

也可以直接用公式 (1) 计算 , 因为第一次取走了一个红球 , 袋中只剩下 4 个球 , 其中有两 个白球 , 再从中任取一个 , 取得白球的概率为

2/4, 所以 P(B |A) 2/4

1/ 2.

解法 2

设 A 表示 “第一次取得红球 ”, B 表示 “第二次取得白球 ”, 求 P(B | A).

在 5 个球中不放回连取两球的取法有

P 52 种 , 其中 , 第一次取得红球的取法有

P 31P 41 种 , 第

一次取得红球第二次取得白球的取法有

P 31P 21 种 , 所以

P( A)

P 31 P 41 3 P 31P 21 3

P 52

, P( AB)

P 52

.

5

10

由定义得 P(B | A)

P(AB ) 3/10 1 .

P( A)

3 / 5 2

例 3（ E02） 某药检所从送检的

10 件药品中先后无返回地抽检了两件

.如果 10件中有 3件

次品,求

(1) 第一次检得次品的概率 ; （ 1） 两次都检得次品的概率 ;

（ 2） 第一次检得次品后 , 第二次检得次品的概率 . 解

设 A 表示第一次检得次品 , B 表示第二次检得次品 , 则

(1) P( A)

3

;

10

(2) P( AB)

3 2 1

10

9

;

15

P(AB)

1 2

(3) 15 P(B | A)

P( A) 3 .

9

10

乘法公式

例 4(E03) 一袋中装 10 个球 , 其中 3 个黑球、 7 个白球 , 先后两次从中随意各取一球

(不

放回 ), 求两次取到的均为黑球的概率 .

解 设 A i 表示事件 “第 i 次取到的是黑球 ” (i 1,2), 则 A 1 A 2 表示事件 “两次取到的均

为黑球 ”. 由题设知 P( A 1)

3

, P(A 2 | A 1) 2 ，于是根据乘法公式 , 有

10 9

P( A 1 3 2 1

A 2 ) P( A 1 )P( A 2 | A 1)

9 .

10 15

注：这一概率 , 我们曾用古典概型方法计算过 , 这里我们使用乘法公式来计算

. 在本例

中 , 问题本身提供了两步完成一个试验的结构,这恰恰与乘法公式的形式相应, 合理地利用问题本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键.

例 5 设袋中装有r只红球,t只白球.每次自袋中任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次, 试求第一 , 二次取到红球且第三 , 四次取到白球的概率 .

解以 A i (i1,2,3,4) 表示事件“第i次取到红球”,则 A , A 分别表示事件第三、四次取

34

到白球 . 所求概率为

P( A1A2 A3 A4 ) P( A1) P( A2| A1) P( A3| A1A2) P( A4| A1A2A3)

r r a t t a r t r t .

a r t 2a r t 3a

例 6 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破 , 第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破 , 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.

解以

A i (i1,2,3)表示事件“透镜第

i

次落下打破”, 表示事件“透镜落下三次而未打

B

破”. 为 B A1A2A3,故有

P( B) P( A1A2 A3 ) P( A1 )P (A2 | A1) P( A3 | A1 A2 )

117

1

93 1

1010

. 2200

全概率公式

例 7 一袋中装有10个球,其中 3 个黑球、 7 个白球，从中先后随意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率 .

解这一概率 ,我们前面在古典概型中已计算过, 这里我们用一种新的方法来计算.将事件“第二次取到的是黑球”根据第一次取球的情况分解成两个互不相容的部分,分别计算其概率 , 再求和 . 记 A, B为事件“第一、二次取到的是黑球”, 则有

P( B)P( AB) P ( AB)P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)

由题设易知P(A)3

, P(A)7, P(B|A)2, P(B| A)3, 101099

于是P( B)

32733

109109.

10

例 8(E04)人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化, 往往会去分析影响股票价

格的基本因素 , 比如利率的变化 . 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%. 根据经验 , 人们估计 , 在利率下调的情况下, 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下, 其价格上涨的概率为40%,求该支股票将上涨的概率 .

解记 A 为事件“利率下调”,那么A即为“利率不变”,记 B 为事件“股票价格上涨”.

依题设知 P( A) 60%, P( A) 40%, P(B | A) 80%, P( B | A ) 40%,

于是

P( B) P( AB) P ( AB) P( A)P(B | A) P( A )P( B | A ) 60% 80% 40% 40% 64%.

例 9 某商店收进甲厂生产的产品30 箱，乙厂生产的同种产品

个，废品率为0.06, 乙厂每箱装120 个 , 废品率为0.05, 求 :

20 箱，甲厂每箱装100

(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；

(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率 . 解

记事件 A、B分别为甲、乙两厂的产品 , C 为废品 , 则

(1)P( A)303, P(B)202,P(C | A)0.06, P(C | B)0.05

505505

由全概率公式 ,得 P(C)P( A)P(C | A)P(B )P(C | B)0.056

(2)P( A)

30

30100

120

5

, P(B)

30

20120

120

4 , 100209100209

P(C | A)0.06, P(C | B)0.05

由全概率公式 ,得 P(C)P( A) P(C | A)P(B)P(C | B)0.056.

例 10(E05) 有三个罐子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑共4个球,3号装有 2 红2 黑共 4 个球 .如下图 . 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.

123

解记 B i = { 球取自i 号罐 }, i=1, 2, 3; A ={ 取得红球 }.

因为 A发生总是伴随着B1 , B2 , B3之一同时发生 , B1 , B2 , B3是样本空间的一个划分．

3

由全概率公式得 P( A)P( B i ) P( A|B i )

i 1

依题意 : P(A| B1 )=2/3,P(A| B2 )=3/4, P(A| B3)=1/2,

P(B1) P(B2 ) P(B3) 1 3,

代入数据计算得： P(A) ≈0.639 .

贝叶斯公式

例 11(E06)对于例10，若取出的一球是红球，试求该红球是从第一个罐中取出的概

率.

解仍然用例 11 的记号 .要求 P(B1 | A) ,由贝叶斯公式知

P(B1 | A)

P (A | B1 )P(B1 )

P( A | B3 )P(B3 ) P( A | B1 ) P(B1) P( A | B2 )P(B2 )

P(A | B1)P(B1)

P( A)0.348.

例 12 一袋中有10个球,其中 3个黑球 , 7个白球 ,从中先后随意各取一球(不放回设已知二次取到的球为黑球,求“第一次取到的也是黑球”的概率 .

解设“第一次取到的是黑球”这一事件为 A, “第二次取到的是黑球”这一事件为则问题归结为求条件概率P(A | B).根据贝叶斯公式 , 有

P( A)P(B | A)

.

P(A | B)

P( A)P(B | A)P( A)P( B | A)

据题涉及例7 的结果易知), B,

P( A)3/10, P(B | A)2/ 9, P(A) 7/10, P(B | A) 2/ 9,

从而P( A| B)

(3/10)(2/ 9)2

(3 /10)(2/9)(7 /10)(3/9).

9

例 13 对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时 ,其合格率为 55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整得良好的概率是多少?

解设 A 为事件“产品合格”,B 为事件“机器调整良好”.

P( A | B) 0.98, P( A | B ) 0.55, P( B)0.95, P( B)0.05,

所求的概率为P(B | A)

P( A| B)P(B)

0.97. P(A |B) P(B)P(A | B )P(B )

这就是说 , 当生产出第一件产品是合格时, 此时机器调整良好的概率为0.97. 这里 , 概率 0.95 是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率 .

而在得到信息 (即生产的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做叫做后验概率 .

例 14 根据以上的临床记录，某种诊断癌症的是眼睛有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性” ，以 C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 P(A |C) 0.95, P(A | C)0.95现在对自然人群进行普查 ,设备试验的人患有癌症的概率为0.005,即 P(C)0.005 ,试求

P(C | A).

解由题设 ,有

P(C ) 1 P(C) 0.995, P( A | C ) 1 P(A|C)0.05,

由贝叶斯公式 , 得 P(C | A)P(A| C)P(C)0.087.

P( A | C)P (C)P( A |C)P(C )

注: 本题表明,虽然P( A |C) 0.95, P( A |C )0.95, 这两个概率都比较高,但

P(C | A)0.087,即平均 1000 个具有阳性反应的人中大约只有87 人确患癌症 .

例 158 支步枪中有 5 支已校准过， 3 支未校准 . 一名射手用校准过的枪射击时, 中靶

的概率为0.8; 用未校准的枪射击时, 中靶的概率为0.3.现从 8 支枪中任取一支用于射击, 结果中靶 ,求所用的枪是校准过的概率 .

解设 B1{使用的枪校准过 },B2{使用的枪未校准 }, A{射击时中靶},则B1,B2是

的一个划分 , 且 P( B1 )5, P(B2 )3, P(A| B1)0.8, P( A | B2)0.3.

88

由贝叶斯公式 , 得P(B1 | A)P( A | B1 )P(B1)40 .

P( A | B1 )P(B1 )P( A | B2 )P(B2 )49

这样 , 所用的枪是校准过的概率为40 .

49

课堂练习

设某种动物由出生算起活到20 年以上的概率为 0.8, 活到 25 年以上的概率为0.4. 问现年 20 岁的这种动物 , 它能活到25 岁以上的概率是多少 ?