高考数学压轴题预测 3、解析几何

高考数学压轴题预测 3、解析几何

专题3 解析几何

考点一 曲线（轨迹）方程的求法

1. 设)0(1),(),,(22

222211>>=+b a b

x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，

满足0),(),(2211=?a

y b x a y b x ，椭圆的离心率,23

=e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； （3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

解析：本例（1

）通过e =

22b =，及,,a b c 之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。

答案：（1

）2 2.1, 2.2

c b b e a e a a ====

=?==椭圆的方程为14

22

=+x y （2）设AB 的方程为3+=kx y

由41,4320132)4(1

4

3

2212212222+-=+-=+=-++????

??=++=k x x k k x x kx x k x y kx y 由已知

43)(43)41()3)(3(410212122121221221+

+++=+++=+=x x k x x k kx kx x x a

y y b x x ±=++-?++-+=k k k k k k 解得,4

3

43243)41(44222 2 （3）当A 为顶点时，B 必为顶点.S △AOB =1 当A ，B 不为顶点时，设AB 的方程为y=kx+b

42042)4(1

4

2212

222

2+-=+=-+++??????=++=k kb x x b kbx x k x y b

kx y 得到 442221+-=k b x x

:04

))((0421212121代入整理得=+++?==b kx b kx x x y y x x

4

222=+k b 4

1644|||4)(||21||||21222212

2121++-=-+=--=k b k b x x x x b x x b S

1|

|242==b k 所以三角形的面积为定值.

点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。

2. 在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同时满足①0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB = ||MC ③GM ∥AB

（1）求顶点C 的轨迹E 的方程

（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F , 0） ，已知PF ∥FQ ,

RF ∥FN 且PF ·RF = 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.

解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关

系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 答案：（1）设C ( x , y )， 2GA GB GO +=,由①知2GC GO =-,∴G 为

△ABC 的重心 ，

∴ G(3x ,3

y ) 由②知M 是△ABC 的外心，∴M 在x 轴上

由③知M （

3

x

，0），

由|| ||MC MA = =

化简整理得：2

213x y +=（x ≠0）。

（2）F ，0 ）恰为2

213

x y +=的右焦点

设PQ 的斜率为k ≠0且k ≠±

2

，则直线PQ 的方程为y = k ( x )

由2222

22

((31)630330

y k x k x x k x y ?=??+-+-=?

+-=??

设P(x 1 , y 1) ，Q (x 2 ,y 2 ) 则x 1 + x 2 = 2231k + , x 1·x 2 =226331

k k -+

则 ·

RN ⊥PQ,把k 换成1

k

-得 | RN | = 221)3k k ++

∴S =

1

2

| PQ | · | RN | =22

226(1)(31)(3)k k k +++ =2

28

213()10

k k

-

++)

22

18

3()102k k S

∴+

+=- 221k k +

≥2 ， 82S

∴-≥16 3

2

∴≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号) 又当k 不存在或k = 0时S = 2 综上可得

3

2

≤ S ≤ 2 ∴S max = 2 ， S min =

32

点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 考点二 圆锥曲线的几何性质

3. 如图，F 为双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点 P 为双曲线C 右支上一点，

且位于x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点 已知四边形OFPM 为平行四边形，

PF OF λ=

（Ⅰ）写出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式；

（Ⅱ）当1λ=时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A B 点，若12AB =，求此时的双曲线方程

分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。

解：∵四边形OFPM 是

，∴||||OF PM c ==，作双曲线的右准线交PM 于H ，则

2||||2a PM PH c =+，又22

22222||||||

2222

PF OF c c e e a a PH c a e c c c c λλλλ=====----，

220e e λ--=

（Ⅱ）当1λ=时，2e =，2c a =，2

2

3b a =，双曲线为22

22143x y a a

-=四边形OFPM

是菱形，所以直线OP

，则直线AB

的方程为2)y x a =-，代入到双曲线方

程得：22948600x ax a -+=，

又12AB =，

由AB =

得：12=，解得2

94a =，则2

274

b =，所以

2212794

x y -=为所求 点评：本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。

4. 设,A B 分别为椭圆22

221(,0)x y a b a b

+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且

4x =为它的右准线

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内

分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力

解：（Ⅰ）依题意得 a ＝2c ，c a 2

＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而b ＝3

故椭圆的方程为 13

42

2=+y x （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0） 设M （x 0，y 0） ∵M 点在椭圆上，∴y 0＝

4

3（4－x 02

） ○1 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2

P （4，2

600

+x y ）

从而BM ＝（x 0－2，y 0），

BP ＝（2，

2

600

+x y ）

∴BM ·BP ＝2x 0－4＋2602

0+x y ＝2

20+x （x 02－4＋3y 02

） ○2

将○1代入○2，化简得BM ·BP ＝

2

5

（2－x 0） ∵2－x 0>0，∴BM ·BP >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内

解法2：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0） 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），

则－2

221x x +，2

2

1y y +）， 依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差

2

BQ －

241MN ＝(221

x x +－2）2＋（221y y +）2－4

1[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

] ＝（x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 1 ○3

又直线AP 的方程为y ＝

)2(211++x x y ，直线BP 的方程为y ＝)2(2

22

--x x y ， 而点两直线AP 与BP 的交点P 在准线x ＝4上，

∴

26262211-=+x y x y ，即y 2＝2

)2311

2+-x y x （ ○4 又点M 在椭圆上，则1342

12

1=+y x ，即)4(4

32

121x y -= ○5

于是将○4、○5代入○3，化简后可得2

BQ －2

41MN ＝0)2)(24

521<-x x －（ 从而，点B 在以MN 为直径的圆内

点评：本题关键是联系直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力

考点三 直线与圆锥曲线位置关系问题

5. 已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1。 （1）求抛物线C 的方程；

（2）若过焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，M 在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线

MN 的方程；

（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新

问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．

例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积163

后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为163

，

求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为163

，求所有侧面面积之和的最小值”． 现有正确命题：过点(,0)2

p

A -

的直线交抛物线C ：22(0)y px p =>于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过焦点F 。

试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

解析：

答案：解：（1）2

4y x =

（2）设2(,)4

t N t -（t>0），则2(,2)M t t ，F(1,0)。

因为M 、F 、N 共线，则有FM NF k k =，

所以2

2

21114

t t t t -=--

，解得t =，

所以k =

= 因而，直线MN

的方程是1)y x =-。

（3）“逆向问题”一：

①已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过定点(,0)2

p

A -。 证明：设过F 的直线为y=k(x 2

p

-

)，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则11(,)R x y - 由

24()2

y x p y k x ?=??=-??得

2

2

2

221

(4)0

4

k x pk x p k -++=，所以

2

124

p x x =

，

1111()222RA

p k x y k p p x x --==-++， 2121121211()()()

222222

QA

p p p k x k x x x k x k p p p x x x x x ---===-+++

=RA k ， 所以直线RQ 必过焦点A 。

②过点(,0)2

p A -的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，FP 与抛物线交于另一点R ，则RQ 垂

直于x 轴。

③已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>，过点B(m,0 )（m>0）的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过定点A(-m,0)。

“逆向问题”二：已知椭圆C ：22

221x y a b

+=的焦点为F 1(-c,0)，F 2(c,0)，过F 2的直线交

椭圆C 于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过定点2

(,0)a A c

。

“逆向问题”三：已知双曲线C ：22

22

1x y a b

-=的焦点为F 1(-c,0)，F 2(c,0)，过F 2的直线

交双曲线C 于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过定点2

(,0)a A c

。

考点四 圆锥曲线的应用 （1）．圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

6. （2004年全国高考天津理科22题）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于

焦点F （C ，0）（C ＞0）的准线L 与X 轴相交于点A ，FA OF 2=，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若 OP ·O Q = 0，求直线PQ 的方程； （3）设 A P = λ AQ （λ＞1），过点P 且平行与准线L 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明 FM = -λ FQ 。

分析：（1）要求椭圆的方程及离心率，很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中心、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质。解：（1）根据已知条件“椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （C ，0）

（C ＞0）的准线L 与X 轴相交于点A 。” 可设椭圆的方程为122

2

2=+y a x （a ＞2），从而有()

22

22=-c a ；又因,2FA OF =可以有）（c c a c -=22，联系以上这两个关于a 、

c 的方程组并解得a=6，c=2，所以椭圆的方程为12

622=+y x ，离心率e=26。

（2）根据已知条件 “O P ·O Q = 0” ，我们可设 P ()11,y x ，Q ()22,y x ，把两个向

量的数量积的形式转化为坐标表示的形式，再根据直线 PQ 经过 A （3，0），只须求出直线PQ 的斜率K 即可求出直线PQ 的方程。而P 、Q 两点又在椭圆上，因此，我们容易想到通过

直线y=k （x-3）与椭圆12

62

2=+y x ，联系方程组消去一个未知数y （或x ）得()062718132222=-+-+k x k x k ，并利用一元二次方程的根与系数关系结合

02121=+y y x x 及()()3321221--=x x k y y 不难求出k=5

5±

，这里应特别注意K 的值要保证?＞0成立，否则无法保证直线PQ 与椭圆有两个交点。

（3）要证F M =-λ F Q ，我们容易想到通过式中两个向量FM 、FQ 的坐标之间关系来谋求证题的方法。为此我们可根据题意“过点P 且平行为准线L 的直线与椭圆相交于另一点M ”，求得点M 坐标为()11,y x -。又因AP=λAQ ，易知FM 、FQ 的两个纵坐标已经满足21y y λ-=，所以现在要考虑的问题是如何证明FM 、FQ 的两个横坐标应该满足()2221--=-x x λ，事实上，

()()2211,3,,3y x AQ y x AP -=-=

注意到λ＞1，解得λ

λ21

52-=x ⑤

因F （2，0），M ()11,y x -，故FM=()11,2y x --=()()22,13y x -+-λ。

=??? ??--1,21y λ=??

? ??---2,21y λλλ

又FQ=()??

?

??-=-222,21,2y y x λλ，因此FM=-λFQ 。 点评：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念，直线方程、平面向量的坐

标表示和向量的数量积，多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何的基础思想方法，以及分析问题和综合解题能力。 把两个向量之间的关系，转化为两个向量坐标之间的关系，再通过代数运算的方法来解决有关向量的问题是一种常用的解题手段。

7. （江苏卷）已知2||||),0,2(),0,2(2121=--PF PF P F F 满足点，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；

（2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点.

（i ）无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒成立，求实数m 的值.

（ii ）过P 、Q 作直线21

=x 的垂线PA 、OB ，垂足分别为A 、B ，记|

|||||AB QB PA +=λ，

求λ的取值范围.

解析： 答案：解：（1）由||2||||2121F F PF PF <=-知，点P 的轨迹E 是以F 1、F 2为焦点的双曲

线右支，由3,22,22

=∴==b a c ，故轨迹E 的方程为).1(13

2

2

≥=-x y x （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为),(),,(),2(2211y x Q y x P x k y -=，与双

曲线方程联立消y 得0344)3(2

222=++--k x k x k ，

???

?

???

??>-+=?>-=+>?≠-∴0

3340340

0322212

2212k k x x k k x x k 解得k 2

>3

（i ）2121))((y y m x m x MQ MP +--=?

212122222

12122

2

2

2

2222222

()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433

3(45).3

x m x m k x x k x x k m x x m k k k k k m m k k k m k m k =--+--=+-+++++++=-++---+=+-

0,=?∴⊥MQ MP MQ MP ，

故得0)54()1(32

22=--+-m m k m 对任意的 32>k 恒成立，

.1,0

54012

2

-=?????=--=-∴m m m m 解得 ∴当m =－1时，MP ⊥MQ .

当直线l 的斜率不存在时，由)0,1()3,2(),3,2(--M Q P 及知结论也成立， 综上，当m =－1时，MP ⊥MQ .

（ii ）21

,2,1=

∴==x c a 直线 是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：||2

1

|||,|21||1||222QF QB PF PF e PA ===，

方法一：|

|2||1||2||12122y y x x k AB PQ --+==∴λ

.1

121||21|)(|2||12212122k

k k x x k x x k +=+=--+=

33

21,3110,32

2

<<<<

∴>λ故k

k ， 注意到直线的斜率不存在时，2

1

|,|||=

=λ此时AB PQ ， 综上，.33,21???

?

???∈λ 方法二：设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ 与双曲线右支有二个交点，

3

23π

θπ

<

<∴

，过Q 作QC ⊥PA ，垂足为C ，则

.sin 21

)2cos(21||2||||2|||,2|θθπλθπ=-===∴-=∠CQ PQ AB PQ PQC

由,1sin 2

3

,323≤<<

<θπθπ得 故：.33,21???

?

???∈λ （2）。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。

10．（2004年全国高考福建理科22题）如图，P 是抛物线C ：2

2

1x y =

上一点，直线L 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q 。

（Ⅰ）若直线L 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线L 不过原点且与X 轴交于S ，与Y 轴交于点T ，试求 分析：（1）要求线段PQ 的中点M 的轨迹方程，我们常把M 的坐标转化为线段PQ 的两

个端点坐标之间的关系。而P 、Q 两点又是直线L 与抛物线的交点，容易想到直线L 的方程与抛物线C 的方程相联立消去y （或x ），转化为一元二次方程根与系数的关系问题。另外，求过抛物线P 的切线的斜率问题，我们自然会想到求出数2

2

1x y =

的导数。 解：（1）事实上x y ='

，这样过P ()11,y x 的斜率为1x ，由于直线L 与过点P 的切线垂

直，因此直线L 的斜率为1

1x -

（1x ≠0），所以可设直线L 的方程为)(1211121x x x x y --=-，

结合22

1x y =，消去y 并化简得0222112

=--+x x x x 。 若设Q ()22,y x ，M ()00,y x ，因M 为PQ 的中点，故有

()()

2221

,211212102110y y x y x x x x +=--=+=-

=消去1x 得M 的轨迹方程为)0(121020

2

00≠+-=x x x y 。

即M 的轨迹方程为()0121

2

2≠++=x x

x y 。 （2）根据式子SQ

ST

SP ST +的特点，我们很自然想到平面直角坐标系中的两点间的距离公式。于是可先求S 、T 两点的坐标，易知：

()

??? ?

?

++21211211,0,0,x T x x S ，从而有

1,1,1211212

2112121+=+=+???

??+=x y SQ x y SP x x ST

∴SQ ST SP ST +=???

? ??+??? ??+21

2111211y y x 又因()2

212

21222121121412121??

? ??+==?=x x x x x y y

∴SQ ST SP ST +≥???

??+21211x ·2

11y y ≥2 ∵1y 、2y 可取一切不相等的正数。 ∴

SQ

ST SP

ST +

的取值范围是（2，∞+）。

点评：这里的解法有别于2004年福建省高考数学评标准所给的答案。我们看到，其解

法的优点在于不用添加任何辅助线的方法就可直接给出作答，这更贴近考生的学习实际。