四川省宜宾市2020届高三第二次诊断测试文科数学(含答案)

宜宾市普通高中2017级高三第二次诊断测试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合要求的。

1．设i 是虚数单位，则=-+)i 23)(i 32( A ．13

B ．i 5

C ．i 66-

D ．i 512+ 2．已知集合2{2,1,0,1,2},{|60}A B x x x =--=--<，则A B =I A ．{}3,2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1,2--

C ．{}2,1,0,1-

D ．{},1,0,1,2--

3．2019年底，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各省（市、区）在春节期间相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列表述错误的是 A ．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势 B ．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数 C ．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大

D ．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值

4．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条

渐近线方程为4

3

y x =，则双曲线的离心率为

A ．53

B ．4

3

C ．54

D ．32

5．如图，为了估计函数2

y x =的图象与直线1,1x x =-=以及x 轴所围成的图形面积(阴影部分)，在矩形ABCD 中随机产生1000个点，

第3题图

落在阴影部分的样本点数为303个，则阴影部分面积的近似值为 A ．0.698 B ．0.606 C ．0.303

D ．0.151

6．函数π

()cos()2f x x x =-的图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

7．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是

A ．11

B ．10

C ．9

D ．8

8．已知π1

tan()242

θ-=，=θsin

A 310

B 5

C ．35

D ．1

3

9．四棱锥ABCD P -所有棱长都相等，N M ,分别为CD PA ,的中点，下列说法错误的是

A ．MN 与PD 是异面直线

B ．//MN 平面PB

C C ．AC MN //

D ．PB MN ⊥ 10．在ABC ?中，角A 的平分线交边BC 于D ，2,8,4===BD AC AB ，则ABD ?的面积是

A ．15

B ．153

C ．1

D ．3

11．过抛物线y x 122=的焦点F 的直线交抛物线于点,A B ，交抛物线的准线于点C ，若FB AF 3=，

则=BC A.4

B. 34

C. 6

D.8

12．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)2()(=-+x f x f .当[]1,0∈x ，21)(x x f -=，则

A ．)3(log )25

()2(log 23

1f f f >>

B ．)3(log )2(log )25

(23

1f f f >>

C ．)25()3(log )2(log 231f f f >>

D ．)2(log )3(log )25

(3

12f f f >>

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．函数3214

()2333

f x x x x =+++的零点个数为_________.

14．已知m x x x f ++=sin )(为奇函数，则π

()2

f =_________.

第7题图

第5题图

15．在ABC ?中，已知3,2,AB AC P ==是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ?u u u r u u u r

＝_________.

16．已知圆锥的顶点为S ，过母线SA ，SB 的切面切口为正三角形，SA 与圆锥底面所成角为30?，若

SAB ?的面积为43，则该圆锥的侧面积为_________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分. 17．（12分）

流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：

年龄（x ） 2 3 4

5 6 患病人数（y ）

22

22 17

14

10

（1）求y 关于x 的线性回归方程；

（2）计算变量y x ,的相关系数r （计算结果精确到01.0），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若[]1,75.0∈r ，则y x ,相关性很强；若[)75.0,3.0∈r ，则y x ,相关性一般；若[]25.0,0∈r ，则y x ,相关性较弱.） 参考数据：477.530≈

参考公式:x b y a

x n x

y

x n y x x x y y x x b

n

i i

n

i i i n

i i n i i

i

??,)

())((?1

2

2

1

1

2

1

-=--=

---=∑∑∑∑====，相关系数∑∑∑===----=n

i i

n i i

n

i i

i

y y x x y y x x r 1

2

1

2

1

)

()()

)((

18.（12分）

已知数列{}n a 满足

123123252525253

n n n

a a a a ++++=----L （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列11n n a a +??

????

的前n 项和为n T ,求n T .

19．(12分)

将棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -截去三棱锥ACD D -1后

得到如图所示几何体，O 为11C A 的中点.

（1）求证//OB 平面1ACD ； （2）求几何体111D A ACB 的体积.

第19题图

20．(12分)

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(1,0)F -2

.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设O 为坐标原点，T 为直线2x =-上一点，

过F 作TF 的垂线交椭圆于,P Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．

21．（12分）

已知函数2

1()e 2

x f x x x =-

+. 证明： （1）函数()f x 在R 上是单调递增函数；

（2）对任意实数12,x x ，若12()()2f x f x +=，则120x x +<．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22．(10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

在极坐标系Ox 中，曲线C 2

2sin 2sin ρθρθ

- ，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，

设l 与C 交于,A B 两点，AB 中点为M ,AB 的垂直平分线交C 于,E F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程及点M 的直角坐标； （2）求证：MF ME MB MA ?=?.

23．(10分）[选修4-5：不等式选讲]

已知函数321)(+--=x x x f ． （1）求不等式1)(

（2）若存在实数x ，使不等式0)(32<--x f m m 成立，求实数m 的取值范围．

宜宾市普通高中2017级高三第二次诊断试题

(文科数学)参考答案

说明：

一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

D

C

D

A

B

A

B

C

C

A

D

A

二、填空题

13．2 14．π22+ 15．5

2

- 16．83π 三、解答题

17．解：（1）由题意得17,4==y x ···································································· 2分

由公式求得2.3)()

)((?1

2

5

1

-=---=∑∑==n

i i

i i i

x x

y y x x

b

···················································· 4分

8.2942.317??=?+=-=x b y a

8.292.3?+-=x y

··········································································································· 6分

（2）97.030

316108

1032)()()

)((1

2

1

21-≈-=

?-=

----=

∑∑∑===n

i i

n

i i

n

i i

i y y

x x y y

x x r ·········· 9分

0

∴说明y x ,负相关

又[]1,75.0∈r ，说明y x ,相关性很强.

∴可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强 ··································· 12分

18．解：（1）令,325n n n n n

S b a ==-， 当2n ≥时，111333n n n n n b S S --=-=-=，

当1n =时，113

b =，则1253n n n b a ==-， 故35.2n n a += ·

···································· 6分 （2）Q 114411

[](35)[3(1)5]3(35)3(1)5

n n a a n n n n +==-++++++， ·

···························· 8分 111111

[(

)()()]

315325325335353(1)5n T n n ∴=-+-+???+-?+?+?+?+?+++

1662494615)1(318134+=+-

=??????++-=n n

n n ···································································· 12分

19. 解：（1）取AC 中点为1O ，连接11111,,D O D B OO .

Θ正方形1111D C B A 中O 为11C A 的中点, ∴O 为11D B 的中点.

又∵正方体1111D C B A ABCD -中111////BB CC AA ==, ∴111////BB CC OO == . ∴11//BB OO =

. ∴四边形B B OO 11为平行四边形, ∴O B BO 11//=∴O D BO 11//=

. ∴四边形11BOD O 为平行四边形 .∴11//D O BO . 又?BO 平面1ACD ，?11D O 平面1ACD ,

∴//OB 平面1ACD ·············································································· 6分

（2）11111111111D C B C BCB A B A D ABCC D A ACB V V V V ----=

3

20

111111111=

-=--ACD D D C B A ABCD B A D ABCC V V V 341111==--D C B C BCB A V V ,43

42320111=?-=D A ACB V ·············· 12分 20．（1）由已知得：

212

c c a ==，所以2a =. 又2

2

2

a b c =+，解得1b =，所以椭圆的标准方程为：2

2:12x C y +=. ····· 4分

（2）设T 点的坐标为(2,)m -，则直线TF 的斜率0

2(1)TF m k m -=

=----, 当0m ≠时，直线PQ 的斜率1

PQ k m

=

，直线PQ 的方程是1x my =-. 当0m =时，直线PQ 的方程也符合1x my =-的形式.

由22

1,2 1.x y x my ?+=???=-? 得 22(2)210m y my +--=. 其判别式2244(2)0m m ?=++>. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1221222,2

1.

2m y y m y y m ?

+=??+?-?=?+?

121224()22x x m y y m -+=+-=+.

因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =u u u r u u u r

，即1122(,)(2,)x y x m y =---. 所以12212

22,24 2.2m y y m m x x m ?+==??+?-?+==-?+?

解得0m =.

此时四边形OPTQ 的面积11

22222

OPTQ S OT PQ =

=? ··································· 12分 21．解：（1）()e 1x f x x '=-+,()e 1x

f x ''=-,

令()0f x ''>,0x >,函数()f x '单增;

()0f x ''<,0x <,函数()f x ' 单减;

所以min ()(0)20f x f '==> .

故函数()f x 在R 上是单调递增函数； ····················································· 4分 （2）因12()()2f x f x +=02()f =,()f x 在R 上是单调递增函数,不妨设120x x <<, 构造2()()()e e (0)x x g x f x f x x x -=+-=+-<,

()e e 2x x g x x -'=--,()e e 20x x g x -''=+-≥,所以()(0)y g x x '=<单增,

()(0)0g x g ''<=,所以()(0)y g x x =<单减,

因10,x <11112()()()(0)2()()g x f x f x g f x f x =+->==+,有12()()f x f x ->.

由（1）知, ()f x 在R 上是单调递增函数,有12x x ->,即120x x +<. ················· 12分

22．解：（1）22

2

2

:22,+12

x C x y y +==即.:1l y x =-,

联立C l 与的方程得;2340x x -=,解得()410,1,(,)33A B - . 21

(,)33

M ∴-. ··· 5分

（2）由（1）得223MA MB ==

98

=?∴MB MA .

又设AB 的垂直平分线22

,32

:12,

32x EF y ?=-

????=-+?? 代入C 的方程得：23424023t --=，

98

2334=-

=?∴MF ME

MF ME MB MA ?=?∴ ································ 10分

23解：（1）7,

1()12335,317,3x x f x x x x x x x --≥??

=--+=---<

····················································· 2分

当1≥x 时，17<--x 解得1≥x .

当13<<-x 时，153<--x 解得12<<-x . 当3-≤x 时，17<+x 解得6-x .

∴不等式的解集为()(),62,-∞--+∞U .················································································· 5分

（2）∵存在实数x ，不等式0)(32<--x f m m 成立,

∴存在实数x ，不等式)(32x f m m <-成立.

∴存在实数x ，不等式[]max 2)(3x f m m <-成立. ····························································· 7分 又∵??

?

??-≤+<<---≥--=+--=3,713,531,

7321)(x x x x x x x x x f ,

∴4)3()(max =-=f x f . ······································································································· 9分 ∴432<-m m ,解得41<<-m .∴m 的范围是()4,1- ······················································ 10分