解初中数学填空题的常用方法

解初中数学填空题的常用方法

黄浦区教师进修学院李建国

2008年中考数学试题的题量发生了一些变化，选择题由原来的4题改为6题，每题4分,共24分占到试卷总分的16﹪，填空题仍为12题，但每题从3分改为4分，共计48分占到试卷总分的32﹪。数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是中考数学中的三种常考题型之一。它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。

填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学中考命题重要的组成部分，它约占了整张试卷的三分之一。因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.

解答填空题的基本策略是准确、迅速、整洁。准确是解答填空题的先决条件，填空题不设中间分，一步失误，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于填空题的答题时间，应该控制在不超过20分钟左右，速度越快越好，要避免“超时失分”现象的发生；整洁是保住得分的充分条件，只有把正确的答案整洁的书写在答题纸上才能保证阅卷教师正确的批改，在网上阅卷时整洁显得尤为重要。中考中的数学填空题一般是容易题或中档题，数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。

一、直接法

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，熟练应用解方程和解不等式的方法，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。

N

M

B

A 例1、如果1P 、2P 是线段A

B 的两个黄金分割点,且121=P P ,则AB =_________. 解：设AB ＝x, 则x －2（1

）x=1,解得x

2，所以AB

2. 例2、函数()x

x x f +-=

11的定义域是___________________.

解：由函数成立的条件得

10100

x x ?-≥?

+≥?≠解得－1＜x ≤1,所以定义域为－1＜x ≤1的一切实数.

例3、如图,现有线段3,2==MN AB ,若在线段MN 上随机取一点P ,恰能使线段AB 、MP 、

NP 组成一个三角形三边的概率是____________.

解：设MP ＝x ，则NP ＝3－x ，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得

2323x x x ??

+?

＋x －（－），解得12＜x ＜52，直接得出P 点在线段MN 大于12和小于5

2之间，占线段MN ＝3的23，所以恰能使线段AB 、MP 、NP 组成一个三角形三边的概率为2

3

.

例4、（扑克牌游戏）小明背对小亮按下列四个步骤操作：

第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；

第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。 这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张 数是 .

解：不妨设分发左、中、右三堆牌均为a 张，且a>2，经过第二、三步后，左堆牌为（a-2）张，中间一堆牌有（a+3）张，操作第四步，则中间一堆剩下的张数为（a+3）-(a-2)=5.

二、特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，

图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。

例5、填空题：已知a ＜0，那么，点P （－a 2

－2，2－a ）关于x 轴的对称点是在第_______象限． 解：设a ＝－1，则P {－3，3}关于x 轴的对称点是 {－3，－3}在第三象限，所以点P （－a 2

－2，2－a ）关于x 轴的对称点是在第三象限．

例6、无论m 为任何实数，二次函数y ＝x

2＋（2－m ）x ＋m 的图像都经过的点是 . 解：因为m 可以为任何实数,所以不妨设m ＝2，则y ＝x 2

＋2，再设m ＝0，则y ＝x

2

＋2x 解方程组

y x 2y x 2x

?????2

2

＝＋＝＋解得x 1y 3???＝＝ 所以二次函数y ＝x

2＋（2－m ）x ＋m 的图像都经过的点是（1，3）.

三、数形结合法

“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到“形帮数”的目的；同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到“数促形”的目的。对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例7、 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______。

解：四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，可设它们的边长分别为a 、b 、c 、d ，由直角三角

形全等可得2222221

23a b b c c d ?+=?+=??+=?

，解得2222

4a b c d +++= ，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝4.

例8、如图，由10块相同的长方形地砖拼成的一块 长方形地面图案（地砖间隙不计），如果图案的宽为75 cm ，那么图案的长为 cm ．

解：设小长方形是宽为x cm ，长为y cm ，由图可得y 3275x x y ??+=?

＝，解得1545x y =??=?，则图案的长为2y

＝90cm.

四、等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

例9、若βα、是方程0532=--x x 的两个根，则

ββα3222-+的值是 . 解：这里的ββα322

2-+不是关于根的对称式，不能直接用韦达定理求解，但利用方程根的概念，将22βα、降次，转化为两根的对称式，就可以使问题迎刃而解.因为0532=--αα，

0532=--ββ，所以535322+=+=ββαα，，

从而2415)(33)53(253322

2=++=-+++=-+βαββαββα.

例10、如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，

AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ．

解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，

所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，

所以 1

2

FN MN AB ==． 因此 11

22

FC FN NC AB AC =+=+=9．

例11、如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是

（结果可用根号表示）

解：把小阴影部分的图形向上平移，组合成阴影部分的一个矩形，它

75cm

2=

例12、如图6，在Rt ABC △中，E 为斜边AB 上一点，21AE EB ==，，四边形DEFC 为正方形，则阴影部分的面积为 ．

解：

将直角三角形EFB 绕E 点，按逆时针方向旋转90

，因为CDEF 是正方形，所以EF 和ED 重合，B 点落在CD 上，阴影部分的面积转化为直角三角形ABE 的面积，因为21AE EB ==，，所以阴影部分的面积为1

2112

??=.

由以上的例子我们可以看到数学思想方法是处理数学填空题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂，它能够帮助我们从多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。因此，我们首先要对初中数学知识和技能做到“透彻理解，牢固掌握，融会贯通”进而领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，来提高思维水平，运用数学思想方法达到“举一反三，熟练运用，提升素养”的目的。

E

图

6