流体力学与流体机械习题参考答案上课讲义

高等学校教学用书

流体力学与流体机械

习题参考答案

主讲：陈庆光

中国矿业大学出版社

张景松编.流体力学与流体机械, 徐州：中国矿业大学出版社，2001.6（2005.1重印）

删掉的题目：1-14、2-6、2-9、2-11、2-17、3-10、3-19、4-5、4-13

《流体力学与流体机械之流体力学》

第一章 流体及其物理性质

1-8 1.53m 的容器中装满了油。已知油的重量为12591N 。求油的重度γ和密度ρ。 解：312591

856.5kg/m 9.8 1.5

m V ρ=

==?；38394N/m g γρ== 1-11 面积20.5m A =的平板水平放在厚度10mm h =的油膜上。用 4.8N F =的水平力拉它以0.8m/s U =速度移动（图1-6）。若油的密度3856kg/m ρ=。求油的动力粘度和运动粘度。

解：29.6N/m F A τ=

=，U

h τμ=， 所以，0.12Pa s h

U τμ==g ，42/0.12/856 1.410m /s νμρ-===?

1-12 重量20N G =、面积20.12m A =的平板置于斜面上。其间充满粘度0.65Pa s μ=g 的油液（图1-7）。当油液厚度8mm h =时。问匀速下滑时平板的速度是多少。

解：sin 20 6.84F G N ==o ，57Pa s F

A

τ==g ， 因为U

h

τμ

=，所以570.0080.7m/s 0.65h U τμ?=== 1-13 直径50mm d =的轴颈同心地在50.1mm D =的轴承中转动（图1-8）。间隙中润滑油的粘度0.45Pa s μ=g 。当转速950r/min n =时，求因油膜摩擦而附加的阻力矩M 。

解：将接触面沿圆柱展开，可得接触面的面积为：

20.050.10.016m A dL ππ==??=

接触面上的相对速度为：2 2.49m/s 2260d d n

u πω=== 接触面间的距离为：0.05mm 2D d

δ-==

接触面之间的作用力：358.44N du F A

A dy u

δ

μμ=== 则油膜的附加阻力矩为：8.9N m 2

d

M F

==g 1-14 直径为D 的圆盘水平地放在厚度为h 的油膜上。当驱动圆盘以转速n 旋转时，试证明油的动力粘度μ与驱动力矩M 的关系为：

24

960hM

nD μπ=

证明：26030n n ππω=

=

，30

nr

v r πω== 2dA rdr π=，2215v nr dr dF dA h h μπμ==

，2315nr dr

dM dFr h μπ== /2

2324

15960D nr dr

nD h

M h

μπμπ=

=?

所以：24

960hM nD

μπ=

第二章 流体静力学

2-5 试求潜水员在海面以下50m 处受到的压力。海面上为标准大气压，海水重度39990N/m γ=。

解：55110999050610Pa a P P h γ=+=?+?=?

2-6 开敞容器，盛装21γγ>两种液体，如图2-27所示，求：①在下层液体中任一点的压力；②1和2两测压管中的液面哪个高些？哪个和容器内的液面同高？为什么？

解：①1122a P P h h γλ=++ 其中，1h 为上层液体的深度，2h 为下层液体中任一点距离分界面的距离。

②测压管1的液面高些，与容器的液面同高。

管1中的流体与容器中上层流体为同一种流体，并相互连通，根据等压面的性质，对于同一种流体并连通时，任一水平面为等压面，即管1中的液面与容器内的液面等高。

划交界面的延长线，并与管2相交，根据等压面的定义可知，这是一个等压面：'112p h h γγ==

21γγ>Q '1h h ∴>

2-7 如图2-28所示的双U 形管，用来测定重度比水小的液体的密度。试用液柱高度差来确定位置液体的密度ρ。（管中的水是在标准大气压下，4C o 的纯水）

解：43()a P h h h γγ+-=水 1）

1232()()a P h h h h h γγ+-=+-水 2）

将1）式代入2）式得：

12341234

32

32

)

h h h h h h h h h h h h γγγ-+--+-=

=

--水水（

1234

32

h h h g

h h h γ

ρρ-+--∴=

=

水

2-9 某地大气压为2101325N/m 。求：①绝对压力为2026502N/m 时的相对压力及水柱高度；②相对压力为8m 水柱时的绝对压力；③绝对压力为780662N/m 时的真空度。

解：①2202625101325101325N/m P =-=相，h P γ=水相，所以，10.34m h =

②42810N/m P h γ==?相水，所以，2181325N/m P = ③21013257806623259N/m =-=真空度

2-10 用两个U 行管串联在一起去测量一个贮气罐中的气体的压力，见图2-30所示。已知180cm h =，270cm h =，380cm h =，大气压为1013252N/m ，

53==1.333210N/m γ?汞，气柱重力可略去，求罐内气体的压力等于多少。

解：1P h h γγ=+气汞水，32)a P h h h γγ+=+汞水

（ 所以：312a P h P h h γγγ+=-+汞气汞水

所以： 2132()307637N/m a P P h h h γγ=++-=气汞水

2-11 两根水银测压管与盛有水的封闭容器连接，如图2-31所示。已知160cm h =，

225cm h =，330cm h =，试求下面测压管水银面距自由液面的深度4h 。

解：012a P h P h γγ+=+水汞

043a P h P h γγ+=+水汞

所以：02143a P h h h P h γγγγ+-+=+汞水水汞 所以：321

4()128cm h h h h γγγ-+=

=汞水水

2-12 封闭容器内盛有油和水，如图2-32所示。油层厚130cm h =，油的重度

3=8370N/m γ油，另已知250cm h =，40cm h =，试求油面上的表压力。

解：01212)P h h h h h γγγ++=+-油水汞

（，2045709N/m P ∴= 2-14 如图2-34所示，欲使活塞产生7848N F =的推力，活塞左侧需引入多高压力1p 的油？已知活塞直径110cm d =，活塞杆直径23cm d =，活塞和活塞杆的总摩擦力等于活塞总推力的10%，活塞右侧的表压力4229.8110N/m p =?.

解：222

11212[()](110%)7848N 44

P d P d d π

π

?

-?

-?+=，解得：5219.9810N/m P =?

2-16 如图2-36所示，无盖水箱盛水深度1m h =，水箱宽度 1.5m b =，高 1.2m H =，若3m l =，试求：①水箱的水保持不致溢出时的加速度a ；②以此加速度运动时，水箱后板壁所受的总压力。

解：①'

()/2blh h H bl =+，'

0.8m h ∴=，'

0.13a H h g l

-=

=，21.31m/s a ∴=

②由压力分布公式可得：0()p p ay gz ρ=-+

在水箱后壁板，2

l

y =-；将其带入上式并对水箱后壁板进行积分：

0022020000()2

(2)2{()[()]}

2(2)222()(2)

22

[()]

2

[]

2

A A A H h h l

P pdA p dA a gz dA

p A al gz bdz

b p A al H h h g H h h b

p A bHal H Hh H h p A A gl A H h l H

A p H h h H

A p ρρ

ρ

ργργ

γγ--==--+=+-=+-----=+---=+--=+--+=+????

两边的大气压正好相抵，即：10584N 2

c H

P p A A γ

=== 2-17 贮水小车沿倾角为α的轨道向下做等加速运动，设加速度为a ，如图2-37所示。求水车内水面的倾角θ。

解：在自由液面上建立直角坐标系，以水平方向为x 轴，向右为正向，竖直方向为y 轴，向上为正向。

作用在液体上的单位质量力为： cos X a α= sin Y g a α=-+

0Z =

根据压强差平均微分方程式：d (d d d )p X x Y y Z z ρ=++

在液面上为大气压强，d 0p =，代入压强差平均微分方程式，可得： cos d d sin d 0a x g y a y αα-+=，

d cos tan d sin y a x a g

αθα∴

=-=-

cos arctan

sin a g a α

θα

∴=-

2-18 尺寸为b c l ??的飞机汽油箱如图2-38所示，其中所装的汽油为邮箱油量的三分之一。试确定下面两种情况下飞机作水平等加速飞行时的加速度a 各是多少？

解：①'

/3/2blc h cl =，所以，'

2/3h b =，'23a h b

g c c

∴==，得：

221

3.27m/s 33

b a g g

c ∴=

== ②'/3(/2)/2blc c c lb =+，所以，'/6c c =，'3 1.5/2a b b

g c c c

∴

===-，21.514.7m/s a g ∴==

2-19 在一直径300mm d =，高度500mm H =的圆柱形容器中，注水至高度

1300mm h =，使容器绕垂直轴作等角速度旋转，如图2-39所示。

①试确定使水之自由液面正好达到容器边缘时的转速1n 。

②求抛物面顶端碰到容器底时的转速2n ，若此时容器停止旋转，水面高度2h 将为若干？

解：①2211

()2

r h r H h ππ=-，所以，12()400mm h H h =-=

22

2r z h g

ω=

=，所以，18.66rad/s ω=

=，得30178.3r/min n ωπ

==

②22

2r z H g

ω=

=，所以，20.87rad/s ω=

=，得30199.3r/min n ω

π

== 容器中剩余水的体积为：

222212r H r H r h πππ-=，所以，21

2

h H =，所以，2250mm h =

第三章 流体运动学

3-9 直径 1.2m D =的水箱通过30mm d =的小孔泄流。今测得水箱的液面在1s 内下降了0.8mm 。求泄流量Q 和小孔处的平均速度v 。

解：22311

1.20.8100.9L/s 44Q D h ππ-==???=，

因为：21

4

Q d v π=，所以， 1.27m/s v =

3-10 密度3840kg/m ρ=的重油沿150mm d =的输油管流动。当质量流量

50kg/h m Q =时，求体积流量Q 和平均速度v 。

解：235.9510m /h m

Q Q ρ-=

=?，因为：21

4

Q d v π=，所以， 3.367m/h v = 3-11 大管1150mm d =和小管2100mm d =之间用一变径接头连接。若小管中的速度23m/s v =，求流量Q 和大管中的平均速度1v 。

解：232210.024m /s 4Q d v π==，2111

4

Q d v π=，所以，1 1.33m/s v =。

3-12 已知某不可压缩平面流动中，34x u x y =+。y u 应满足什么条件才能使流动连续？

解：要使流动连续，应当满足0y x u u x y ??+=??，3y x

u u x y

??=-=??， 所以，3()y u y f x =-+

3-14 二元流动的速度分布为x u tx =；y u ty =-。则 （1）求势函数和流函数；

（2）当1t =时，作出通过点（1，1）的流线。

解：（1）由连续性方程可知0y

x u u t t x y

??+=-=??，满足连续条件，流函数存在。 由流函数的定义可知：

x u tx y ψ?==?，y u ty x

ψ?=-=? 0y x d dx dy u dx u dy tydx txdy x y

ψψ

ψ??=

+=-+=+=?? 所以，2txy c ψ==

由无旋条件知：1()02y

x z u u y x

ω??=-=??，满足无旋条件，势函数存在。 由势函数的定义可知：

x u tx x

?

?==?，y u ty y ??==-? x y d dx dy u dx u dy txdx tydy x y

??

ψ??=

+=+=-?? 所以，22

22

t t x y c ?=

-+ （2）流函数0x y u dy u dx -=，积分得：2txy c =

因为，1t =时，通过（1,1）点，所以，2c =，此时的流线方程为1xy = 3-15 判断下列流动是否满足不可压缩流动的连续性条件。若满足，求出流函数。 （1）x u ax b =+；y u ay c =-+（a ，b ，c 均为常数）； （2）x u xy =；y u xy =-； （3）22x u y x =+；22y u x y =-； （4）22x ay u x y =-

+；22

x ax

u x y

=+。 解：（1）

x

u a x

?=?，y u a y ?=-?，0y x u u x y ??+=??，满足连续条件。 y u ay c x

ψ

?=-=-?，x u ax b y ψ?==+?，所以，2axy by cx A ψ=+-=，A 为常数。

（2）x

u y x

?=?，y u x y ?=-?，0y x u u x y ??+≠??，不满足连续条件。 （3）

2x

u x

?=?，2y u y ?=-?，0y x u u x y ??+=??，满足连续条件。 22x u y x y ψ?==+?，22y u x y x ψ?=-=-+?，所以，3311

233

y xy x c ψ=+-=，c 为常数。

（4）

222

2()

x u axy

x x y ?=?+，2222()y u axy y x y ?=-?+，0y x u u x y ??+=??，满足连续条件。

22x ay u y x y ψ?==-?+，22

y ax u x x y

ψ?=-=-?+，所以，22

ln()a x y c ψ=-+=，c 为常数。

3-16 在3-15题中，哪些流动是无旋的，求其势函数。

解：（1）0x

u y ?=?，0y u x

?=?，y x u u y x ??∴=??，所以，无旋。

x u ax b x ??==+?，y u ay c y ??==-+?，2211

22

ax bx ay cy A ?∴=+-++，A 为常数。

（2）x

u x y ?=?，y u x x

?=-?，y x u u y x ??∴≠??，所以，有旋。 （3）

2x

u y y ?=?，2y u x x

?=?，y x u u y x ??∴≠??，所以，有旋。

（4）22222()()x u a x y y x y ?-=-?+，22222()

()y u a x y x x y ?-=-?+，y x u u y x

??∴=??，所以，无旋。

22x ay u x x y ??==-?+，22y ax u y x y ??==?+，arctan arctan y x a a c x y

?∴=-+，c 为常数。

3-19 不可压缩流动的流函数35xy x y ψ=+-，求其势函数。 解：

5x u x y ψ?==-?，3y u y x

ψ?=-=+?，

所以，

5x u x x ??==-?，3y u y y ??==--?2211

5322

x x y y c ?∴=---+，c 为常数。 第四章 流体动力学基础

4-3 用图4-32所示的测压管测定水管中的点速，测压计中工作液的密度

3800kg/m g ρ=。当读数0.5m h ?=，10.4m h =，20.2m h =时，求A 、B 两点的

流速A u 、B u 。

解：计算A 点流速：

A 点的全压对应的高度为1x h h +，静压对应的高度为2x h h +，

则A 点的动压为2122A

u h h g

=-，122() 1.98m/s A u g h h =-= 计算B 点流速：

因A 、B 在同一过流断面上，测压管水头相同，A

B

A B p p z z γ

γ

+

=+

，但流速

不同，由速度形成的压差是

()

g h γγγ

??-

22

()0.122g A B

h u u g g γγγ

??-∴-==， 1.4m/s B u = 4-4 如图4-33利用一变截面管中水流产生的压力差，通过活塞操纵气体控制器。已知115mm d =，210mm d =，1 4.5m/s v =，管段水平放置，活塞直径20mm D =。忽略损失及活塞杆直径，求活塞受到之压力。

解：22

11221144

d v d v ππ=，210.125m/s v ∴=

根据伯努利方程：22

1

122

22P v P v g g

γγ+=+，1241132.8Pa P P ∴-=

所以：212()

12.92N 4

F P P D π

=-=

4-5 如图4-34一垂直向上流动的水流，设流束截面保持圆形。已知喷嘴直径

125mm d =，喷嘴出口流速112m/s v =。问在高于喷嘴4m 处，水流的直径为多少？

忽略损失。

解：对截面1-1和2-2列伯努利方程：22

12

22v v h g g

=+，28.1m/s v ∴= 22

11224

4

d v d v π

π

=

，230.43mm d ∴=

4-6 如图4-35水沿渐缩管道垂直向上流动。已知130cm d =，220cm d =，表压力

2119.6N/cm p =，229.81N/cm p =，2m h =。若不计摩擦损失，试计算其流量。