2019-2020学年江苏省南通市通州区高三(上)第一次调研数学试卷试题及答案(解析版)(9月份)

2019-2020学年江苏省南通市通州区高三（上）

第一次调研数学试卷（9月份）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答題卡相应位置 1．己知集合{1A =-，1，2}，{1B =，2，4}，则A B = ．

2．设i 为虚数单位，则复数3(1)i +的实部为 ．

3．某校共有学生2400人，其中高三年级600人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ． 4．若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为 ． 5．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为2-，则输入的x 的值为

6．已知双曲线2

221(0)x y a a -=>的焦距为4，则a 的值为 ．

7．不等式231

22

x x --<的解集为

8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 的中点，则三棱锥11D DEC -的体积为 ．

9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若21a =，3680a a +=，则5S 的值为 ． 10．将函数()sin()4

f x x π

=+

的图象向右平移?个单位，

得到函数()y g x =的图象．则“34

π

?=”是“函数()g x 为偶函数”的 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）

11．已知函数()()x f x ax b e =+，若曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为310x y -+=，

则f （1）的值为 ．

12．设．0x >，0y >，24x y +=，则

(4)(2)

x y xy

++的最小值为 ．

13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的周期函数，当(0x ∈，3]时，()1|1|f x x =--．若函数()log (0a y f x x a =->且1)a ≠在(0,)+∞上有3个互不相同的零点，则实数a 的取值范围是 ．

14．在平面直角坐标系xOy 中，(2,2)P ，(0,4)Q -为两个定点，动点M 在直线1x =-上，动点N 满足2216NO NQ +=，则||PM PN +的最小值为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答題卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥．

（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：PA ⊥平面PCD

16．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量(sin(),1)6

a A π

=+-，向

量(1,cos )b A =，且12

a b =． （1）求角A 的大小；

（2）若4b =，5c =，求sin 2B 的值．

17．设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和2*1

(2),8

n n S a n N =+∈

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设等比数列{}n b 的首项为2，公比为(0)q q >，前n 项和为n T ．若存在正整数m ，使得33m S S T =，求q 的值．

18．（16分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直

线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4

BAN π

∠=

，在A 地

正西方向4km 的点C 处，用测角器测得tan 3BCN ∠=．拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设．预算地下、水下的电缆铺设

费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，(,)42

ππ

θ∈，铺设电缆的总费用为()

f θ万元．

（1）求函数()f θ的解析式；

（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由．

19．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆22

22:1(0)43x y C t t t +=>的左、右顶点为A ，

B ，右焦点为F ．过点A 且斜率为(0)k k >的直线交椭圆

C 于另一点P ．

（1）求椭圆C 的离心率；

（2）若1

2

k =，求22PA PB 的值；

（3）设直线:2l x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．

20．（16分）已知函数2()(1)f x x a x a =++-，()(g x x blnx a =-，)b R ∈ （1）当2b =时，求函数()g x 的单调区间；

（2）设函数(),1

()(),1f x x h x g x x ?=?>?

…若0a b +=，且()0h x …在R 上恒成立，求b 的取值范围；

（3）设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +-…，且()u x 在(0,)+∞上存在零点，求b 的取值范围．

本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分.把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-2：矩阵与变换] 21．已知矩阵23

[]1

M t =的一个特征値为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -．

[选修H ：极坐标与参数方程]

22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，直线l 的极坐标方程是

cos()24

π

ρθ+=．试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．

【必做题】本题满分20分.解答时应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==

，AB =，M ，N 分别是AB ，1CC 的中点，且11A M B C ⊥． （1）求1A A 的长度；

（2）求平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值．

24．己知数列{}n a ．的通项公式

为n n n a =-，*n N ∈记

1

212n n n n n n S C a C a C a =++?+

（1）求12S S 的值；

（2）求证：对任意的正整数n ，21

n n

n S S S +++为定值．

2019-2020学年江苏省南通市通州区高三（上）第一次调研数学

试卷（9月份）

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答題卡相应位置 1．己知集合{1A =-，1，2}，{1B =，2，4}，则A

B = {1，2}

【解答】解：集合{1A =-，1，2}，{1B =，2，4}， {1A

B ∴=，2}．

故答案为：{1，2}．

2．设i 为虚数单位，则复数3(1)i +的实部为 2- ． 【解答】解：32(1)(1)(1)2(1)22i i i i i i +=++=+=-+． ∴复数3(1)i +的实部为2-．

故答案为：2-．

3．某校共有学生2400人，其中高三年级600人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 25 【解答】解：有学生2400人，其中高三年级600人，为了解各年级学生的兴趣爱好情况， 用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则抽样的比例为6001

24004

=， 则高三年级应抽取的学生人数为1

100254

?=， 故答案为：25．

4．若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为

4

． 【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出3名代表参加学校会议，共有3

4

4C =种方法，

甲被选中，共有3种方法， ∴甲被选中的概率是3

4

P =

故答案为：

34

． 5．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为2-，则输入的x 的值

4

【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求22211x x y log x x ?->?

=???…的值，

2y =-，

∴当1x >时，222x -=-，无解；

当1x …时，2log 2x =-，解得：14

x =； 综上，输入的x 的值是：14

． 故答案为：

1

4

． 6．已知双曲线2

221(0)x y a a -=>的焦距为4，则a

【解答】解：由双曲线2

221(0)x y a a -=>，得221c

a =+，

即c =

又焦距为4，∴

4=，得a =

， 又0a >，

a ∴=． 7．不等式2

3

1

22

x

x --<

的解集为 (1,2)- 【解答】解：不等式2

3

1

22

x x --<

，即不等式23122x x ---<，231x x ∴--<-，即(1)(2)0x x +-<，

求得12x -<<， 故答案为：(1,2)-．

8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 的中点，则三棱锥11D DEC -的

体积为

3

【解答】解：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 的中点， ∴三棱锥11D DEC -的体积：

111111

1

3D DEC E DD C DD C V V BC S

--==??

11

22232=???? 43

=

． 故答案为：

43

．

9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若21a =，3680a a +=，则5S 的值为 2

． 【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ．21a =，3680a a +=， 11a q ∴=，33380a a q +=，

解得：11

2

a =-，2q =-，

则551

[1(2)]

112

1(2)2

S ---==---． 故答案为：11

2

-

． 10．将函数()sin()4

f x x π

=+

的图象向右平移?个单位，

得到函数()y g x =的图象．则“34

π

?=”是“函数()g x 为偶函数”的 充分不必要 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）

【解答】解：将函数()sin()4

f x x π

=+的图象向右平移?个单位，得到函数

()sin()4

y g x x π

?==+

-的图象．

若函数()g x 为偶函数，则(0)sin()14

g π

?=-=±，4

2

k π

π

?π∴-

=+

，解得34

k π?π=+

． ∴ “34

π

?=

”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要．

11．已知函数()()x f x ax b e =+，若曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为310x y -+=，则f （1）的值为 3e

【解答】解：由题得(0)f b =，将(0，(0))f 代入切线的1b = 因为()()x f x a ax b e '=++，所以(0)3f a b '=+=，所以2a = 则f （1）()3a b e e =+= 故答案为：3e ．

12．设．0x >，0y >，24x y +=，则(4)(2)

x y xy

++的最小值为 9

【解答】解：24x y +=，0x >，0y >

，24x y ∴+=…，(2x =，1y =时取等）

∴11

2

xy …， ∴

(4)(2)2(2)816

1189x y xy x y xy xy xy

+++++==++=…．(2x =，1y =时取等）

故答案为：9

13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的周期函数，当(0x ∈，3]时，()1|1|f x x =--．若函数()log (0a y f x x a =->且1)a ≠在(0,)+∞上有3个互不相同的零点，则实数a 的取值范围是 47a <<或

96

a <…． 【解答】解：函数()log (0a y f x x a =->且1)a ≠在(0,)+∞上有3个互不相同的零点， ()y f x ∴=与log a y x =的图象有3个不同的交点， ∴14171a a a log log >???或01

6191a a

a log log <

-??<-?…， 解得：47a <<或

11

96

a <…．

故答案为：47a <<或

1196

a <…．

14．在平面直角坐标系xOy 中，(2,2)P ，(0,4)Q -为两个定点，动点M 在直线1x =-上，动点N 满足2216NO NQ +=，则||PM PN +的最小值为 3 ． 【解答】解：

2216NO NQ +=，N ∴在以OQ 为直径的圆上，

不妨设(4cos 2,4sin )N θθ-，(1,)M m -，

则(3,2)PM m =--，(4cos 4,4sin 2)PN θθ=--， ∴(4cos 7,4sin 4)PM PN m θθ+=-+-，

2222||(4cos 7)(4sin 4)8818[(4)sin 7cos ]PM PN m m m m θθθθ∴+=-++-=-++--

2(4)65)m θ?=-++-，

t =，sin()a θ?-=，则7t …

，11a -剟． 22||168PM PN t at ∴+=++，

令222()168(4)1616f t t at t a a =++=++-，7t …

，11a -剟， ()f t ∴在[7，)+∞上单调递增，

故当7t =时，()f t 取得最小值6556a +，

再令g （a ）6556a =+，11a -剟

， 显然g （a ）在[1-，1]上单调递增，

故1a =-时，g （a ）取得最小值65569-=，

综上，当7t =，1a =-时，2||PM PN +取得最小值9． 故||PM PN +的最小值为3．

故答案为：3．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答題卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．如图，在四棱锥P ABCD

-中，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，

⊥．

OP OC

=，E为PC的中点，PA PD

（1）求证：//

PA平面BDE；

（2）求证：PA⊥平面PCD

【解答】解（1）证明：连接OE，

四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，

O

∴为AC中点，

又E为PC的中点，

∴，

OE PA

//

OE?面BDE，PA?/面BDE，

PA

∴平面BDE．

//

（2）OP OC

=，E为PC的中点，

∴⊥，

OE PC

由（1）知//

OE PA，

∴⊥，

PA PC

又PA PD

⊥，

PC，PD?面PCD，

∴⊥平面PCD．

PA

16．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量(sin(),1)6

a A π

=+-，向

量(1,cos )b A =，且12

a b =． （1）求角A 的大小；

（2）若4b =，5c =，求sin 2B 的值． 【解答】解：

（1）111

sin()cos cos cos cos sin()62262a b A A A A A A A A π

π=+

-=

+-=-=-=，

因为0A π<<，5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，3

A π

=．

（2）由余弦定理可知，2222cos a b c bc A =+-，

所以22245245cos 213

a π

=+-???=，a ∴=

由正弦定理，知

sin sin a b

A B =4sin 3

B =

，所以sin B = b c <，B C ∴<，即B 为锐角，

所以cos B =

sin 22sin cos 2B B B ∴===

． 17．设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和2*1

(2),8

n n S a n N =+∈

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设等比数列{}n b 的首项为2，公比为(0)q q >，前n 项和为n T ．若存在正整数m ，使得33m S S T =，求q 的值．

【解答】解：（1）列{}n a 的各项均为正数，且21(2)8n n S a =+，①当1n =时，2111

(2)8S a =+，

解得12a =．当2n …

时，2111

(2)8

n n S a --=+，②， ①-②整理得11()(4)0n n n n a a a a --+--=，所以14n n a a --=（常数），则14(1)42n a a n n =+-=-（首项符合通项），故42n a n =-． （2）由（1）得：2(422)

22

n n n S n -+=

=，等比数列{}n b 的首项为2，公比为(0)q q >，前n

项和为2(1)

1n n q T q

-=-．

所以3232(1)

2221q T q q q

-==++-，

假设存在正整数m 存在正整数m ，使得33m S S T =， 则

22

9

12q q m

=++由于0q >， 所以

2

9

12m

>，

解得m <

， 由于m 是正整数，所以1m =或2． 当1m =时，整理得27

02

q q +-=，

解得q =，当2m =时，整理得21

08q q +-=，

解得q （负值舍去），

所以q =

和q =． 18．（16分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4

BAN π

∠=

，在A 地

正西方向4km 的点C 处，用测角器测得tan 3BCN ∠=．拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设．预算地下、水下的电缆铺设

费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，(,)42

ππ

θ∈，铺设电缆的总费用为()

f θ万元．

（1）求函数()f θ的解析式；

（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由．

【解答】解：（1）如图所示

过点B 作MN 的垂线，垂足为D ，在Rt BAD ?中，4

BAD π

∠=，则BD AD =．在Rt BCD ?中，

tan 3BD

BCD DC

∠=

=，所以3DB CD =． 由于4AC =，所以143BD BD -=，解得6BD =．由BPN θ∠=，则6sin BP θ=，6

tan DP θ

=，

由6AD BD ==，得到6

6tan AP θ

=-． 所以662cos ()2(6)41212tan sin sin f θθθθθ-=?-

+?=+?

其中(,)42

ππ

θ∈． （2）设2cos ()sin h θθθ-=，(,)42

ππ

θ∈．则222sin (2cos )cos 12cos ()sin sin h θθθθθθθ---'==．

令()0h θ'=，得1cos 2θ=，所以3πθ=．所以(,)43ππθ∈时，()0h θ'<，(,)32ππ

θ∈时，

()0h θ'>，

所以当3π

θ=

时，函数的极小值为()3

h π

=

所以()f θ的最小值为12+此时6AP =-即当点P 选在距离A 地(6km -处

时，铺设费用最少为12+万元．

19．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆22

22:1(0)43x y C t t t +=>的左、右顶点为A ，

B ，右焦点为F ．过点A 且斜率为(0)k k >的直线交椭圆

C 于另一点P ．

（1）求椭圆C 的离心率；

（2）若1

2

k =，求22PA PB 的值；

（3）设直线:2l x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．

【解答】（1）解：椭圆22

22:143x y C t t +=，224a t ∴=，224b t =，22c t =，

又0t >，2a t ∴=，c t =， ∴椭圆C 的离心率12

c e a =

=； （2）解：直线AP 的斜率1

2

k =，且过椭圆C 的左顶点(2,0)A t -， ∴直线AP 的方程为1

(2)2

y x t =

+，代入椭圆C 的方程， 得2220x tx t +-=，解得x t =或2x t =-（舍去）． 将x t =代入1(2)2y x t =+，得32

y t =，

∴点P 的坐标为3

(,)2

t t ，又椭圆C 的右顶点为(2,0)B t ，

∴2222345(2)(0)24PA t t t t =++-=，2222313

(2)(0)24

PB t t t t =-+-=，

∴

2245

13

PA PB =； （3）证明：直线AP 的方程为(2)y k x t =+， 将2x t =代入(2)y k x t =+，得4y kt =，(2,4)Q t kt ∴． E 为线段BQ 的中点，(2,2)E t kt ∴，

焦点F 的坐标为(,0)t ， ∴直线EF 的斜率为2k ．

联立222

(2)3412y k x t x y t

=+??+=?，得22222(34)164(43)0k x k tx k t +++-=． 由于224(43)

34A P k x x k -=+，2A x t =-，

∴22

2(34)34P k t

x k -=

+， 则P 点的坐标为222(34)(34k t k -+，2

12)34kt

k +．

∴直线PF 的斜率为22222

12422342(34)141(2)34kt

k k

k k t k k k +=

=---+． 而直线EF 的斜率为2k ，

若设EFB θ∠=，则有tan tan 2PFB θ∠=，即2PFB EFB ∠=∠． ∴点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．

20．（16分）已知函数2()(1)f x x a x a =++-，()(g x x blnx a =-，)b R ∈ （1）当2b =时，求函数()g x 的单调区间；

（2）设函数(),1()(),1f x x h x g x x ?=?>?

…若0a b +=，且()0h x …在R 上恒成立，求b 的取值范围；

（3）设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +-…，且()u x 在(0,)+∞上存在零点，求b 的取值范围．

【解答】解：（1）当2b =时，()2g x x lnx =-，所以22

()1x g x x x

-'=-=

， 令()0g x '=，得2x =，因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞， 当(0,2)x ∈时，()0g x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(2,)∈+∞． （2）因为0a b +=，所以2(1),1

(),1x b x b x h x x blnx x ?--+=?->?

…，

当1x …时，有2()(1)0h x x b x b =--+…

恒成立， 则有当

1

12

b -…，即3b …

时，()min h x h =（1）20=…恒成立； 当1

12

b -<，即3b <时，2161()()024min b b b h x h --+-==…

，所以33b -<，

综上，3b -…

； 当1x >时，由()0h x x blnx =-…恒成立，即x

b lnx

…恒成立， 设()(1)x

m x x lnx

=

>，则21()()lnx m x lnx -'=

，令()0m x '=，得x e =， 且当(1,)x e ∈时，()0m x '<；当(,)x e ∈+∞时，()0m x '>，

所以()min m x m =（e ）e =，所以b e …，综上所述，b

的取值范围是3b e -． （3）2()u x x ax blnx =++，因为()u x 在(0,)+∞上存在零点，所以20x ax blnx ++=在(0,)

+∞

有解， 即lnx a x b

x =--在(0,)+∞上有解，又因为2a b +-…，即2a b --…，所以2lnx

x b b x

----…在(0,)+∞上有解， 设()t x lnx x =-，则11()1x

t x x x

-'=

-=

，令()0t x '=，得1x =， 且当(0,1)x ∈时，()0t x '>；当(1,)x ∈+∞时，0t '<， 所以()t x t …（1）10=-<，即lnx x <，所以

1lnx

x

<， 因此22x x b x lnx --…，设22()x x F x x lnx -=-，则2(1)(22)

()()x x lnx F x x lnx --+'=-，

同理可证：2

x

lnx <，所以220x lnx -+>，于是()F x 在(0,1)上单调递减，所以()min F x F =（1）1=-，

故1b -…．

本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分.把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-2：矩阵与变换] 21．已知矩阵23

[]1

M t =的一个特征値为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -．

【解答】解：矩阵M 的特征多项式为23

()(2)(1)31

f t t λλλλλ--=

=-----；

因为矩阵M 的一个特征值为4，所以方程()0f λ=有一根为4； 即f （4）2330t =?-=，解得2t =； 所以2321M ??

=????， 设1a b M c d -??=????

， 则12323102201a c b d MM a c b d -++????==????++????， 由23120a c a c +=??+=?，解得141

2

a c ?

=-???

?=??；

由23021b d b d +=??+=?，解得341

2

b d ?=???

?=-??； 所以1

1

344112

2M -??

-??=????-????

． [选修H ：极坐标与参数方程]

22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，直线l 的极坐标方程是

cos()24

π

ρθ+=．试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．

【解答】解：曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=， 转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=， 直线l 的极坐标方程是cos()24

π

ρθ+

=

．转换为直角坐标方程为0x y --=，

所以圆心(1,0)到直线l

的距离21d r ==-

>=， 所以直线与圆相离．

【必做题】本题满分20分.解答时应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==

，AB =，M ，N 分别是AB ，1CC 的中点，且11A M B C ⊥． （1）求1A A 的长度；

（2）求平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值．

【解答】解：（1）在ABC ?中，4AC BC ==

，AB =， 则222AB AC BC =+，90ACB ∴∠=?，

以C 为原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设1AA a =，则(4A ，0，0)，(0B ，4，0)，(0C ，0，0)，1(4A ，0，)a ，1(0B ，4，)a ，(2M ，2，0)，

∴1(2A M =-，2，)a -，1(0B C =，4-，)a -，

11A M B C ⊥，∴21180A M B C a =-+=，

解得a =，1AA ∴

的长为

（2）由（1）知1(0C ，0

，，由N 中1CC 的中点，得(0N ，0

， ∴1(4B A =-，4

，，1(0B N =，4-

，，

设平面1B AN 的法向量(n x =，y ，)z ，

则11

44040n B A x y n B N y ?=-++=??=-=??，取1x =，得(1n =，1-

，，

1(0B C =，4-

，-，(2CM =，2，0)，

设平面1B MC 的法向量(m x =，y ，)z ，

则140220m B C y m CM x y ?=-==??=+=??

，取1x =，得(1m =，1-

，

设平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角为θ， 则||310

cos ||||10

m n m n θ=

=

∴平面1B AN 与平面1B MC

24．己知数列{}n a ．的通项公式

为n n

n a =-，*n N ∈记

1

212n n n n n n S C a C a C a =++?+

（1）求12S S 的值；

（2）求证：对任意的正整数n ，

21

n n

n S S S +++为定值． 【解答】解：（1

）1111S C a ==

-=

，

12

22122272

S C a C a =+=+

-=

， 则12224

27

S S =

； （2）证明：设α=，β=， 则

12221221

22()()()()()

n n n n n n n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C α

βαβαβ

αααβββ=-+-+?+-=++?+-++?+(1)(1)

n n n n

αβ=+-+=-，

由

1

=，

22112]n n n n n n

n S +++++=-=-+--18

3

n n S S +=-， 则2183

n n n S S S +++=为定值．