刘蒋巍：【新高考新教材】高一数学：《函数的概念与性质》章节复习课(参考答案)

【新高考新教材】高一数学：《函数的概念与性质》章节复习课

主讲人：刘蒋巍

一．知识回顾与热身训练

1.函数的概念

一般地，在一个变化过程中的两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么我们称y 是x 的函数（function ），x 是自变量。 函数的三要素有：自变量的范围（定义域），因变量的范围（值域），对应关系。

例如：函数y =的定义域为__

解析：???≥-≠+0

1,

01x x 解得：1≤x 且1-≠x ，故函数y =的定义域为

{}1 1|-≠≤x and x x

2.函数的三种表示方法

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系， 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系， 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。

3.分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。 说明：

（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；

（2）分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。

譬如：已知???+∞∈+-∞∈+=),0[,12)

0,(,32)(2x x x x x f ，求)0(f 、)]1([-f f 的值

解析：因为?

??+∞∈+-∞∈+=),0[,12)

0,(,32)(2x x x x x f ，所以1)0(=f

1)1(=-f ；所以3)1()]1([==-f f f

解题思路总结：(...)))((f f f 类函数迭代问题，只需“由内到外”逐层计算即可。 例题中的)]1([-f f 还可记作：)1()2(-f

热身训练：

已知函数

2

1,1(),1112,1

x f x x x x x <-??=-≤

，若21)(=x f ，则=x 解析：当11<≤-x 时，]1,0[2∈x ；当1≥x 时，121-≤-x ； 若21)(=

x f ，则2

1

2=x ，22±=x

4.常见的求函数解析式的方法：

待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

（待定系数法）已知)(x f 是一次函数，且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求函数)(x f 的解析式。

解析：设n mx x f +=)(，其中0≠m 。因为172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，

所以，172])1([2])1([3+=+--++x n x m n x m ；化简，得：1725+=++x n m mx

由多项式恒等，得???=+=175,2n m m ，解得：?

??==7,

2n m

所以，函数)(x f 的解析式为：72)(+=x x f

（配凑法或换元法）已知23)12(-=+x x f ，求函数)(x f 的解析式。

解析：解法1（配凑法）：由23)12(-=+x x f 可得：2

7

)12(23)12(-+=+x x f

所以，函数)(x f 的解析式为：27

23)(-=x x f

解法2（换元法）：令12+=x u ，则21-=u x ；则27

232213)(-=--?=u u u f

所以，函数)(x f 的解析式为：2

7

23)(-=x x f

（消去法）已知函数)(x f 满足1

()2()f x f x x -=，求函数)(x f 的解析式。

解析：因为函数)(x f 满足1

()2()f x f x x

-=（*）

用x 1替换x 得：x

x f x f 1

)(2)1(=-（**） （*）式+（**）2?，消)1

(x

f 得：x x x x x f 32)2(31)(2+-=+-=

热身训练：

热身1：已知 2

2

11()11x x f x x --=++，求函数)(x f 的解析式。

解析：令x x x x x u ++

-=+++-=+-=

12

112)1(11（1-≠x ，1-≠u ）， 则=x u u +-11；则=)(u f 2

12u

u +（1-≠u ） 所以，=)(x f 2

12x x

+（1-≠x ）

热身2：已知2211

()f x x x x

+=+，求函数)(x f 的解析式。

解析：2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ，其中),2[]2,(1

+∞?--∞∈+x

x

所以，2)(2-=x x f ，（),2[]2,(+∞?--∞∈x ）

热身3：已知()2()1f x f x x +-=-，求函数)(x f 的解析式。

解析：()2()1f x f x x +-=-（*）

用x -去替代x ，得：1)(2)(--=+-x x f x f （**）

将（**）式2?减去（*）得：3

1

)(--=x x f

5.求值域的5种方法 ①配方法

如果所给出的函数是二次函数或者可化为二次函数的形式，一般可采用配方法进行求解。在求解时要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围。 例如：求函数x y =+12+x 的值域．

解析：由012≥+x ，得：21-≥x ，所以，定义域为),21

[+∞-

解法：12++=x x y 1212122221-++?

++=x x 1)2

221(2

-++=x 因为021≥+

x ，所以222221≥++x ，故2

1

1)2221(2-≥-++x 所以，函数x y =+12+x 的值域为),2

1

[+∞-.

②分离常数法

例如：求1

1

22+-=x x y 的值域。

解析：因为0112

>≥+x 恒成立，所以函数1

122+-=x x y 的定义域为R.

11211211122222<+-=+-+=+-=x x x x x y ；又因为112≥+x ，所以11

212

-≥+-=x y 故，函数1

1

22+-=x x y 的值域为)1,1[-

③换元法 换元法，又称变量替换法。一个复杂的函数，如果将其中某个式子看成一个整体，通过变量替换，就可以化为我们熟知的表达式，这时要注意所代换的表达式的取值范围。

例如 求x x y 21-+=的值域

解析：由021≥-x ，得：21≤x ，即：函数x x y 21-+=的定义域为]2

1

,(-∞

令021≥-=x u ，则2

12

u x -=，

则21212122++-=+-=u u u u y 1)12(212++--=u u 1)1(2

1

2+--=u 1≤ 故，函数x x y 21-+=的值域为]1,(-∞ ④判别式法

例如 求函数y =4

34

322+++-x x x x 的值域．

解析：当1=y 时，434322+-=++x x x x ，解得：0=x

当1≠y 时，函数y =4

34

322+++-x x x x 可化为“044)33()1(2=-+++?-y x y x y ”；

则判别式)44)(1(4)33(2---+=?y y y 22)44()33(--+=y y )7)(17(+--=y y 0≥

解得：77

1

≤≤y 且1≠y

综上，函数y =434322+++-x x x x 的值域为]7,7

1

[

⑤数形结合法

例如 求211++-++=x x x y 的值域.

解析：211++-++=x x x y 表示数轴上坐标为x 的点P 到点)1(-A ，)1(B ，)2(-C 的距离之和。当点P 在点)1(-A 处时，211++-++=x x x y 取得最小值3，故值域为),3[+∞. 热身训练：

热身1：求函数1

22+--=x x x x y 的值域。

解析：对于二次三项式12+-x x ，其判别式034)1(2<-=--=?，故0

12>+-x x 恒成立；所以，函数1

22+--=x x x

x y 的定义域为R.

解法1：因为122+--=x x x x y ，所以11122+--+-=x x x x y 1

1

12

+--=x x ； 又因为43)21(122+-=+-x x x 43≥，所以341102≤+-

1

<≤-y

即：函数122+--=x x x x y 的值域为)1,3

1

[-

解法2：（判别式法）当1=y 时，122+-=-x x x x ，10=无解；

当1≠y 时，我们可以将“1

22+--=x x x

x y ”化为“0)1()1(2=+---y x y x y ，（1≠y ）”，

其判别式为y y y )1(4)1(2---=?]4)1([)1(y y y ---=)13)(1(+--=y y 0≥

解得：131<≤-y ；故，函数122+--=x x x x y 的值域为)1,3

1

[-

解法3：在函数122+--=x x x x y 中，令x x u -=241)21(2--=x 4

1

-≥；

则函数)

1(0122---=+--=u u x x x x y ，可以看作点),(u u A 与点)0,1(-B ，两点连线的斜

率。

考虑临界点)41,41(--A 与点)0,1(-B 连线的斜率为31)41(1)

41(0-=-----；而当x

x u -=2趋于无穷大的时候，点A 与点)0,1(-B 连线的斜率仍然小于1。故，函数

122+--=x x x x y 的值域为)1,3

1[-

热身2：求函数=y (x +1+x -1+2)(21x -+1)，]1,0[∈x 的值域．

解析：x x u -++=11，]1,0[∈x ；]1,0[12∈-x

412222

2

≤-+=≤x u ；所以，22≤≤u ，且2

2

122

-=-u x 则4222≤+≤+u ，422≤≤u ，所以16)2(4222≤?+≤+u u

22)2(2

1

)122)(2(u u u u y +=+-+=]8,22[+∈

故，函数=y (x +1+x -1+2)(21x -+1)，]1,0[∈x 的值域为]8,22[+

热身3：求222222+-+++=x x x x y 的值域.

解析：因为11)1(2222≥++=++x x x ，11)1(2222≥+-=+-x x x ，所以定义域为R.

222222+-+++=x x x x y 2222)10()1()10(])1([-+-+-+--=x x ，表示动点)0,(x P 到点A )1,1(-，B )1,1(的距离之和，作A 点关于x 轴的对称点)1,1(--'A ； 则最短路径长为22)11()11(22=--+--='B A ；故其值域为),22[+∞ 别解：

222222+-+++=x x x x y x x x x 222222-++++=422)22)(22(2x x x x -+++≥

=42224)2(2x x -+4442+=x 22424=≥，当且仅当0=x 时取等号； 故其值域为),22[+∞

6.函数的图像 如果实数a a }记作开区间（a ，+∞），集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间（-∞，a ].

函数的图象，点集{(x ，y )|y =f (x )，x ∈D}称为函数y =f (x )的图象，其中D 为f (x )的定义域．通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ，b >0)；

（1）向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象； （2）向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象； （3）向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象； （4）与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对称；

（5）与函数y =-f (-x )的图象关于原点成中心对称； （6）与函数y =-f (x )的图象关于x 轴对称．

例如：作出下列函数的图像。

（1）22-+=x x y （2）22

-+=x x y

解析：（1）先作出22-+=x x y 的图象，保持该图像x 轴上方部分不动，将该图像x 轴下方部分翻折到上方，就形成了22-+=x x y 的图象。

（2）先作出22-+=x x y 的图像，保持该图像y 轴右侧部分不动，将该图像y 轴

左侧部分擦去，并作该图像y轴右侧部分关于y轴的对称图形，就形成了2

2-

+

=x

x

y的图象。

绘图如下：

（1

）2

2-

+

=x

x

y的图象如下：（2）2

2-

+

=x

x

y的图像如下：

热身训练：

热身1：把函数y=

1

1

+

x

的图象沿x轴向右平移2个单位，再将所得图象关于y轴对称后所得图象的解析式为

1

1

+

-

=

x

y

热身2：k为什么实数时，方程k

x

x=

+

-3

2

2有四个互不相等的实数根。

解析：先画图函数3

2

2+

-

=x

x

y的图象。

作图流程：先画出函数3

2

2+

-

=x

x

y的图象，保持该图像y轴右侧部分不动，将该图像y轴左侧部分擦去，并作该图像y轴右侧部分关于y轴的对称图形，就形成了3

2

2+

-

=x

x

y的图象。

方程k x x =+-322有四个互不相等的实数根，即函数k y =图像与函数322+-=x x y 图像有四个交点。由图像可知：32<

7.函数的单调性

单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1,x 2∈I 并且x 1< x 2，总有

f (x 1)f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间．

（1）所谓函数的单调性是指函数在什么区间上是单调增的，什么区间上是单调减的。单调函数是指函数在整个定义域上是单调增（或减）的。若函数在某区间上具有单调性且在两端有意义，这时单调区间应为闭区间；反之，则为开区间。 （2）设)(x f 在区间1I 和2I 上都分别是单调递增（或递减），且≠?21I I ?，则

)(x f 在21I I ?上也是单调递增（或递减）的。若=?21I I ?，则不一定成立。如

函数x

y 1

=

在),0(+∞和)0,(-∞上均为单调递减的，但在),0()0,(+∞?-∞上不是单调递减的。

（3）设)(x f y =是在区间I 上的单调递增（或递减）函数，且)(x f 的值域为E ，则它在I 上必存在反函数，且反函数在E 上必是单调递增（或递减）函数。

特别地，单调函数必有反函数，且反函数的单调性与原函数是一致的。 （4）关于复合函数))(( ))((x u x f y ??==

①若)(u f y =与)(x u ?=单调性相同，则))(()(x f x F ?=是增函数。 ②若)(u f y =与)(x u ?=单调性相反，则))(()(x f x F ?=为减函数。 （5）设)()(x g x f 、是定义在同一区间上的两个函数。

①若)()(x g x f 、是增函数（或减函数），则)()(x g x f +也必为增函数（或减函数）

②若)()(x g x f 、恒大于0，且)()(x g x f 、都是单调增（或减）的，则)()(x g x f ?也是增函数（或减函数）。

例如：求函数)0(9

)(>+=x x

x x f 的单调区间。

解析：不妨设210x x <<，则021<-x x ，021>x x

所以，2121122121221121)

9)(()99()()9(9)()(x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=-+-=+-+=-

因此，)()(21x f x f -的正负取决于219x x -的正负。 当3021≤<-x x ，则

0)

9)((2

12112>--x x x x x x ，即：

0)()(21>-x f x f

即：)()(21x f x f >，故)(x f 单调递减。

当213x x <<时，则921>x x ，故0921<-x x ，则

0)

9)((2

12112<--x x x x x x ，即：

0)()(21<-x f x f

即：)()(21x f x f <，故)(x f 单调递增。

故，函数)0(9

)(>+=x x

x x f 的单调减区间为]3,0(，单调增区间为),[3+∞

一般化思考：（1）函数x

x x f 9

)(+=单调区间是什么？

（2）函数)0()(>+=b x b

x x f 单调区间是什么？

（3）函数)0,()(>+=b a x b

ax x f 单调区间是什么？

（4）函数)0,,()(>++=c b a c x b

ax x f 单调区间是什么？

（5）函数)0,,,()(>+++=m c b a c m

x b

ax x f 单调区间是什么？

抽象函数单调性：

例如：已知)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且1)2(),()()(=-=f y f x f y

x

f ，如

果x 满足2)31

()(≤--x f x f ，求x 的取值范围。

解析：因为)()()(y f x f y

x

f -=，

所以)4()2()2()4()2()24

()2()2(112f f f f f f f f =+-=+=+=+=

故，不等式“2)3

1

()(≤--x f x f ”可化为“)4()]3([f x x f ≤-?”

因为函数)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，所以4)3(≤-x x 即：0432≤--x x ，亦即：0)1)(4(≤+-x x ，解得：41≤≤-x 又因为)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，

所以，????

???≠>->3

031,0x x x ，解得：3>x

综上，x 的取值范围为{}43|≤

热身训练：

定义在(0,)+∞上的函数()f x ，对于任意的,(0,)m n ∈+∞，都有

()()()f m n f m f n ?=+成立，当1>x 时，0<)(x f .

（Ⅰ）计算(1)f ；

（Ⅱ）证明()f x 在(0,)+∞上是减函数；

（Ⅲ）当1

(2)2

f =-时，求满足2(3)1f x x ->-的变量x 的取值范围.

解析：（Ⅰ）令1==n m ，得：)1()1()1(f f f +=，解得0)1(=f （Ⅱ）不妨设210x x <<，则

11

2

>x x 则0)()()()()()(

)()(1

21112111212<=-+=-?=-x x

f x f x f x x f x f x x x f x f x f 故，0)()(12<-x f x f ，即：)()(12x f x f <， 故()f x 在(0,)+∞上是减函数。

（Ⅲ）因为1(2)2f =-，所以，)4()22()2()2()2

1

(211f f f f =?=+=-+-=-

不等式2(3)1f x x ->-可化为：)4()3(2f x x f >- 由（Ⅱ）得：()f x 在(0,)+∞上是减函数，

所以4302

<-

43,3022

x x x x ，亦即：???<+--<0)1)(4(),3(0x x x x ，

解得：01<<-x 或43<

故，满足2(3)1f x x ->-的变量x 的取值范围为)4,3()0,1(?-

8.函数的奇偶性

奇偶性：设函数)(x f y =的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 是奇函数；若对任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 是偶函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．

（1）奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域。

（2）既为奇函数又为偶函数的函数是存在的，且有无数多个，其函数值均为0，定义域是关于原点对称的区域。

（3）在共同的定义域上，两个偶（奇）函数的和、差仍为偶（奇）函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，两个奇（偶）函数的积为偶函数。 （4）在共同的定义域上，)(x f 与

)

(1

x f 具有相同的奇偶性。 （5）定义域关于原点对称的任何一个函数，都可以表示成一个偶函数和一个奇函数的和。

例如： 判断下列函数的奇偶性：

x x

x x f -+-=11)

1()()1( ?

??<+-≥-=)0( )1()0( )1()( )2(x x x x x x x f 解析：

(1) 由

011≥-+x

x

，即：0)1)(1(≥-+x x 且1≠x ，可得：11<≤-x ，因此定义域{}11|<≤-x x 不关于原点对称。故，)(x f 为非奇非偶函数。

(2) 函数???<+-≥-=)

0( )1()

0( )1()(x x x x x x x f 定义域关于原点对称，且0)0(=f ；

令0>x ，则0<-x ；)()1()](1)[()(x f x x x x x f =-?=-+--=-，故函数)(x f 为偶函数。

热身训练：

热身1：已知函数()y g x =， (1,1)x m m ∈-++为奇函数，则函数4()5f x x mx =++的奇偶性为 ．

解析：因为函数()y g x =， (1,1)x m m ∈-++为奇函数， 所以定义域关于原点对称。即：011=+++-m m ，则有0=m 则5)(4+=x x f ；)(55)()(44x f x x x f =+=+-=- 所以，)(x f 是偶函数。 热身2：若函数()1

x a

f x bx +=-+为区间]1,1[-上的奇函数，则它在这一区间上的最大值是______

解析：因为函数()1

x a

f x bx +=-

+为区间]1,1[-上的奇函数， 所以，0)0(=-=a f ，所以0=a ，所以函数1

)(+-=bx x

x f 又因为)1()1(f f -=-，即：1

1

11+=

+---

b b ，解得：0=b 故，x x f -=)(；则它在这一区间上的最大值是1)1(=-f

抽象函数的奇偶性：

例如：设函数)0 )((≠∈=x R x x f y 且对任意非零实数21,x x 满足

)()()(2121x f x f x x f +=

（1）求证：0)1()1(=-=f f ； （2）求证：)(x f y =为偶函数.

解析：（1）令121==x x ，得：)1()1()1(f f f +=，解得：0)1(=f

再令121-==x x ，即：)1()1()1(-+-=f f f ，解得：0)1(=-f ；因此，

0)1()1(=-=f f

（2）令11-=x ，x x =2，则)()1()(x f f x f +-=-，即：)()(x f x f =-； 故，)(x f y =为偶函数. 热身训练：

热身1：设函数)(x f 定义在R 上，对任意R b a ∈,，有

)()(2)()(b f a f b a f b a f ?=-++，且0)0(≠f ，求证：)(x f 是偶函数.

解析：令0==b a ，则)0(2)0()0(2f f f =+，即：0)0()0(2=-f f ，解得：

1 0)0(or f =，又因为0)0(≠f ，所以1)0(=f

令0=a ，则)()0(2)()(b f f b f b f ?=-+，将1)0(=f 代入化简得：)()(b f b f -=，又因为R b ∈，

由此可知：)()(x f x f -=，即：)(x f 是偶函数。

热身2：设函数)(x f （R x ∈）不恒大于0，且满足)()()(b f a f b a f +=+， 求证：)(x f 是奇函数.

解析：令0==b a 时，)0()0()0(f f f +=，解得0)0(=f ； 令b a -=，得)()()0(a f a f f -+=；即：)()(a f a f --= 由于函数)(x f （R x ∈）不恒大于0，所以)(x f 是奇函数。

9.图像的对称性

对于函数)(x f y =对定义域内一切x ，

（1）若)()(x f x f =-，则函数图像关于y 轴对称； （2）若)()(x f x f -=-，则函数图像关于原点对称；

（3）若)()(x a f a x f -=+或)2()(x a f x f -=（a 为常数），则函数图像关于a x =对称。

（4）)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称；)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称；

)(x f y =与)(x f y --=关于原点对称；)(x f y =与)(y f x =关于x y =对称。

例如：设曲线C 的方程是x x y -=3，将C 沿x 轴，y 轴正方向分别平行移动s t ,长度单位后得到曲线1C （1）写出曲线1C 的方程；

（2）证明：曲线C 与1C 关于点)2

,2(s

t A 对称；

（3）如果曲线C 与1C 有且只有一个公共点，证明：t t s -=4

3

且0≠t

解析：（1）设曲线C 的方程是x x y -=3，将C 沿x 轴正方向平行移动t 个长度单位后得到：)()(3t x t x y ---=，再沿y 轴正方向平行移动s 个长度单位后得到：

s t x t x y +---=)()(3

故，曲线1C 的方程为s t x t x y +---=)()(3.

（2）证明：在曲线C 上任取一点B ),(y x ，点B 关于点)2

,2(s

t A 的对称点，记为

),(111y x B ，

根据题意，得：

221t x x =+，2

21s

y y =+；故，1x t x -=，1y s y -=；将1x t x -=，1y s y -=代入曲线C 的方程，得：)()(1311x t x t y s ---=-；故，s t x t x y +---=)()(1311；

因此，),(111y x B 在曲线1C 上；反过来，曲线1C 上的点关于点A 的对称点也在曲线C 上。

因此，曲线C 与1C 关于点)2

,2(s

t A 对称。

（3）证明：由（2）得：曲线C 与1C 关于点)2

,2(s

t A 对称，又因为曲线C 与1C 有

且只有一个公共点；所以，这个唯一的公共点只能是对称点)2

,2(s

t A 。所以，

)2

()2(23t

t s -=， 即：t t s -=4

3

，且0≠t （若0=t ，则0=s ，曲线1C 的方程为x x y -=3与曲线C 重

合。）

热身训练：

热身1：函数(2)f x +是偶函数，则(1)2f x -+的对称轴为________ 解析：因为函数)2()(+=x f x g 为偶函数，所以)()(x g x g =-；即：

)2()2(+=+-x f x f ；

所以函数)(x f 图像关于直线2=x 对称。而函数(1)2f x -+是将函数)(x f 图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的。（而上下平移不影响对称轴，仅左右平移影响对称轴。）

所以，(1)2f x -+的对称轴为3=x

热身2：已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，满足：（1）图象过原点； （2） )1()1(x f x f +=-； （3）2)()(x x f x g -=是奇函数 解析：（1）因为二次函数c bx ax x f ++=2)(图象过原点， 所以，0)0(=f ，即：0)0(==c f ，故0=c （2）因为0=c ，所以bx ax x f +=2)(，

又因为)1()1(x f x f +=-，所以)1()1(2x b x a -+-)1()1(2x b x a +++= 即：024=+bx ax ，即：a b 2-=

（3）由（1）、（2）得：ax ax x f 2)(2-=

所以，ax x a x ax ax x x f x g 2)1(2)()(2222--=--=-= 又因为2)()(x x f x g -=是奇函数，

所以，0)()(=+-x g x g ，即：02)1(2)()1(22=--++-?-ax x a ax x a 即：0)1(22=-x a 对任意R x ∈成立，故，01=-a ，则1=a 因此，x x x f 2)(2-=

二．典型例题

例题1（定义域与函数的定义）

（定义域）已知函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4 ，则函数y ＝f (x )的定义域为________，

函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为________． 答案：]4,1[-

]

2

3,1[- （多选题）下列各组函数表示不同函数的是（

） A ．2()f x x =，2()()g x x = B ．()1f x =，0()g x x =

C ．2

()f x x =，()||g x x = D ．()1f x x =+，21

()1

x g x x -=-

答案：ABD

例题2（分段函数）

（1）已知函数???<≥+=0 10

, 1)(2x x x x f ，则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范

围是____

解析：因为1)0(=f )(lim 0

x f x →=,所以)(x f 是连续函数。且当0≥x 时，严格单调递

增。

故)2()1(2x f x f >-，能推出2120x x -<≤或???>-≤01,

022

x x ，解得：)12,1(--∈x

（2）对于每个实数x ，设f (x )取y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求f (x )的最大值．

答：??

?

?

?

?

???

≤+<<+≥+-=31,143231,2,32,42)(x x x x x x x f

f (x )的最大值为3

8

)32(=f

例题3（值域）

（1）函数x x x f 3245)(---=的值域是 .

（2）求函数6

3

422-+++=x x x x y 的值域

解析：由0)3)(2(62≠+-=-+x x x x ，得2≠x 且3

-≠x

解法1：（分离参数法）63422-+++=x x x x y )3)(2()3)(1(+-++=x x x x 21-+=x x 2

3

1-+

=x （3-≠x 且2≠x ），所以1≠y 且52≠

y ；即，值域为),1()1,5

2

()52,(+∞??-∞ 解法2：（判别式法）当1=y 时，63422-+=++x x x x ，634-=+x x ，解得：

3-=x

而当3-=x 时，分母062=-+x x ，矛盾！

当1≠y 时，我们可以将“6

3

422-+++=x x x x y ”化为“036)4()1(2=---+-y x y x y ”，

其判别式为0)36)(1(4)4(2≥+-+-=?y y y ，即0)25(2≥-y 当5

2

=

y 时，方程036)4()1(2=---+-y x y x y 可化为“0962=++x x ”，即0)3(2=+x ，3-=x ；而当3-=x 时，分母062=-+x x ，矛盾！

所以1≠y 且52≠y ；即，值域为),1()1,5

2

()52,(+∞??-∞

（3）求函数)(x f =113632424+--+--x x x x x 的最大值.

解析：04

3

43)21(12224>≥+-=+-x x x ；

0)3()2()96()44(136322222424≥-+-=+-++-=+--x x x x x x x x x ， 故函数)(x f 定义域为R. 函数

)(x f =113632424+--+--x x x x x 222222)0()1()2()3(-+---+-=x x x x

在平面直角坐标系中，设点),(2x x P ，点)2,3(A ，点)1,0(B ； 则函数)(x f 的几何意义是：抛物线2x y =上的点),(2x x P 到点)2,3(A ，点)1,0(B 的距离之差。

即：10)12()03()(22=-+-=≤-=AB PB PA x f

故，函数)(x f =113632424+--+--x x x x x 的最大值为10

例题4（奇偶性、单调性）

已知函数f (x )的定义域是R ，对任意x 、y ∈R ，都有f (x +y )＝f (x )+f (y )，且x >0时，f (x )<0,f (1)=2-,则f (x )在[3-,3]上的最大值为 ，最小值为 ． 解析：令0==y x ，则)0()0()0(f f f +=，解得：0)0(=f ；

令x y -=，则有)()()0(x f x f f -+=，即：)()(x f x f -=-；故)(x f 为R 上的奇函数。

任取21x x <，则012>-x x ，又因为x >0时，f (x )<0，

所以，0)()()()()(121212<-=-+=-x f x f x f x f x x f ，即：)()(21x f x f > 所以，)(x f 为R 上的减函数。

所以，f (x )在[3-,3]上的最大值为)3(-f ，最小值为)3(f . 而6)1()1()1()2()1()21()3(=-+-+-=-+-=--=-f f f f f f f

0)3()3()33()0(=+-=+-=f f f f ，所以6)3()3(-=--=f f ；

故，f (x )在[3-,3]上的最大值为6，最小值为6-

例题5（函数图像）

（1）设a R ∈．方程2x a a --=恰有三个不同的根，则a = ． 答案：2.

解：原方程可变形为2x a a -=±，要使方程恰好有三个不同的根，则2a =，此时方程恰好有三个不同的根1232,6,2x x x ===-，所以 2.a =

（2）已知函数2011...212011...21)(-++-+-+++++++=x x x x x x x f （R x ∈），且)1()23(2-=+-a f a a f ，则满足条件所有整数a 的值和是______ 解析：从函数解析式的结构不难发现函数)(x f 具有与函数11)(-++=x x x g 相似的性质。

因为??

?

??>≤≤--<-=-++=1,211,21,211)(x x x x x x x x g ，且)()(x g x g =-，即)(x g 为偶函数。

进行一般化思考，若0>m ，在???

??>≤≤--<-=-++=m x x m x m

m

m x x m x m x x h ,2,2,2)(中，

)()(x h x h =-，

故m x m x x h -++=)(为偶函数。同理，)(x f 也为偶函数。所以，函数)(x f 为偶函数，且在]1,(--∞上单调递减，在]1,1[-上为常函数，在),1[+∞上单调递增； 根据此性质，由)1()23(2-=+-a f a a f 得：1232-=+-a a a 或

?

?

?≤-≤-≤+-≤-111,

12312a a a 即：0342=+-a a 或0122=+-a a 或

22

5

3≤<-a ；又因为a 为整数，所以11=a ，32=a ，23=a .故，满足条件所有整数a 的值和是6.

例题6（抽象函数）

设)(x f 为定义在区间),0(+∞上的增函数，且对于任意的0>x ，

1))(1

()(=+x f x

f x f ，则=)1(f _________

三．链接新高考

单选题

1.已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－1，2] C.[－1，2]

D.[2，5]

答案：C

2.若函数f (x )＝x －1

x 2 在x ∈[1，4]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值是( )

A. 3116

B. 2

C. 94

D. 114 答案：A

多选题

1.已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件可以断定f (x )为增函数的是( )

A. 对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )

B. 对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)

C. 对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0

D. 对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）

x 1－x 2

>0

答案：CD 2.已知函数()3

2

bx f x ax +=+在区间()2,-+∞上单调递增，则a 、b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32

b >

B ．01a <≤，2b =

C ．1a =-，2b =

D ．1

2

a =

，1b = 答案：ABD

填空题

1. 已知函数4

2)(2

++=

x x x x f ，则)(x f 的值域为________