数学实验概率论与数理统计分册习题1

数学实验

概率论与数理统计分册习题

第1章古典概率

2．碰运气能否通过英语四级考试

大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种综合考试,具有一定难度。这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、写作等。除写作占15分外,其余85道为单项选择题,每道题附有A、B、C、D 四个选项。这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?

解：假设学生作文得满分，即15分，85道选择题每道题都靠蒙，即每道题做对的概率为1/4，得60分则通过考试。

则该同学通过考试的概率为：

P=

4540 45

85

13

44

C

????

? ?

????

>> nchoosek(85,40)*(1/4)^45*(3/4)^40

ans =

2.3448e-008

即：8

2.344810-

?

由此可见，即使该同学作文满分，靠运气通过考试的概率也是如此的低，所以可以认为靠运气不能通过英语四级考试。

3.在区域H＝{(x，y)| (x，y)∈Q，x2+y2≤1}，Q＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}上考虑计算二重积分（利用Monte-carlo法）：

??

++

=

H

dxdy

y

x

y

x

I

)

sin(

解：积分区域如右图所示：

>> n = 10000; % 模拟次数

x = rand(n,1); % 点的x坐标

y = rand(n,1); % 点的y坐标

m = sum(sin(x+y)./(x+y) & x.^2 + y.^2 <= 1); Vn = m/n % 落到所求面积内的点的频率，即概率的模拟值

Vn =

0.7891

第2章 随机变量及其分布

4．公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会在0.01以下的标准来设计的。根据统计资料，成年男子的身高X 服从均值为168厘米，方差为7厘米的正态分布，那么车门的高度应该至少设计为多少厘米？ 解：

>> norminv(0.99, 168, 7) ans =

184.2844

则车门的高度应该至少设计为184.3厘米

5．某研究中心有同类型仪器300台，各仪器工作相互独立，而且发生故障的概率均为0.01，通常一台仪器的故障由一人即可排除。试问：（1）为保证当仪器发生故障时，不能及时排除的概率小于0.01，至少要配多少个维修工人？（2）若一人包修20台仪器，仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少？（3）若由3人共同负责维修80台仪器，仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少？

解： （1） 设X 表示300台仪器中发生故障的台数，则X :B （300，0.01），设b 为需要配备的维修工人数，则应有P{X > b}≤0.01，即

{}{}k 300k

300P X b 1P X b 1C 0.010.99k ->=-≤=-?，由于n=300较大，p=0.01较

小，根据泊松定理，可以用λ=np=3的泊松分布近似计算。用Matlab 计算：

>> poissinv(0.99,3)

ans =

8

所以为达到要求至少需配备8名维修工人。

（2）设Y 表示20台仪器中发生故障的台数，则Y ~B （20，0.01）。若在同一时刻发生故障的仪器数Y≥2，则一个工人不能维修，此概率

为{}{}{}201

1920p1P Y 21P Y 0P Y 110.990.010.99C =≥=-=-==--??，用

Matlab 计算：

>> 1-0.99^20-nchoosek(20,1)*0.01*0.99^19

ans =

0.0169

则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0169。

（3）设Z 表示80台仪器中发生故障的台数，则Z~B （80，0.01）。若在同一时刻发生故障的仪器数Z≥4，则由三个工人共同负责保修时不能及时维修，此概率为

{}

{}{}{}{}

8017922783

377

808080p2P Z 41P Z 0P Z 1P Z 2P Z 310.990.010.990.010.990.010.99C C C =≥=-=-=-=-==--??-??-??

用Matlab 计算： >>

1-0.99^80-nchoosek(80,1)*0.01*0.99^79-nchoosek(80,2)*0.01^2*0.99^78-nchoosek(80,3)*0.01^3*0.99^77

ans =

0.0087

则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0087。

6.某糖果生产厂将产品包装成500克一袋出售，在众多因素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量，设其服从正态分布N(m ，b 2)，其中b 已知，m 可以在包装时调整，出厂检验时精确地称量每袋重量，多余500克的仍按500克一袋出售，因而厂家吃亏；不足500克的降价处理，或打开封口返工，或直接报废，这样厂方损失更大，问如何调整m 的值使得厂方损失最小？ 解：假设b=1 【实验方案】

1．设定x 为产品包装后的重量，依题意x 为一随机变量，且服从正态分布N(m ，b 2)，概率密度函数为：

2

22)(21)(b m x e

b

x f --=

π，（－∞0为已知，m 待定。

当成品重量M 给定后，记： P ＝P(x≥M)＝()M f x dx ∞

? P ’＝P( x

由以上分析，可将上式的第一项作为目标函数J(m)：

J(m)＝

)

(m P m

，P(m)表示概率P ＝P(x≥M)是m 的函数 分析题意可知，厂方损失Y 由两部分组成： （1）x≥L 时，多余部分，重量为（x －L ）； （2）x

M

x M f x dx xf x dx ∞

-∞

-+??＝m －MP

2．上式中的Y 即为没生产一袋糖果所损失的平均重量，所以生产N 袋糖果，得到N P 袋成品，损失总重量为（mN －MN P ），因此每得到一袋成品所损失糖果的平均重量J 1为：

J 1＝

mN MPN m

M PN P

-=-

3．求函数J(m)的最小值点即可。

4．问题的简化：设F(x)为正态分布N(m ，b 2)的分布函数，Φ(x)为标准正态分布的分布函数，则，

J(m)＝

)(m P m ＝1()m F M -＝1()m

M m b

--Φ

令c ＝

b m ，d ＝M

b

，z ＝d －c 则上式可简化为： J(z)＝

1()

M bz

z --Φ 【实验过程】

1．生成目标函数：

在Matlab 的Medit 建立文件Jmin ．m ： function J=Jmin(m)

J=m/(1-normcdf( (500-m),0,1)); 2．画目标函数的图形：

在Matlab 的Medit 窗口建立文件figer ．m ： for m=5000:0.001:510 J=Jmin(m); plot(m,J) hold on end

运行结果为：

从目标函数的图形可以看出，函数在500到505内取得最小值，而且当自变量向500逼近时，函数图像值急剧上升，自变量从503开始以后，函数图像接近于一条直线。

3．目标函数的最小值和最小值点的计算：

在Matlab的Medit建立文件minwaste．m：

min=600;

minm=0;

for m=500:0.001:530

J=Jmin(m);

if J<=min

min=J;

minm=m;

end

end

wasteaverage=min-500;

minm,min,wasteaverage

运行后运行结果为：

minm =

503.2570

min =

503.5405

wasteaverage =

3.5405

即当m=503.2570时，目标函数值最小，最小值为503.5405，此时，生产一袋成品所损失糖果的平均重量J1 =3.5405。

第3章随机变量的数字特征

1．设有标着1，2，…，9号码的9只球放在一个盒子中，从其中有放回地取出4只球，重复取100次，求所得号码之和X的数学期望及其方差。

解：在MATLAB命令窗口输入：

>> n = 100;

sele = [];

for ii = 1:n

sort = randperm(9);

sele(:,ii) = sort(1:4);

end

sigma = sum(sele);

Ex = mean(sigma), Dx = var(sigma)

输出结果为：

Ex =

19.7000

Dx =

15.5051

2．假定国际市场上每年对我国某种出口商品需求量ξ是随机变量（单位：吨），它服从[2000, 4000]上的均匀分布。如果售出一吨，可获利3万元，而积压一吨，需支付保管费及其它各种损失费用1万元，问应怎样决策才能使收益最大?

解：每年生产该商品x吨，收益为y，故y与需求量ξ有关，也于生产量x有关，即：

3()

3()()

x x y x x ξξξξ?≤=?

-->? 而x 的密度函数1

()2000

p ξ=

，(20004000)x ≤≤ 4000

2000

()2000y

Ey y p d d ξξξ+∞

-∞

=

?=

?

? 4000

2000

23()32000

7000400000001000

x

x

x d xd x x ξξξξ

--+

=

-+-=

?

?

通过对Ey 求导，令27000

01000

x Ey -+'=

=

得到当3500x =吨时, Ey 达到最大值8250万元 。

在Matlab 命令窗口输入：

>> syms x z

ita1=3*x; % x < z ita2=3*z-(x-z); % x>z phix=1/2000;

Eita=simplify(int((ita2)*(phix),z,2000,x)+int((ita1)*(phix),z,x,4000))

dif=diff(Eita,x) x=solve(dif) E=eval(Eita) 输出结果为

Eita =

7*x - x^2/1000 - 4000 dif =

7 - x/500

x =

3500

E =

8250

3．某厂生产的某种型号的细轴中任取20个，测得其直径数据如下（单位：mm）：

13.26，13.63，13.13，13.47，13.40，13.56，13.35，13.56，13.38，13.20，

13.48，13.58，13.57，13.37，13.48，13.46，13.51，13.29，13.42，13.69

求以上数据的样本均值与样本方差。

解：在MATLAB命令窗口输入：

X=[13.26,13.63,13.13,13.47,13.40,13.56,13.35,13.56,13.38,1

3.20,13.48,13.58,13.57,13.37,13.48,13.46,13.51,13.29,13.42,1

3.69];

j=mean(X),f=var(X)

输出结果为：

j =

13.4395

f =

0.0211

4．将一枚硬币重复掷n次，并以X，Y分别表示出现正面和反面的次数．求X和Y的相关系数。

解：用MATLAB模仿掷硬币过程，程序如下：

>> n=1000; %试验次数

for i=1:1:n

x(i)=binornd(1, 0.5);

end;

z=sum(x) %正面朝上次数 f=n-z %反面朝上次数 s=corrcoef(z,f) %相关系数

输出结果：

z = 499 f = 501 s = 1

5．设某小型水电站一天的供电量X(kWh)在[100，200]上均匀分布，而当地人们的需求量Y 在[100,250]上均匀分布。设水电站每供电1kWH 有利润0.2元；若需求量超过供电量，则水电站可以从电网上取得附加电量来补充，每供电1kWH 有利润0.1元。求该水电站在一天内利润的数学期望。

解：由于X ，Y 独立，可知（X,Y ）的联合密度为

1

,100200,100250(,)15000

x y f x y else ?≤≤≤≤?

=??? 利润函数为：

0.2,

(,)0.20.1(),Y X Y Z g X Y X Y X X Y

≥?==?

+-

((,))(,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞

-∞-∞

=

??

下面我们确定有效的积分区域，有效的积分区域应该使得(,)(,)0g x y f x y ≠，所以得到如下的图形：

D1表示Y X ≤，D2表示Y>X ，所以

((,))(,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞

-∞-∞

=

??

12

110.20.1()1500015000D D y dxdy x y dxdy =++????g g

200200250

100100100

11

()75000150000x x

dx ydy dx x y dy =++???? 31.4=

在Matlab 命令窗口输入：

syms x y ita1=0.2*y/15000; ita2=0.1*(x+y)/15000;

a=int(int(ita1,y,100,x),x,100,200)+int(int(ita2,y,x,250),x,100,200) c=vpa(a,4) %得到4位近似解，也可以任意N 位解 输出结果为：

a = 565/18 c = 31.39

X

Y

6．甲、乙两组各有6位同学参加同一次测验，A 组的分数为95、85、75、65、55、45，B 组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A 组的标准差为17.08分，B 组的标准差为2.16分，说明A 组学生之间的差距要比B 组学生之间的差距大得多。 解： 这道题是要比较两组的方差大小。 在Matlab 命令窗口输入：

>>A=[95,85,75,65,55,45]; B=[73,72,71,69,68,67];

EA=mean(A),StdA=std(A,1) EB=mean(B),StdB=std(B,1) 输出结果为：

EA = 70 StdA = 17.0783 EB = 70 StdB = 2.1602

7．将n 只球（1～n 号）随机地放到n 只盒子（１～n 号）中去，一只盒子装一只球。若一只球装入与它同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E 。 解：引进随机变量

1 0 i i i X i i ?=??第号盒装第号球第号盒装非号球

i=1,2,…,n

则总配对数为1

n

i i X X ==∑

i X 的分布列为：

E(i X )=1n

i=1,2,…,n

11

()()1n

i i E X E X n n

===?

=∑ i=1,2,…,n