合肥中考数学二次函数的综合热点考点难点

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣1

2

，﹣

9

4

a）；（2）

27327

48

a

a

--；（3）

2≤t＜9

4

．

【解析】

【分析】

（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；

（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；

（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），

∴a+a+b=0，即b=-2a，

∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+1

2

）2-

9

4

a

，

∴抛物线顶点D 的坐标为（-

1

2

，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0）， ∴0=2×1+m ，解得m=-2， ∴y=2x-2，

则2

222y x y ax ax a -??+-?

＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0， ∴（x-1）（ax+2a-2）=0， 解得x=1或x=

2

a

-2， ∴N 点坐标为（

2a

-2，4

a -6），

∵a ＜b ，即a ＜-2a ， ∴a ＜0，

如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，

∵抛物线对称轴为122

a x a =-=-， ∴E （-

1

2

，-3）， ∵M （1，0），N （

2a

-2，4

a -6），

设△DMN 的面积为S ，

∴S=S △DEN +S △DEM =

12

|（ 2a -2）-1|?|-94a -（-3）|=274?3a ?278a ，

（3）当a=-1时，

抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+

12

）2+94，

由

22

2

y x x

y x

?=--+

?

=-

?

，

-x2-x+2=-2x，

解得：x1=2，x2=-1，

∴G（-1，2），

∵点G、H关于原点对称，

∴H（1，-2），

设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，

x2-x-2+t=0，

△=1-4（t-2）=0，

t=9

4

，

当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），

把（1，0）代入y=-2x+t，

t=2，

∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜9

4

．

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

2．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

设每个房间每天的定价增加x 元．求：

（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？

【答案】（1）y=60-10

x

；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房

间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元． 【解析】

试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；

（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；

（3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10

x

），利用配方法化简可求最大值． 试题解析：解：（1）由题意得：

y =60﹣

10

x （2）p =（200+x ）（60﹣

10x ）=﹣

2

110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10

x ） =﹣2

110

x +42x +10800 =﹣

1

10

（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．

此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．

点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．

3．如图，直线y ＝-

1

2

x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；

(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值

及此时点D 的坐标；

(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．

【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34

(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为27

4；此时D(﹣3，﹣15

4

)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】

（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，

14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣1

2

m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．

②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝3

2

x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】

解：(1)在y ＝﹣

1

2

x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，

将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：

36630

4230

a b a b --=??

+-=?， 解得：141

a b ?=?

??=?，

∴抛物线的解析式为：y ＝14

x 2

+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣1

2

m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.

∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣3

2

m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC

＝12DF?AE+1

2?DF?OE ＝1

2

DF?OA ＝

12×(﹣14m 2﹣3

2

m)×6 ＝﹣34m 2﹣9

2m ＝﹣34

(m+3)2+274，

∵a ＝﹣

3

4

＜0， ∴抛物线开口向下，

∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274

， 又∵当m ＝﹣3时，14

m 2+m ﹣3＝﹣154，

∴存在点D(﹣3，﹣

15

4)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274

； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝

3

2

x+9， 由2

3

9

2

13

4

y x y x x ?=+????=+-??，解得60x y =-??=?或821x y =??=?，

此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件， 综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.

4．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线

y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣

2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．

【解析】

试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；

（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．

试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，

∴B（3，0），C（0，3），

把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），

设M（2，t），且C（0，3），

∴MC=，MP=|t+1|，PC=，

∵△CPM为等腰三角形，

∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，

①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；

②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；

③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣

1+2）或（2，﹣1﹣2）；

综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，

设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），

∵0＜x＜3，

∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，

∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），

即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．

考点：二次函数综合题．

5．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”． (1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；

(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；

(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；

(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）假；（2

）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）． 【解析】

分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；

（2）根据“抛物线三角形”定义得到2

2y x =-，由此可得出结论；

（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；

当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到

21

22

b b =

?，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；

（2）由题意得：2

2y x =-，令y =0，得：x

=，∴ S

=

1

22?=12

x x ；

（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．

∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半得到：2

1

22

b b =

?，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．

（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．

∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，

∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0），

则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．

∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）． ②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．

∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，

∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．

∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）． 综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．

点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．

6．如图，（图1，图2），四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在线段BC 上，∠AEF=90°,且EF 交正方形外角平分线CP 于点F ，交BC 的延长线于点N, FN ⊥BC ． （1）若点E 是BC 的中点（如图1），AE 与EF 相等吗？

（2）点E 在BC 间运动时（如图2），设BE=x ，△ECF 的面积为y ． ①求y 与x 的函数关系式；

②当x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值.

【答案】（1）AE=EF ；（2）①y=-12

x 2

+2x （0＜x ＜4)，②当x=2,y 最大值=2. 【解析】 【分析】

（1）在AB 上取一点G ，使AG=EC ，连接GE ，利用ASA ，易证得：△AGE ≌△ECF ，则可证得：AE=EF ；

（2）同（1）可证明AE=EF ，利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ，再表示出EC ，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ，然后整理再根据二次函数求解最值问题． 【详解】

（1）如图，在AB 上取AG=EC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC ，

有∵AG=EC ，∴BG=BE ， 又∵∠B=90°， ∴∠AGE=135°，

又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ， ∴∠ECF=135°，

∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC ， 在△AGE 和△ECF 中，

AGE ECF AG EC

GAE CEF ∠=∠??

=??∠=∠?

, ∴△AGE ≌△ECF ， ∴AE=EF ；

(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ， ∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°， ∴△ABE ≌△ENF ， ∴FN=BE=x ， ∴S △ECF =1

2

(BC-BE)·FN ， 即y=

1

2

x(4-x ）， ∴y=-

12

x 2

+2x （0＜x ＜4)， ②()

()2

22111y x 2x x 4x x 22222

=-

+=--=--+， 当x=2，y 最大值=2. 【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．

7．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C

.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ. ①若点P 的横坐标为1

2

-

，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524

，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】

分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5

4

），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+

7

2

，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：

309330a b a b -+??

++?＝＝，解得：1

2a b -???

＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3． （2）（I ）当点P 的横坐标为-12

时，点Q 的横坐标为7

2，

∴此时点P 的坐标为（-

12，74

），点Q 的坐标为（72，-9

4）．

设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，

将P（-1

2

，

7

4

）、

Q（

7

2

，-

9

4

）代入y=mx+n，得：

17

24

79

24

m n

m n

?

-+

??

?

?+-

??

＝

＝

，解得：

1

5

4

m

n

-

?

?

?

??

＝

＝

，

∴直线PQ的表达式为y=-x+5

4

．

如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+

5

4

），

∴DE=-x2+2x+3-（-x+5

4

）=-x2+3x+

7

4

，

∴S△DPQ=

1

2

DE?（x Q-x P）=-2x2+6x+

7

2

=-2（x-

3

2

）2+8．

∵-2＜0，

∴当x=3

2

时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（

3

2

，

15

4

）．（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，

∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），

利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），

∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，

∴S△DPQ=

1

2

DE?（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．

∵-2＜0，

∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．

∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-

2x 2+6x+

7

2

；（II ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ．

8．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．

②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．

③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．

【答案】①2

65y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点

N 的横坐标为：4或5412+或541

2

． 【解析】 【分析】

①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线

上，所以2

50

505a b an bn n +-=??+-=??=-?

，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：

265y x x =-+-；

②先求出点P 到BC 的高h 为2

sin 45)BP t ?=

-，于是21122(4)2(2)222222

PBE S BE h t t t ?=

?=?-?=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22

③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC 的距离22d =N 作

x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设(

)

2

,65N m m m -+-，则(,0)H m 、

(,5)P m m -，易证△PQN

为等腰直角三角形，即NQ PQ ==4PN =，

Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()

2

5654m m m ---+-=

解得152

m =

，252m =（舍

去），Ⅲ．4NH HP -=，(

)

2

65[(5)]4m m m --+----=

，解得152

m =（舍

去），252

m =． 【详解】

解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上， ∴B （﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，

∴2

50505a b an bn n +-=??+-=??=-?

， ∴1a =-，6b =，

∴抛物线解析式：265y x x =-+-； ②由题意，得，

4PB t =-，2BE t =，

由①知，45OBC ?∠=， ∴点P 到BC 的高h

为sin 45(4)2

BP t ?=-，

∴211(4)2(2)2222

PBE S BE h t t t ?=

?=?-?=-+ 当2t =时，△PBE

的面积最大，最大值为 ③由①知，BC 所在直线为：5y x =-， ∴点A 到直线BC

的距离d =

过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ． 设(

)

2

,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -， 易证△PQN

为等腰直角三角形，即NQ PQ == ∴4PN =， Ⅰ．4NH HP +=， ∴265(5)4m m m -+---= 解得11m =，24m =，

∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴4m =；

Ⅱ．4NH HP +=， ∴(

)

2

5654m m m ---+-=

解得1m =

，2m =

∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，

5m >，

∴m =

， Ⅲ．4NH HP -=，

∴()

2

65[(5)]4m m m --+----=，

解得1m =

，2m =

∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，

0m <，

∴m =

， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或

52+或52

． 【点睛】

本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．

9．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =.如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ?的面积为S (cm 2)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;

(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ??与的面积为()()

2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;

②试探究12S S ?是否存在最大值.若存在，求出12S S ?的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ?取最大值

225

4

. 【解析】 【分析】

（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125

MH CM ==

得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ???+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ?关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】

(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程5

7.5v

= 在B 点相遇得到方程

15

2.5v

= ∴5

=7.515=2.5v

v

???????

解得 23=5

v v ?=

????

∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴

2

/6/3

cm s v cm s ≤＜ ②如下图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ???+=---（N ）矩形 ()

()

515252575102

2

x x ?-?-=---

=15

过M 点做MH ⊥AC ，则125

MH CM ==

∴11

2152

S MH AP x =

?=-+ ∴22S x =

()122152S S x x ?=-+? =2430x x -+ =2

15225444x ?

?--+ ??

?

因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ?取最大值

225

4

. 【点睛】

本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x 表示出S 1和S 2

10．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点3,-3) 和3,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q ，使得1

3

AOC AOQ S S ??=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）213322

y x x =

-；（2）P 点坐标为（3）或（

833,- 4

3）；（3）Q 点坐标（30）或（315） 【解析】 【分析】

（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；

（2）设P 坐标为2133

,2x x x ??- ? ??

?

，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标；

（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可． 【详解】

（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：333

27330

a b a b ?+=-??+=??，

解得：12a =

，33

2

b =-， 则抛物线解析式为2133

22

y x x =

-； （2）当P 在直线AD 上方时，

设P 坐标为2133

,22

x x x ??- ? ???

，则有3AD x =2133322PD x x =-+， 当OCA ADP ??∽时，OC CA AD DP =2331333

x x x =

--+， 整理得：239318236x x x -+=-，即23113240x x -+=， 解得：11353x ±=

，即83

x =或3x =

此时

83

(

3

P ，4)3-；

当OCA PDA ??∽时，OC CA PD AD =

，即23

13333

x x x =

--+， 整理得：23963663x x x -+=-，即253120x x -+=， 解得：5333

x ±=

，即43x =或3（舍去）， 此时(43P ，6)；

当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ??∽； 当P 在直线AD 下方时，同理可得：P 的坐标为43

(3

，10)3-，

综上，P 的坐标为83(

，4)3-或(43，6)或43

(，10)3-或()0,0；

（3）在Rt AOC ?中，3OC =，3AC =，

根据勾股定理得：23OA =，

11

··22

OC AC OA h =， 3

2

h ∴=

， 133

3AOC AOQ S S ??==

， AOQ ∴?边OA 上的高为

9

2

， 过O 作OM OA ⊥，截取9

2

OM =

，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：