2013年考研数三真题与答案
2013年考研数三真题及答案解析
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.、
1.当时,用表示比高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )
(A ))()(3
2
x o x o x =? (B ))()()(3
2
x o x o x o =
(C ))()()(2
2
2
x o x o x o =+ (D ))()()(2
2
x o x o x o =+
【详解】由高阶无穷小的定义可知(A )(B )(C )都是正确的,对于(D )可找出反例,例如当时)()(),()(2
3
3
2
x o x x g x o x x x f ===+=,但)()()(x o x g x f =+而不是故应该
选(D ). 2.函数x
x x x x f x
ln )1(1)(+-=
的可去间断点的个数为( )
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】当0ln →x x 时,x x e
x x
x x
ln ~11ln -=-,
1ln ln lim
ln )1(1lim
)(lim 0
==+-=→→→x x x x x x x x x f x x
x x ,所以是函数的可去间断点.
2
1
ln 2ln lim
ln )1(1lim
)(lim 0
1
1
=
=+-=→→→x
x x
x x
x x x x f x x
x x ,所以是函数的可去间断点. ∞=+-=+-=-→-→-→x
x x x x
x x x x f x x x x ln )1(ln lim
ln )1(1lim
)(lim 1
1
1
,所以所以不是函数的可去间断点.
故应该选(C ).
3.设是圆域{}
1|),(2
2
≤+=y x y x D 的第象限的部分,记??-=
k
D k dxdy x y I )(,则( )
(A ) (B ) (C ) (D ) 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
()πππ
πππθθθ
θθθθθ22
1
2211
02
2
2
)1(|cos sin 3
1
)sin (sin 31)cos (sin )(k k k
k k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-
=-=-=-=?????
所以ππ3
2
,32,04231-==
==I I I I ,应该选(B ). 4.设为正项数列,则下列选择项正确的是( ) (A )若1+>n n a a ,则
∑∞
=--1
1
)
1(n n n a 收敛;
(B )若
∑∞
=--11
)
1(n n n a 收敛,则1+>n n a a ;
(C )若
∑∞
=1
n n
a
收敛.则存在常数,使n p
n a n ∞
→lim 存在;
(D )若存在常数,使n p
n a n ∞
→lim 存在,则
∑∞
=1
n n
a
收敛.
【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(D )正确,故应选(D).
此小题的(A )(B )选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(A ),但少一条件0lim =∞
→n n a ,显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,不是必要条件,
选项(B )也不正确,反例自己去构造.
5.设A,B,C均为阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则
(A )矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价. (B )矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价. (C )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价. (D )矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价.
【详解】把矩阵A ,C 列分块如下:()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==,由于AB=C,则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ,得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的
列向量组线性表示.同时由于B 可逆,即1
-=CB A ,同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示,所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价.应该选(B ).
6.矩阵????? ??1111a a b a a 与矩阵???
?
?
??00000002b 相似的充分必要条件是
(A )2,0==b a (B ),为任意常数 (C )0,2==b a (D ),为任意常数
【详解】注意矩阵????? ??00000002b 是对角矩阵,所以矩阵A=????? ??1111a a b a a 与矩阵????
?
??00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.
)22)2((1
1
1
1
22a b b a
a b a
a
A E -++--=---------=-λλλλλλλ
从而可知b a b 2222
=-,即,为任意常数,故选择(B ).
7.设321,,X X X 是随机变量,且)3,5(~),2,0(~),1,0(~2
3221N X N X N X ,
{}22≤≤-=i i X P P ,则
(A )321P P P >> (B )312P P P >> (C )123P P P >> (D )231P P P >> 【详解】若),(~2
σμN X ,则
)1,0(~N X σ
μ
-
1)2(21-Φ=P ,{}1)1(212122222-Φ=?
??
???≤≤-=≤≤-=X P X P P ,
{}())13737)1(3523535222333Φ-???
??Φ=??? ??-Φ--Φ=?
?
????-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ,
=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-??
?
??Φ+.
故选择(A ).
8.设随机变量X 和Y 相互独立,且X 和Y 的概率分布分别为
则{}==+2Y X P ( ) (A )121 (B )81 (C )61 (D )2
1 【
详
解
】
{}{}{}{}6
1
2412411211,30,21,12=++=
-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ,故选择(C ).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
9.设曲线)(x f y =和x x y -=2
在点处有切线,则=??
?
??+∞
→2lim n n nf n . 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f .所以
2)1('22222)
1(221lim 2lim -=-=-+?
+--??? ??
+-+=???
??+∞→∞→f n
n n f n f n n nf n n 10.设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x
=+确定,则
=??)2,1(|x
z
. 【详解】 设
()xy
y z z y x F x -+=)(,,,则
()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ,
当2,1==y x 时,,所以2ln 22|)2,1(-=??x
z
. 11.
=+?
∞+x d x x
1
2
)
1(ln . 【详解】
2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 11111
2
=+=+++-=+-=+∞
+∞+∞+∞+∞
+???
x x dx x x x x x xd x d x x 12.微分方程04
1
=+
'-''y y y 的通解为. 【详解】方程的特征方程为04
1=+-λλr
,两个特征根分别为2121==λλ,所以方程通
解为2
21)(x
e x C C y +=,其中为任意常数.
13.设()
ij a A =是三阶非零矩阵,为其行列式,为元素的代数余子式,且满足
)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ,则=.
【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+T
A A ,其中为A 的伴随矩阵,从而可
知
A A
A A T -===-1
3**,所以可能为或0.
但由结论??
???-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知,0*=+T
A A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只
能为3,所以.1-=A
14.设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ,则()
=X
Xe
E 2. 【详解】
()
=
X Xe E 2dx e
x e dx e
x dx e
xe x x x x
??
?
∞+∞
---
∞+∞
-+--
∞+∞
--
+-=
=2
)2(2
22
)2(2
22
2
2
)22(2221π
π
π
222222
22)(222
2e e X E e dt e dt te e t t =+=???
? ??+=??∞+∞--∞+∞--π. 所以为.
三、解答题
15.(本题满分10分)
当时,x x x 3cos 2cos cos 1-与是等价无穷小,求常数. 【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式. 【详解】当时,)(211cos 22x o x x +-
=,)(21)()2(2
1
12cos 2222x o x x o x x +-=+-=,)(2
9
1)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=,
所
以
)(7))(2
9
1))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+-
-=-,
由于x x x 3cos 2cos cos 1-与是等价无穷小,所以2,7==n a . 16.(本题满分10分) 设D 是由曲线3
x y =
,直线)0(>a 及轴所转成的平面图形,分别是D 绕轴和轴旋转一周
所形成的立体的体积,若y x V V =10,求的值. 【详解】由微元法可知
πππ35
3
202
5
3
a dx x dx y V a a
x ===?
?;
πππ37
3
40
7
6
2)(2a dx x dx x xf V a a
y ===?
?;
由条件y x V V =10,知77=a . 17.(本题满分10分)
设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成,求??D
dxdy x 2. 【详解】
3
416
83
62
2
33
20
22222
1
=+=+=??????????-x
x x x D D D
dy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x . 18.(本题满分10分)
设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为,1000
60Q
P -=(P 是单价,单位:元,Q 是销量,单位:件),已知产销平衡,求: (1)该的边际利润.
(2)当P=50时的边际利润,并解释其经济意义. (3)使得利润最大的定价P . 【详解】
(1)设利润为,则60001000
40)206000(2
--
=+-=Q Q Q PQ y , 边际利润为.500
40'Q y -
= (2)当P=50时,Q=10000,边际利润为20.
经济意义为:当P=50时,销量每增加一个,利润增加20. (3)令,得.4010000
20000
60,20000=-==P Q
19.(本题满分10分)
设函数在上可导,()00=f ,且2)(lim =+∞
→x f x ,证明
(1)存在,使得();1=a f
(2)对(1)中的,存在),0(a ∈ξ,使得a
f 1)('=ξ. 【详解】
证明(1)由于2)(lim =+∞
→x f x ,所以存在,当X x >时,有
2
5)(23<