集合的性质及其运算

1、研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：

}lg |{x y x ==}0/{>x x ,}lg |{x y y ==}/{R y y ∈,}lg |),{(x y y x =各不相同。元素与集合的关系用“∈或?”，集合与集合的关系用“?，?，?，?，?”

2、任何一个集合是它本身的一个子集，即A ?A 。规定空集是任何集合的子集，即φ?A ，φφ?。如果A ?B ，且B ?A ，则A ＝B 。如果A ?B 且B 中至少有一个元素不在A 中，则A 叫B 的真子集，记作A ?B 。空集是任何非空集合的真子集。

3、含n 个元素的集合A 的子集有2n 个，非空子集有2n －1个，非空真子集有2n

－2个。集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则从A 到B 的映射有m n 个。

4、重要性质：（1）A ∪A ＝A ，A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∪?＝A ， A ∩A C U ＝?，A ∪A C U ＝U

（2）A ∩B ?A ，A ∩B ?B ，A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，（3）U C （A ∩B ）＝（U C A ）∪（U C B ），U C （A ∪B ）＝（U C A ）∩（U C B ）（4）A ∩B ＝A ?A ?B ，A ∪B ＝A ? B ?A 第二讲映射与函数概念、函数的定义域和图象

一、映射、函数的有关概念：

1、映射的定义：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：f ：A →B ，

2、像与原像：如果给定一个集合A 到集合B 的映射，那么，和集合A 中的a 对应的集合B 中的b 叫做a 的像，a 叫做b 的原像。

3、映射f ：A →B 的特征：（1）存在性：集合A 中任一元素在集合B 中都有像，（2）惟一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的像只有一个，（3）方向性：从A 到B 的映射与从B 到A 的映射一般是不一样的（4）集合B 中的元素在集合A 中不一定有原象，若集合B 中元素在集合A 中有原像，原像不一定惟一。

4、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x,y 并且对于x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它对应，那么y 就是x 的函数，x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）函数的集合定义：设A ，B 都是非空的数的集合，f ：x →y 是从A 到B 的映射，那么，从A 到B 的f ：A →B ，叫做A 到B 的函数，y=f(x),其中x ∈A,y ∈B,原像集合A 叫做函数f(x)的定义域，像集合C 叫做函数f(x)的值域。像集合C ?B

5、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。值域可由定义域唯一确定，因此当两个

函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

二、求函数定义域的方法

1、求函数定义域的常用方法有：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等。（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围。（4）复合函数的定义域：如果y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y=f(u),u=g(x)，那么y=f [g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫做中间变量，设f(x)的定

义域是x ∈M,g(x) 的定义域是x ∈N ，求y=f [g(x)]的定义域时，则只需求满足?

??∈∈N x M x g )(的x 的集合。设y=f [g(x)]的定义域为P ，则P ?N 。