奥数知识点图形计数
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巧数图形
例1、数出下图中共有多少条线段。
分析与解:对于基础图形,用最小线段为单位,按序递增。
单拼:3(段),双拼:2(段),三拼:1(段)
通过以上的计数方法可以发现:开小火车的方式解决。
最小线段(基础线段)的数量为火车头
火车头为基础线段数3段:3+2+1=6(段)
或者,线段个数=基础线段数×端点÷2(高阶)
基础线段要求:手拉手,肩并肩
对于相交的线段,分别计算各个方向,然后加总
例2、数出下页左上图中锐角的个数。
分析与解:对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决。
最小线段的数量为火车头。
或者,角的个数=最小角个数×(最小角个数+1)÷2
又,角的个数=射线的个数×(射线个数-1)÷2
例3、下列各图形中,三角形的个数各是多少
分析与解:对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决,最小线段的数量为火车头。
所以,三角形个数=底边线段个数(每个底边基础线段构成一个基础三角形)
或者,三角形的个数=最小三角形个数×(最小三角形个数+1)÷2(高阶)
以上的内容基本是单层规整图形:数线段(数角,数三角形),解决方法:开小火车!
对于多层规整的图形,应该以单层规整图形为基础,运用技术,算出多层规整图形的数量。例4、下列图形中各有多少个三角形
分析与解:方法(1)使用分层计数法:
图(1
)图(2)
上层:4+3+2+1=10(个)上层:4+3+2+1=10(个)
下层: 0(个)中层: 0(个)
上下层:4+3+2+1=10(个)下层: 0(个)
上中层:4+3+2+1=10(个)
中下层: 0(个)
上中下层:4+3+2+1=10
总数:10+0+10=20(个)总数:10+10+10=30(个)
方法(2)公式法:第一层三角形的总数×层数
公式法:第一层三角形的总数×层数
图(1)图(2)
第一层:4+3+2+1=10(个)第一层:4+3+2+1=10(个)
层数: 2(层)层数: 3(层)
总数:10×2=20(个)总数:10×3=30(个)
例5、下列图形中各有多少个三角形
分层法:
上层:4+3+2+1=10(个)
下层: 4(个)(吹泡泡法)
上下层:4+3+2+1=10(个)
总数:10+4+10=24(个)
小TIPS:吹泡泡法
例6、右图中有多少个三角形
例7、右图中有多少个三角形
分析与解:对于不规则的图形,数之前,先将每个图形编号,
编好后,先数单拼三角形1、4、3号,共3个。
再数两个图形合成的(双拼)三角形,1+2号,2+3号,
3+4号,4+1号,按顺序两个两个合并,共4个三角形。
最后数由1+2+3+4号组成的(四拼)大三角形,有1个。
所以3+4+1=8,共8个三角形。
例8、下列各图形中,长方形的个数各是多少
分析与解:对于(单层)基础图形,可以使用开小火车的方式解决。
每个长方形相当于最小线段。所以数单层的基础长方形,
就是数基础线段数。
对于多层的长方形的个数=单层长方形的数量×层数(个)
单层长方形的数量=长边上的线段数(个),层数=宽边上线段的个数(层)
例9、下列图形中,长方形的个数是多少个
分析与解:对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决。
单层长方形的数量=长边线段数=4+3+2+1=10(个),
层数=宽边线段数=3+2+1=6(层)
总数=(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个)
例10、下列图形中,长方形的个数是多少个
分析,先将<格1>与<格2>隐去,剩下的格3,
就是一个多层规整长方形=10×6=60(个)
格1带来的长方形=4(个)(吹泡泡法)
格2带来的长方形=5(个)
总数=60+4+5=69(个)
例11、下列图形中,长方形的个数是多少个
分析与解:了解正方形的构成特点:四边相等。
方法(1)数格子:一格,四格,九格,十六格……
方法(2)开小火车法:最小正方形的个数为“火车头”,后面的“车
厢”中的每个乘数都减-1,直至出现1为止(0乘任何数都等于0)
解:3×3+2×2+1×1=14(个)
例12、下列图形中,正方形的个数是多少个
分析与解:利用开小火车法:
火车头为最小9正方形数量:6×5
正方形个数=6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=70(个)
例13、数下列图形中共有21个三角形,一共需要多少个小棒:
例10、在下图中,包含“*”号的长方形和正方形共有多少个
分析与解:对于不规整的图形,进行分类讨论。
左图中,应先进行分类:正正方形与斜正方形
正正方形=5+5=10(个)
斜正方形= 5(个)
总数=10+5=15(个)
例11、如下图是由小立方体构成的塔,数一数有多少个小立方体
分析与解:数立方体时,先从顶层数起。
公式:本层可见数+上层数
本题:1+(3+1)+(5+4)+(7+9)=30(个)
例12、数一数,下列图形中有多少个长方形
方法(1):小讨厌法:
不包含小讨厌的多层规整图形:10×6=60(个)
小讨厌□1+□2+□12:4+4+4=12,共:60+12=72(个)
*方法(2):重叠法(三年级):
横:10×6=60(个),竖:3×10=30(个)
中(重叠):3×6=18(个),共:60+30-18=72(个)
例13、数一数,第10个图形应该有多少圆圈组成
123 (10)
22+4+22+4+6+4+2……2+4+…+20…+4+2
2818 (200)
例13、数一数,第10个图形应该有多少条线段
……
通过观察可以发现如下的规律:
1234 (10)
1×2+23×2+36×2+410×2+555×2+11 22=432=942=1652=25112=121
例14、数一数,下列图形中包含★长方形有多少个
方法(1)勾对角线法:将★的左上角的点和右下角的点相连:
通过加标字母A、B和a、b、c、d、e、f,帮助我们数图形:
Aa、Ab、Ac、Ad、Ae、Af、
Ba、Bb、Bc、Bd、Be、Bf、
*方法(2)公式法:经过★划十字线,左侧、右侧、上面、下面
焦点数相乘:2×2×1×3=12(个)
例15、数一数,下列图形中有多少条线段有多少个三角形
(1)数线段:分方向:共:6×5+5=35(条)
(2)数三角形:分方向
中间五角星(不用①③③④⑤):共10个三角形。
仅使用①③③④⑤中一条:每一条有4个三角形,共4×5=20(条)
使用①③③④⑤中的两条:共4个三角形。
共:10+20+5=35(个)