人教培优易错试卷二次函数辅导专题训练附详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；

（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．

【答案】（1）21248355y x x =

--，顶点D （2，63

5

-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）75

2

【解析】 【分析】

（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b

a

=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；

（3）由S △PAB 1

2

=?PH ?x B ，即可求解． 【详解】

（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b

a

=-

=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=

，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=

x 248

5

-x ﹣3．

当x=2时，y

63

5

=-，即顶点D的坐标为（2，

63

5

-）；

（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±410，即点C坐标为：（410，0）或（﹣410，0）；

②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5222

±，即：点C坐标为（5222

+，0）或（5﹣222，0）；

③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=97

10

，则点C坐标为

（97

10

，0）．

综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222

±，0）或（97

10

，0）；

（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代

入上式，9=5k﹣3，则k

12

5

=，故函数的表达式为：y

12

5

=x﹣3，设点P坐标为（m，

12 5m2

48

5

-m﹣3），则点H坐标为（m，

12

5

m﹣3），S△PAB

1

2

=?PH?x B

5

2

=

（

12

5

-m2+12m）=－6m2+30m=2

575

6()

22

m

--+，当m=

5

2

时，S△PAB取得最大值为：

75

2

．

答：△PAB的面积最大值为75

2

．

【点睛】

本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；

（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ??

???

（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（1

3

，0）． 【解析】 【分析】

（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF

2EH EF

==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-

++），则H （x ﹣2，420x 33

-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】

解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4，

得 40

930a b a b c -+=??++=?

解得a ＝43-

，b ＝83

， ∴抛物线的解析式248

433

y x x =-++； （2）2248416

4(1)3333

=-

++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴D 的横坐标为1，

由（1）可得C （0，4）， ∵B （3，0）， ∴直线BC ：4

y 43

x =-+ ∵DA ＝DB ，

△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，

此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值， ∴此时△DAC 的周长， 当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83

， ∴D （1，

8

3

）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，

∴△ABF ∽△EHF ， ∵AF ：FE ＝2：1，

∴

AB AF

2EH EF ==， ∵AB ＝4， ∴EH ＝2，

设E （x ，248x x 433-

++），则H （x ﹣2，420x 33

-+） ∵EH ∥AB ， ∴y E ＝y H ，

∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2，

y ＝

16

3

或4， ∴E （1，

16

3

）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4） ∴AB ＝4，OC ＝4，

点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4， ∴BN ＝4，

∵△PBN 是等腰三角形， ①BP ＝BC 时，

若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1， ∴P 1（﹣1，0），

若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7， ∴P 2（7，0）；

②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴， △NHB ∽△COB ，

∴4

5

NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445?＝16

5

，

BH ＝

45BC ＝125

， ∴PH ＝BH ＝12

5

， BP ＝

245

， ∴OP ＝BP ﹣OB ＝249355

-=， ∴P 3（﹣

9

5

，0）； ③当PN ＝PB 时，

取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ， ∴△NOB ∽△PKB ，

∴

PB BK

BN OB

= ∴PB ＝83

，

∴OP ＝OB ﹣PB ＝3﹣83＝13

P 4（

1

3

，0） 综上，当△PBN 是等腰三角形时，点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95

，0）或P 4（1

3

，0）． 【点睛】

本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距

离，找到D 点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键

3．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根． （1）求k 的取值范围；

（2）设x 1，x 2是方程两根，且121111

x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k

＝2

． 【解析】 【分析】

（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可. 【详解】

解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1 ∵△≥0 ∴4k +1≥0 ∴k ≥﹣

1

4

； （2）∵x 1，x 2是方程两根， ∴x 1+x 2＝2k +1 x 1x 2＝k 2， 又∵

121111

x x k +=-， ∴12121

1

x x x x k +=?-， 即

2

211

1

k k k +=+ ，

解得：12k k ==

又∵k ≥﹣14

， 即：k

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -

，两根之积等于c

a

”是解题的关键.

4．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”． (1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；

(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；

(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；

(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）假；（2

）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）． 【解析】

分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；

（2）根据“抛物线三角形”定义得到2

2y x =-，由此可得出结论；

（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；

当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到

21

22

b b =

?，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；

（2）由题意得：2

2y x =-，令y =0，得：x

=，∴ S

=1

22

?=12x x ；

（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．

∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半得到：2

1

22

b b =

?，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．

（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．

∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，

∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0），

则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．

∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）． ②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．

∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，

∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．

∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）． 综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．

点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．

5．（10分）（2015?佛山）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x 2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标； （2）小球的落点是A ，求点A 的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P 与点O 、A 得△POA ，求△POA 的面积；

（4）在OA 上方的抛物线上存在一点M （M 与P 不重合），△MOA 的面积等于△POA 的面积．请直接写出点M 的坐标．

【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，

）．

【解析】

试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P 的坐标；

（2）联立两解析式，可求出交点A 的坐标；

（3）作PQ ⊥x 轴于点Q ，AB ⊥x 轴于点B ．根据S △POA =S △POQ +S △梯形PQBA ﹣S △BOA ，代入数值计算即可求解；

（4）过P 作OA 的平行线，交抛物线于点M ，连结OM 、AM ，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的解析式为y=x+b ，将P （2，4）代入，求出直线PM 的解析式为y=x+3．再与抛

物线的解析式联立，得到方程组

，解方程组即可求出点M 的坐标．

试题解析：（1）由题意得，y=﹣x 2+4x=﹣（x ﹣2）2+4， 故二次函数图象的最高点P 的坐标为（2，4）；

（2）联立两解析式可得：，解得：，或．

故可得点A的坐标为（，）；

（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA

=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××

=4+﹣

=；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的解析式为y=x+b，

∵P的坐标为（2，4），

∴4=×2+b，解得b=3，

∴直线PM的解析式为y=x+3．

由，解得，，

∴点M的坐标为（，）．

考点：二次函数的综合题

6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

如图，直线y=1

4

x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=1

4

x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（

28

13

，﹣1）．（3）

定点F的坐标为（2，1）．

【解析】

分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标

特征，即可得出（1-1

2

-

1

2

y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关

于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．

详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），

设抛物线的解析式为y=a （x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a ，解得：a=

14

， ∴抛物线的解析式为

y=

14（x-2）2=1

4

x 2-x+1． （2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：

214

114y x y x x ?

????-+??

＝＝，解得：11114x y ?????＝＝，2241x y ??

?＝＝， ∴点A 的坐标为（1，

1

4

），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．

∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，

1

4

）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ?+??

?+-?＝＝，解得：1312

43

k b ?

-??????＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43

， 当y=-1时，有-

1312x+4

3

=-1，

解得：x=

2813

， ∴点P 的坐标为（

28

13

，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点， ∴n=

14

m 2

-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（1

4

m 2-m+1）+1， 整理得：（1-

12-1

2

y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，

∴00022000

11

10222220230

y x y x y y ?--??

-+??+--??

＝＝＝， ∴00

21x y ???＝＝，

∴定点F 的坐标为（2，1）．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．

7．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．

①求线段PM 的最大值；

②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．

【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=9

4

；②P （2，﹣3）或（22﹣2）． 【解析】 【分析】

（1）根据待定系数法，可得答案；

（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】

（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，

得09303a b c a b c c -+=??++=??=-?

，解得123a b c =??

=-??=-?，

这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得

303k b b +=??

=-?，解得1

3k b =??=-?

， BC 的解析式为y=x ﹣3，

设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+9

4

， 当n=

32时，PM 最大=9

4

； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；

当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，

解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=3+2（不符合题意，舍），n 3

=3-2， n 2﹣2n ﹣3=2-42， P （3-2，2-42）；

综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）． 【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.

8．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；

（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．

【答案】（1）2

23y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；

（3）2213

(03)22

13(03)2

2t t t S t t t t ?-+??=??-??＜＜＜或＞

【解析】

试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；

（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程

2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2

23

y x x =--

的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{

3b c c -+==-，∴2

{3

b c =-=-，∴抛物线解析式为

223y x x =--；

（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），

∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；

（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．

①当点P 在点M 上方时，即0

＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，

∴S=

12

PM×QF=21(3)2t t -+=213

22t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t

＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12

（23t t -）=213

22t t -．

综上所述，S=2213

(03)22

{13 (03)22

t t t t t t t 或-+<<-．

考点：二次函数综合题；分类讨论．

9．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；

（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标； （3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （3

7

-，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）． 【解析】

试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x 的一元二次方程即可得出点A 、B 的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y 值即可得出点C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D 的坐标；

（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，由点C 的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式，令其y=0求出x 值，即可得出点E 的坐标；

（3）根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式，假设存在，设点F （m ，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．

试题解析：（1）当2

23y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，

2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0）．

当2

23y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）． ∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．

（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．

∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）．

设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{4b k b =--+=，解得：7

{3

k b =-=-，∴直线C′D 的解析

式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=3

7

-，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（3

7

-

，0）．

（3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1

{3

a c ==，∴直线AC 的解

析式为y=x+3．

假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，

∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；

②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）

∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；

③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，

∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．

考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．

10．如图，已知抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且D （2，3），tan ∠DBA=1

2

． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C 、A ，求四边形BMCA 面积的最大值；

（3）在（2）中四边形BMCA 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=1

2

x2+

3

2

x﹣2；（2）9；（3）点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣

1）．

【解析】

（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值．

（3）如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF 的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．

考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，由实际问题列函数关系式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的切线性质．