2
1
1
m ax 1()32822
g y a
a
a
a ---=+-=?=?=
，
所以
4
1
2213)21()(2min -=-?+=y g ；
当>
a 时，],[1a a y -∈，
2823)(2
max =?=-+=a a a y g ，
所以
4
122
32
)(1
2
min -
=-?+=--y g .
综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为4
1-.
6. 1217
提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为12
736
21=，从而先投掷人的获胜概率
为
+?
+?
+12
7)12
5(
12
7)125(
12
74
2
17
12144
251112
7=
-
?=
.
4
提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在
直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则
)1,3,
0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，
)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .
设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则
????
?=++-=?=+-=?,03,
022111111z y x BP m z x BA m ????
?=-+-=?=-=?,
03,
022221211z y x P B n x A B n
由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α?=?
，即
2cos cos 4
αα=?=.
所以 4
10sin =
α.
解法二：如图，PB PA PC PC ==11, .
设
B
A 1与
1
AB 交于点
,
O 则
1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .
11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平
面
B PA 1 .
过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得
3,2,5111=
=
==
=PO O B O A PA PB .
在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即 5
6,532=
∴?=
?OE OE .
又 5
545
62,22
2111=
+
=+=∴=OE
O B E B O B .
4
105
542sin sin 111=
=
=
∠=E
B O B EO B α.
8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 100420092
2009?=C .
把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类： （1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；
（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知
O
E
P
1
B 1
A 1
C
B
A
100420096100331?=+?+k ，
所以
110033*********-?-?=k
200410052006123200910052006-?=-?+-?=， 即
3356713343351003=-?=k .
从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为
33667533567110031=++.
9. 解法一： ,23)(2
c bx ax x f ++='由 ????
?
??++='++='='c
b a f
c b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得
)2
1
(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.
所以
)2
1
(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=
)2
1
(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，
所以3
8≤a . 又易知当m x x x x f ++-=
2
3
43
8)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值
为
3
8.
解法二：c bx ax x f ++='23)(2
. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .
设 12-=x z ，则11,2
1≤≤-+=
z z x . 14
32
2343)21(
)(2
++++
++
=
+=c b a z b
a z a z g z h .
容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，
22
)
()(0≤-+≤
z h z h ， 即
214
34302
≤++++
≤
c b a z a ，
从而
014
3≥+++c b a ,
24
32
≤z
a ，由 102
≤≤z
知3
8≤a .
又易知当m x x x x f ++-=2
3
43
8)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为3
8.
10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2
,222
102
10y y y x x x +==+=
，
1
221
22
121
21236
6
6
y y y y
y
y y x x y y k AB =
+=
-
-=
--=
.
线段AB 的垂直平分线的方程是
)2(3
00--
=-x y y y . （1）
易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点
C 坐标为)0,5(.
由（1）知直线AB 的方程为)2(30
0-=
-x y y y ，即
2)(3
00+-=
y y y x . （2）
（2）代入x y 62=得12)(2002
+-=y y y y ，即
012222
002=-+-y y y y . （3）
依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以
2
2
2
00044(212)4480y y y ?=--=-+>,
32320<<-y .
2
21221)()(y y x x AB -+-=
2
2120))()3
(
1(y y y -+=
]4))[(91(212
212
0y y y y y -++
=
))122(44)(9
1(2
0202
0--+
=y y y
)12)(9(3
22
02
0y y -+=
.
定点)0,5(C 到线段AB 的距离 2
02
029)
0()25(y y CM h +=
-+-==.
2
02
02
09)12)(9(3
12
1y y y h AB S ABC +?-+=
?=
?
)9)(224)(9(2
13
12
02020y y y +-+=
32
02
02
0)3
92249(213
1y y y ++-++≤ 73
14=
.
当且仅当2
020
2249y y -=+，即0y =,66((
3
3
A B +
-
-或
66
(
(
3
3
A B +
-
-时等号成立.
所以，ABC ?面积的最大值为
73
14.
解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.
设4,,,2
22121222211=+>==t t t t t x t x ，则1
6161
052
12
2
2
121
t t t t S ABC =
?的绝对值, 2
222122
112
))656665(2
1
(t t t t t t S ABC --
+
=?
2
212
21)5()(23+-=t t t t
)5)(5)(24(2
3
212121++-=
t t t t t t
3
)3
14(23≤,
所以73
14≤
?ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42
221=+t t ，即,6
5
71-=
t
6
5
72+-
=t ,66(
(
3
3
A B +
-
或
66
((
33
A B
+-
-时等号成立.
所以，ABC
?面积的最大值是7
3
14
.
11.令2
5
2
)
(3-
+
=x
x
x
f，则0
5
6
)
(2>
+
=
'x
x
f，所以)
(x
f是严格递增的.又
4
3
)
2
1
(
,0
2
)0(>
=
<
-
=f
f，故)
(x
f有唯一实数根
1
(0,)
2
r∈.
所以3
2520
r r
+-=，
3
1
5
2
r
r
-
=4710
r r r r
=++++ .
故数列)
,2,1
(2
3
=
-
=n
n
a
n
是满足题设要求的数列.
若存在两个不同的正整数数列
<
<
<
<
n
a
a
a
2
1
和
<
<
<
<
n
b
b
b
2
1
满足
5
2
3
2
1
3
2
1=
+
+
+
=
+
+
+
b
b
b
a
a
a r
r
r
r
r
r，
去掉上面等式两边相同的项，有
+
+
+
=
+
+
+3
2
1
3
2
1
t
t
t
s
s
s r
r
r
r
r
r，
这里
<
<
<
<
<
<
3
2
1
3
2
1
,t
t
t
s
s
s，所有的
i
s与
j
t都是不同的.
不妨设
1
1
t
s<，则
+
+
=
+
+
<2
1
2
1
1
t
t
s
s
s r
r
r
r
r，
1
1
2
1
1
1
1
1
1
12
1
2
1
1=
-
-
<
-
-
=
+
+
≤
+
+
<-
-
r
r
r
r
r s
t
s
t
，
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.
加试
1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是
边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上
一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求
证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．
2. （40分）设k 是给定的正整数，12
r k =+
．记(1)
()()f
r f r r r =
=????，
()
()l f
r =(1)
(()),2l f f
r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()
()m f
r 为一个整数．这里，x ????表示不
小于实数x 的最小整数，例如：
112??
=????
，11=?
???． 3. （50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤= ，记
12,1,2,,k
k a a a A k n k
+++=
= ．
求证：
1
1
12
n
n
k
k k k n a
A ==--
<
∑∑
．
4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
解 答
1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ． 因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2
2
2
2
P O r K O r =-+-，
同理
(
)(
)22
22
2
Q K Q O r K O r =
-
+-，
所以 2
2
2
2
P O P K Q O Q K -=-
，
故O K ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是
AQ AP QN
PM
=． ①
由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得
1NB DE AQ
BD EA QN
??=， ② 1M C D E A P C D
E A
P M ??=． ③ 由①，②，③可得N B M C B D
C D
=， 所以
N D M D B D
D C
=
，故△DMN ∽ △DCB ，于是D M N D C B ∠=∠，
所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.
注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得
PK K F AK K E ?=?， ④
则P ，E ，F ，A 四点共圆，故
P F E P A E B C E ∠=∠=∠，
从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是
P K P F P E P C ?=?， ⑤
⑤-④，得
2PK PE PC AK KE =?-?=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．
2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()
()m f r 为整数．
下面我们对2()v k v =用数学归纳法． 当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时
()111()1222f r k k k k ?
?????=++=++ ? ????
?????
为整数． 假设命题对1(1)v v -≥成立．
对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式
F
E Q
P
O
N
M
K D
C
B
A
1
2
1222
2
v v v v v k αα++++=+?+?+ ，
这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++ ． 于是 ()111()1222f r k k k k ?
????
?=+
+=++ ? ????????? 2
122
k k k =+++
1
1211
2
12
(1)2()222v v
v v
v v v
ααα-++++=
+++?++?+++
12
k '=+， ①
这里
1
1
21122
(1)2()2
2
v v v v
v v v k ααα-++++'=++?++?+++ .
显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12
r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，
由①知，(1)
()v f
r +是一个整数，这就完成了归纳证明．
3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有1
1
0,0k
n
i
i i i k a
k a n k ==+<
≤<
≤-∑∑
．
注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有
1
1
111k
n
n k i i i i k A A a a n k n ==+??
-=-+
???∑∑
11
1
11n
k
i i i k i a a n k n =+=??
=-- ???∑∑ 1
11
11m ax ,n
k
i i i k i a a n k n =+=????
<-?
? ?????∑∑
111
m ax (),n k k n k n ??
??≤--
?? ?????
1k n
=-
，
故
1
1
1
n
n
n
k
k n
k
k k k a
A n A A ===-
=-∑∑
∑
()
1
1
1
1
n n n
k
n k k k A
A A A --===
-≤
-∑∑
1
11n k k n -=?
?<
- ?
?
?∑12n -=． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数
等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．
设标有a 的边有2i 条，02n i ??
≤≤????，标有b 的边有2j 条，202n i j -??
≤≤
???
?
．选取2i 条边标记a 的有2i n C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j
n i C -种方法，其余的边标记c ．由乘
法原理，此时共有2i
n C 22j n i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
2222220
4n n i i j n n i
i j C C -????
????
??
??
-==?? ?
? ???
∑
∑． ① 这里我们约定0
01C =．
当n 为奇数时，20n i ->，此时
22221
20
2
n i j n i n i j C -??????
---==∑
． ②
代入①式中，得
()()2222222221
2220
00
442
22
n n i n n i j i n i i n i
n n i n
n
i j i i C C C
C
-??
??
??
??????
??
????
??
??
??
----====?? ?
==
? ??
?
∑
∑∑∑
00
2
2
(1)(21)(21)n
n
k n k
k n k
k n
n
n
n
k k C
C
--===
+
-=++-∑∑
31n
=+．
当n 为偶数时，若2
n i <
，则②式仍然成立；若2
n i =
，则正n 边形的所有边都标记a ，此时
只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
2222220
4n n i i j n n i
i j C C -????
????
??
??
-==??
?= ? ???
∑
∑()122210
412n i n i n i C ??
-????
--=?? ?
?+ ?
???
∑
()2221
242
3
3n i
n i n
n i C ??????
--==+=+∑．
综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为偶数时有33n +种．
