活动体验教学让数学思维插上翅膀——《认识图形》教学

发表时间：2018-08-02T14:36:17.627Z 来源：《成长读本》2018年7月总第32期作者：王慧[导读] 本文从实际出发，从学习情感体验、教学方法、教学模式三个方面浅谈如何提高小学数学图形与几何教学质量。

安徽省阜阳市颍州区莲池小学

摘要：图形与几何学习是小学数学教学的重点内容，旨在培养学生形成初步几何思维能力，掌握基本几何知识，具有启蒙作用，对今后初中乃至高中几何学习的重要性都是不言而喻的。本文从实际出发，从学习情感体验、教学方法、教学模式三个方面浅谈如何提高小学数学图形与几何教学质量。

关键词：小学数学；图形与几何；教学策略

图形与几何是小学数学教学的重要内容之一，从一年级到六年级，几乎每一册书都有图形与几何知识，凸显了图形与几何知识在小学数学中的地位。小学图形与几何知识较为简单，知识内容大多浅显，但是开放性较强，旨在激发学生学习兴趣，提高知识应用能力，培养学生创造力。教师在教学中要根据学生实际学习情况，以学生发展为目标，通过图形与几何知识的学习，让学生对几何图形有基本的认识，塑造形象思维，形成空间思维能力与逻辑思维能力。

一、激发学生的学习兴趣

兴趣是最好的老师，学生只有在兴趣的推动下，形成学习内动力，才能积极主动地参与到图形与几何学习中来。小学生思维活跃，想象力丰富，教师可以充分利用学生思维特点，创造趣味课堂，激发学生学习兴趣。例如，在学习《面积》一课时，教师可以让学生在一张白纸上画满一个个一厘米长宽的小正方形，让学生把手掌放上去，画下手掌轮廓，估算一下自己手掌有多大，再让学生根据上述方式，发挥想象，粗略测量五官中任意一个的面积。通过探究性学习，将课堂变得生动有趣，既完成了“不规则形状的面积测量”这个知识点的学习，引导学生形成了几何思维，又让学生在学习过程中感受到了学习带来的乐趣，激发了学生学习内动力，让学生爱上了图形与几何学习。

二、运用一定的教学方法

（一）结合生活实际

小学生受知识储备限制，难以理解较为复杂或抽象的几何图形知识，教师可以结合生活实际，帮助学生加深理解，提高学习效率。例如，在学习《认识图形（一）》一课时，严格来说是认识空间图形，教师可以让学生举一些生活中的例子，如垃圾桶一般是什么形状、生活中有哪些常见的正方体或长方体、课桌椅子是什么形状等，通过分析生活实例，引导学生由感性认知向理性认知发展。当前小学数学图形与几何学习注重培养学生几何思维，在一定程度上降低了学术性，强调培养学生实践能力。将生活实际与书本知识相结合，切合新课标教学要求，能有效提高教学质量，加深学生对图形几何知识的理解。

（二）联系旧知

知识的增长是一个积累过程，新知识是建立在旧知识基础之上的。尤其是在图形与几何领域学习中，不会认识图形与测量就无法学习面积，多边形面积更是无从学起。因此教师在教学中要注重联系旧知，一来通过复习让学生回忆相关知识。二来利用旧知过渡、找出知识点之间的联系降低学习难度。

（三）培养观察能力

观察能力在图形与几何学习中尤为重要，是几何思维形成的基础。任何教学行为都要有教学目标，培养学生观察能力也要明确的教学目标：通过观察培养学生空间观念；通过观察让学生了解图形与图形、图形与知识内容、知识内容与知识内容的联系与区别；通过观察培养学生想象力，学生能从被观察事物的特征联想到具有同等特征的其他事物。同时，教师要引导学生学会观察，观察不一定只在课堂上，只要留心，生活中处处都能发现知识。

三、采用合适的教学模式

教学方法是内在措施，教学模式是外在基石，只有基础牢固，教学方法才能发挥最大作用。（一）信息化教学

随着信息技术的不断进步，多媒体教学设备、电子白板等高科技教学设备进入普通小学教室。多媒体教学模式具有便捷性、交互性、形象性、激趣性，被广大教师所接受，教师可以利用多媒体设备，将抽象知识形象化、具体化，提高学生学习效率。在利用多媒体教学设备解析教学重难点时，教师要精心设计课件，强调图形的分解与组合，降低思维难度，帮助学生突破学习难点。（二）将课堂交由学生主导

素质教育要求以学生为教学主题，尊重学生个性化发展需要，强调学生是独立个体。成人的思维跟小学生思维有很大差别，而图形与几何领域的学习要求学生有较强的几何思维能力与逻辑思维能力，学生的思维都有差异，教师不可站在单个学生的角度进行教学。将课堂交给学生主导有利于发挥学生个体的主观能动性教师在教学中通过为学生答疑解惑、引导学生互相学习、互相交流，让他们以独特的思维方式解决同伴的问题，提高学习质量，最大限度满足不同学生学习发展的需要。图形与几何领域教学是一个长期过程，学生几何思维的培养同样是一个长期过程。本人根据多年教学经验，就提高小学数学图形与几何教学水平提出了三大建议。在教学中教学方式的运用往往不是单一的，教师要根据教学实际，灵活选择教学手段，最大限度提高教学质量。学生的潜能是无限的，我们给他们一个舞台，他们还我们的是加倍的精彩。

参考文献：

[1] 张旭娟. 小学几何教学中学生空间想象能力培养探讨[J]. 陕西教育：教学版，2015,(7).

[2] 袁红娅 . 变“静”图形为“动”图形——利用信息技术进行小学几何教学 [J]. 新课程学习，2013,(5).

中小学数学衔接结题报告

《初中数学教学与小学数学教学衔接》结题报告一、课题的提出目前随着新课标的深入落实，中小学数学教学所存在的脱节现象日益严重，一部分学生进入初中后，由于新知识的增加引发了许多的变化，视野的扩展、思维方式的改变致使一部分刚步入初中门槛的学生一时难以适应，导致成绩一时明显下降。按照思维发展规律，思维方式的转变需要一个过程，如何缩短这个过程？如何搞好中小学数学教学衔接，使中小学的数学教学具有连续性和统一性，使学生的数学知识和能力都衔接自如，是摆在我们教师面前的一个重要任务。二、课题的界定初中数学教学与小学数学教学衔接是指从小学阶段过渡到初中阶段时，为保证过渡的自然与正常，在初中阶段应该做到的对小学阶段涉及内容、性质与方法的适当引用与延伸。而根据实际情况采取的处理措施，包括内容与方法。为了让学生很快适应初中数学的学习，让学生形成良好的正迁移，这就得研究初中数学教学与小学数学教学在教学内容、教学方法的有机衔接，从而找到一种能有效过渡的教学方式。三、课题研究的目标本课题通过“实践--切磋—再实践”的过程，将现实中偏离我们数学教学的问题得到的效的解决、从教法与学法的沟通入手，实现小学与初中两学段之间的有效过渡，把学生上初中后的数学教学与小学的教学模式有机地结合起来，从而让学生真实地感受、理解、掌握数学思想、知识技能的形成过程，培养学生学习数学的兴趣，激发学生的数学思维能力、培养学生分析、解决现实生活中数学问题的应用能力及创新意识。四、课题研究的主要内容预计达到的目标一、教学内容的衔接初一数学教材内容可分为三大块：一是数（有理数），二是代数式（整式、分式），

三是方程（一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组），四是几何（包含一些立体几何）。在“有理数”这一章，由于数的扩充引入了负数、有理数、绝对值、相反数等新的概念，并要准确理解，就会使那些认为“数学就是计算的数”的学生望而生畏。因此应先复习小学学过的有关内容，尽可能用已有的知识引出新知识。根据学生掌握知识的实际，我紧紧围绕以下三个方面进行了有机的过渡。 1、进行“算术数”与“有理数”的过渡。从小学到初中，数的概念在“算术数”的基础上扩充到有理数，运算关系也由原来的四则运算引入了乘方、幂的运算。因此要抓住两个方面：一是要在算术数的基础上引导学生认真理清正负数的概念，真正理解负数的意义；二是要加强对符号法则的教学。对那些容易混淆的概念，容易错误的计算，要反复加强巩固练习，使学生尽快掌握并熟练地运用。 2、进行“数”与“式”的过渡。小学主要是学习具体的数，而到了初一接触到的是用字母表示数，建立了代数概念，研究的是有理式的运算，这种由“数”到“式”的过渡，是学生在认知上由具体到抽象、由特殊到一般的飞跃。如何使学生适应呢？在具体的教学中，一方面要注意引导学生掌握好用字母表示数和表示数量关系的方法，另一方面又要注意挖掘中、小学数学教学内容本身的内在联系，如对整式与整数、分式与分数、有理式与有理数、等式与方程、不等式与方程等等，引导学生进行比较，并找出它们之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，从而搞好知识间的过渡。 3、进行解答方法上的过渡。用算术方法与用代数方法解应用题之间有着密切的内在联系，也就是它们的基本关系式不变，但它们的思维方法各异。为了解决这个问题，在实际教学中，必须做到：一是引导学生复习小学数学中常见的数量关系，二是着眼启发学生寻找等量关系，并有意识地指导学生将两种方法进行对比，通过对比使学生体会到代数法的优越性，从而使学生逐步从算术方法中解脱出来。二、教学方法的衔接小学数学教学，教师讲得细、练得多、直观性强，学生学完新课后不断地反复地练习，学生对老师有一定的依赖性，真正做到了少讲多练；到了初中，相对来说教师讲得精、练得少，抽象性也比较强。从实际情况看，小学生是以机械记忆、

研究论文：数学思维与小学数学教学

150831 数学论文数学思维与小学数学教学思维即人脑对客观现实的一种反应和概括，同时还夹杂着自己的主观意识。从数学的角度对问题进行分析，并提出解决问题的方法称作数学思维。而数学本身是对模式的一种研究，是一种抽象化的过程。数学将具体的问题普遍化、抽象化为一个纯粹的数学问题，并通过抽象的模式解决实际问题。所以，对小学数学教学来讲，以他们生活中熟悉的具?w事物为依据，逐步开始以数学抽象的思维方式去进行分析。一、数学思维的概念数学思维是一种有条件的，按部就班的，循序渐进的思维方式，主要以判断、推理等概念性的思维形式为主要依据，是小学生数学能力的核心体现。所以，在小学数学教学过程中，需要重点培养学生的逻辑思维能力，儿童时期是逻辑思维和数学概念形成的初期。数学知识本身就具有高度的逻辑性和抽象性，所以孩子通过逻辑推理和数学

思考可以锻炼他们的分析问题，解决问题的能力，帮助孩子开发大脑潜能，提高孩子的创造力。二、小学数学教学基本功的训练与提高小学数学教学基本功之一?D?D数学语言运用准确。作为小学数学教师，首先要具备讲数学语言的能力。数学教师在运用数学语言进行教学的时候，尽量要做到思路清晰、表述准确、语言简洁。把复杂话变简单，把简单的话变成容易让学生听懂。保证每个学生都能准确把握教学内容。比如，一些数学老师经常会说这样一句话：“15这个数字”，其实这是一个技术性的错误，数字只有0～9这十个，而15是个数，并非数字。如果老师在讲课中不强调清楚，就会给学生留下一个错误的概念，不能准确的区分，数和数字的差别。小学数学教学基本功之二?D?D会写，会画。板书是指教师根据课堂教学的需要，在黑板上书写的文字、符号、以及绘制的图表。一个完整的板书可以反映教师的许多基本技能，因此教师应重视板书的设计，注重基本功的训练。数学教学板书不是单一的，有很多内容往往要用图形来表达。因此，作为小学数学教师还要具备绘画的能力。

小学数学教学与数学思维

小学数学教学与数学思维众所周知，强调与现实生活的联系正是新一轮数学课程改革的一个重要特征。“数学课程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。”就努力改变传统数学教育严重脱离实际的弊病而言，这一做法是完全正确的；但是，从更为深入的角度去分析，我们在此则又面临着这样一个问题，即应当如何去处理“日常数学”与“学校数学”之间的关系。事实上，即使就最为初等的数学内容而言，我们也可清楚地看到数学的抽象特点，而这就已包括了由“日常数学”向“学校数学”的重要过渡。也正由于数学的直接研究对象是抽象的模式而非特殊的现实情景，这就为相应的“纯数学研究”提供了现实的可能性。例如，就以上所提及的加减法运算而言，由于其中涉及三个不同的量（两个加数与它们的和，或被减数、减数与它们的差），因此，从纯数学的角度去分析，我们完全可以提出这样的问题，即如何依据其中的任意两个量去求取第三个量。例如，就“量的比较”而言，除去两个已知数的直接比较以外，我们显然也可提出：“两个数的差是3，其中

较小的数是4，问另一个数是几？”或者“两个数的差是3，其中较大的数是4，问另一个数是几？”我们在此事实上已由“具有明显现实意义的量化模式”过渡到了“可能的量化模式”。综上可见，即使就正整数的加减法此类十分初等的题材而言，就已十分清楚地体现了数学思维的一些重要特点，特别是体现了在现实意义与纯数学研究这两者之间所存在的辩证关系。当然，从理论的角度看，我们在此又应考虑这样的问题，即应当如何去认识所说的纯数学研究的意义。特别是，我们是否应当明确肯定由“日常数学”过渡到“学校数学”的必要性，或是应当唯一地坚持立足于现实生活。总的来说，这就应当被看成“数学化”这一思维方式的完整表述，即其不仅直接涉及如何由现实原型抽象出相应的数学概念或问题，而且也包括了对于数量关系的纯数学研究，以及由数学知识向现实生活的“复归”。另外，相对于具体知识内容的学习而言，我们应当更加注意如何帮助学生很好地去掌握“数学化”的思想，我们应当从这样的角度去理解“情境设置”与“纯数学研究”的意义。这正如弗赖登塔尔所指出的：“数学化……是一条保证实现数学整体结构的广阔途径……情境和模型，问题与求解这些活动作为必不可少的局部手段是重要的，但它们都应该服从于总的方法。”

发散思维案例

发散思维案例案例1 有一个古老的智力题：“树上有10只鸟，打死1只，还有几只?”最笨的回答是：“打死1只，还有9只。”最聪明的，也是被认为唯一正确的答案是：“打死1只，就一只也没有了，因为它们都被吓跑了。”在一次教学实践中，我还听到学生们说出了下面一些答案: 1、还有1只死鸟挂在树上; 2、还有9只，因为是用无声手枪击中的; 3、还有2只，树上鸟窝里有2只不会飞的雏鸟; 4、还有9只，在风雨交加的天气，枪声被掩盖了; 5、还有1只，这只鸟是聋子; 6、还有10只，因为它们受伤飞不起来了; 案例2 有一只猪四百斤，一座桥承重两百斤，猪怎么过桥?条件： 1.猪是活猪，任何解决方案都不得切割猪 2.故事发生在猪王国，不要引入人的因素 3.是过桥，不是过河，不要说是游泳过去 4.是过桥，不是过涧，不要说是飞过去丫 5.桥是承重两百斤的桥，把桥挪到平地上抑或过另一座承重超过四百斤的桥都属改变性状 6.不是文字游戏，不要说“猪晕过去了” 1、立体思维

思考问题时跳出点、线、面的限制，立体式进行思维。立体绿化：屋顶花园增加绿化面积、减少占地改善环境、净化空气。立体农业、间作：如玉米地种绿豆、高粱地里种花生等立体森林：高大乔木下种灌木、灌木下种草，草下种食用菌。立体渔业：网箱养鱼充分利用水面、水体立体开发资源：煤、石头、开发产品你还能想出什么样的立体思维形式? 2、平面思维以构思二维平面图形为特点的发散思维形式如用一支笔一张纸一笔画出圆心和圆周。这种不连续的图形是难以一笔画出的发散思维 3、逆向思维背逆通常的思考方法。从相反方向思考问题的方法，也叫做反向思维。因为客观世界上许多事物之间甲能产生乙，乙也能产生甲。如：化学能能产生电能据此意大利科学家伏特1800年发明了伏打电池。反过来电能也能产生化学能，通过电解，英国化学家戴维1807年发现了钾、钠、钙、镁、锶、钡、硼等七种元素。如说话声音高低能引起金属片相应的振动，相反金属片的振动也可以引起声音高低的变化。爱迪生在对电话的改进中，发明制造了世界上第一台留声机。那么如何进行逆向思维呢? 1)就事物依存的条件逆向思考，如小孩掉进水里，把人从水中救起，是使人脱离水，司马光救人是打破缸，使水脱离人，这就是逆向思维。

基于思维发展的中小学数学衔接教学

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/be19041754.html, 基于思维发展的中小学数学衔接教学作者：卢西英来源：《课程教育研究·学法教法研究》2018年第14期【摘要】中小学数学课程在内容、课程设置以及教学方式上存在一定的差异，因此，在教学过程中通过合适的方式提升两类课程的衔接性，优化中小学数学衔接过程的完成质量是必要的。当前的课程衔接中存在的问题是教师未能根据学生在学习思维上的发展设计课程教学规划，缺乏对中小学数学课程衔接过程的正确认识。本文就如何建立基于思维发展的中小学数学衔接教学模式进行了介绍。【关键词】思维发展中小学数学衔接教学设计措施【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）14-0134-01 引言在不同的教学阶段数学课程存在一定的差异，如何针对学生的思维发展特点来优化不同阶段数学教学，实现不同课程的衔接是当前教师应当进行研究的问题。中小学数学课程衔接对于培养学生的数学思维、提升课程质量有很大的影响，教学人员应当根据实际建设需求和学生的思维变化对衔接教学过程进行优化。一、中小学数学课程衔接价值实现中小学数学课程的衔接设计是国家教育课程改革的重要内容，也是当前中小学数学课程实施中的现实性问题，在实际教学过程中应当加强重视，优化课程设计以及教学方案设计。针对教学课程衔接进行研究可以促进不同教学阶段教学质量的提升，优化数学课程内容的设计，实现课程的健康发展。在未来的教学建设过程中针对学生思维发展的特点来设计课程衔接方式，对优化课程教学质量有直接的推动作用。我国义务教学的主要目的是促进学生的全面发展，完成对学生正确学习思维的培养，因此，在不同的教学阶段，教师应当针对学生的年龄和认知能力，结合学生思维发展的特征来完成中小学数学课程的衔接，设计新式的课程内容推进结构，对于促进教学课程的完善，优化教学质量有很大的影响。二、当前中小学数学课程衔接设计中存在的问题及原因就当前的教学发展来看，中小学数学教学衔接过程的质量仍然不高，由于课程内容上的差异以及思维发展，部分小学生在进入中学进行学习之后会出现学习成绩下降的问题。中学课程的教学注重对知识的扩展性学习，小学固有的学习方式无法满足中学的学习需求，造成学习成绩的下降。造成中小学数学课程衔接不当的主要原因包括如下的几个方面。

浅谈小学数学教学思路

浅谈小学数学教学思路【摘要】教师从知识的整体出发，用联系的观点指导教学，在知识的连结处，在知识的从属、对立统一关系中，采用同化与顺应等整体教学手段，把合理的知识结构及时呈现给学生，帮助学生理清各部分知识的脉络，及其在知识块中的地位和作用，把大纲中“学会”这一目标具体化、系统化，使学生所学的知识不是几个孤立的点，而是前后呼应，浑然一体的有机整体，从而促使学生形成良好的认知结构，逐步具有“从整体看事物”的数学思想，有条理地思考和处理问题的能力。【关键词】：。整体教学主动性指导教学【正文】在教学工作中，“教师主导与学生主体相结合原则”要求教师在整个教学过程中，既要发挥自己的主导作用，又要体现学生的主体地位，使二者密切结合，共同完成教学任务。贯彻这一原则，要求教师恰当而科学地组织教学过程，循循善诱，调动学生学习的主动性、积极性，培养学生的自学能力，掌握获取知识的科学方法。还要充分发挥教学民主，建立和协融洽的师生关系。科学地、灵活地实施激疑，是实现小学数学教学的有效途径。一、在知识的对立统一关系上实施整体教学九年义务教育全日制小学数学教学大纲，明确地指出：“小学数学中的概念、性质、法则、公式、数量关系和解题方法等最基础的知识，是进一步学习的基础，必须使学生切实学好。”在数量众多的知识中，有些知识是平行的，它们之间的关系既对立又统一，这是数学本身辩证法的体现。像质数与合数、奇数与偶数、最大公约数与最小公倍数等，它们彼此互不包含，而且在文字表述上只有几字之差，极易引起混淆。教学中教师应不失时机地实施整体教学，把对立的知识集中在一个整体结构中，从区别点出发，进行比较鉴别，以达到区分异同、准确掌握、合理应用的目的。例如，质数与合数都是自然数，又都有约数，它们的本质区别在于约数的个数不同。教学时，先让学生求每个数的约数，再比较并加以区分。二、激疑中组织操作，形象地理解教学知识在小学数学教学中，常常遇到理解概念、法则、认识数学规律这类内容，这些内容逻辑性强，也比较抽象。而小学生的思维特点多以具体形象为主，逐步向抽象逻辑思维过渡，这样，知识的特点与学生的思维特点之间就形成一定的距离，学生理解就会有一定的困难，因此，在教学中，教师就是设法最大限度地缩小这个距离。如在学生急于探求能被3整除的数的特征时，教师仍然不忙于告诉结论，而是积极引导学生通过操作发现规律，自己找出特征。在进行激疑的过程中，我们要把握好以下几点要领。

如何用思维导图进行小学数学教学

如何用思维导图进行小学数学教学 ----培训心得美国康奈尔大学诺瓦克(J.D.Novak)博士根据奥苏贝尔（David P.Ausubel）的有意义学习理论在20世纪60年代最早提出了思维导图这一概念，并将思维导图运用到教学中，取得了较好的效果。思维导图的研究在国外已经比较成熟、丰富，研究内容涉及思维导图的内涵、结构和特征、分类及其编制过程、评价标准等诸多方面。我国目前还处于介绍引进阶段，小学数学教育对思维导图的专题研究还不多见，中文版的思维导图软件较少，本文将从思维导图的内涵，思维导图在小学数学教学中的应用以及制图的策略、应用的注意事项几方面做初步探究。一、思维导图的定义思维导图是用来组织和表征知识的工具，它通常将某一主题的有关概念置于圆圈或方框之中，然后用连线将相关的概念和命题连接，连线上标明两个概念之间的意义关系。思维导图能够构造清晰的知识网络，便于学习者对整个知识结构的掌握，有利于发散思维的形成，促进知识的迁移。二、思维导图在小学数学中的应用（一）教学设计的工具思维导图为教师进行教学设计提供了支持与帮助，通过思维导图教师能够更清晰地呈现知识的框架结构，更加有条理地进行教学。教师可以运用思维导图对教学内容进行归纳和整理，突出教学重点、难点，将教学的主要概念和原理以一种可视化的方式展现出来，简明扼要地表达概念的逻辑关系，呈现概念的地位以及相关性，以便学生发现概念间的区别与联系，从而，提高课堂教学效率。（二）创造思维的工具制作思维导图的过程其实就是学生进行创造的过程，学生拥有较为宽泛的想象空间，可以根据自己的爱好设计符合条件的思维导图。在思维导图的制作过程中，学生要进行大量的思考，会在头脑中萌发各种新的想法，且学生在构建成自己的思维导图之后与他人的作品比较时还会有新的想法出现。有利于培养学生的创新精神和实践能力。例如，学生在学习过五年级上册小数这一节内容时，通过与同学交流构建出这样一个思维导图。（三）知识整合的工具新课程标准要求在小学数学教学中要注重联系实际，提高对数学整体的认识，使学生体会知识之间的结构关系，感受数学的整体性。在小学数学中很多知识表面看起来毫不相干，其实它们之间存在着千丝万缕的关系，把它们联系在一起的就是“数学思想与方法”。融人了思维导图的教学让学生从散杂、片断的机械式学习提升为注重关系并充满主动探究活力的有意义学习。如在教学《平面图形的周长和面积》一课时，这部分内容涉及的概念很多，如周长、面积以及六种平面图形的周长和面积计算公式等。如何给学生讲述这些概念?怎样让学生达到对知识的意义建构？怎样获得学生对这些内容掌握情况的反馈信息?教师通过引导学生讨论复习内容，明确了复习的任务：(1)平面图形的周长和面积表示的意义?(2)小学阶段学习过哪些平面图形?(3)平面图形的周长计算公式? (4)平面图形的面积计算公式?请将以上内容整理成思维导图，并且能让人一眼就看出平面图形面积计算之间的联系。（四）教学反思的工具

发散思维

发散思维平阴县第二中学张树峰第八周目标：让学生了解发散思维的概念、特征及其应用，学会有效运用发散思维思考问题、分析问题、解决问题，培养发散思维能力。重点：学会有效运用发散思维思考问题、分析问题、解决问题。难点：运用发散思维解决实际问题。教学过程第一课时一、导入 1、师：同学们一定都听过龟兔赛跑的故事，故事中兔子为什么失败？因为它在途中睡了一觉。 2、师：假如故事中没写明原因，让你来猜，你会想到什么原因？ …… 3、展示课本中“龟兔赛跑、兔子为什么落后”的发散思维图：根据图示，引出发散思维概念。二、了解发散思维的概念 1、Ppt打出发散思维的概念：发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式。图示：

2、通过对“铅笔的用途”进行发散思维，加深对概念的理解：（1）让学生不看书，在P23页横线上写出铅笔除书写、画画以外的用途；（2）看书上例举的铅笔的用途。小结：这就是典型的发散思维解决问题的方法，这种方法可以做到一题多解、一事多写、一物多用。有不少心理学家认为，发散思维是创造性思维的一个最主要的特点，是测定一个人或一个团队的创造力的主要指标之一。所以学会这种思维方法对任何一个人都非常重要。三、发散思维的特征 Ppt显示发散思维的三个特征：流畅性、变通性和独特性。下面通过一些例子帮助学生理解发散思维的三个特征：（一）流畅性 1、Ppt显示什么是流畅性：流畅性指在尽可能短的时间内生成尽可能多的思维火花，产生心可能多的方式和方法，表达出尽可能多的思想和观念。 2、让学生看书上的例子：如果你有了钱可以干什么？儿童A答：买可乐、买玩具车；

小学数学教学设计

小学数学教学设计文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

备课备课总的要求是课前有思考、有思路，能说课。对不同发展阶段的教师(如新任教师、成熟教师、优秀教师)可以有不同的备课要求，教案要因人而异；教案要留有发展的空间，注重实效。新课程下的教学常规应加大对备课组活动的管理，形成个人研究与集体研究相结合的备课制度。备课应该牢牢把握“个人领悟、集体研究、把握课标、重组资源”的原则，变“教教材”为“用教材”，最终能够形成具有教师个人风格的教案。譬如，在实践中，有人提出“备课”要做到“五有”、“五备”：即脑中有“纲”(课程标准)，胸中有“本”(教材)，目中有“人”(学生)，心中有“数”(差异)，手中有“法”(方法)。备好课是上好课的前提和基础，是提高课堂教学质量的重要保证，其基本要求是： 1、学习课程标准（或大纲）《课程标准》（或《大纲》）是教学的基本依据，教师应首先认真学习领会《课程标准》（或《大纲》），明确教学目标、教学原则以及各年级各学科的教学要求和任务，整体把握教学内容之间的联系和衔接。 2、钻研教材（或材料）深入钻研教材，通过感知教材——理解教材—掌握教材的过程，着重把握施教年级的教学内容在整体安排中的地位和作用，明确和突出重点，适当分散难点，做到内容、目标心中有数，合理安排。 3、了解学生（以学生发展为本）

备课要从学生实际出发，力求全面了解每个学生思想状况和兴趣态度，了解每个学生已有的知识经验和技能水平，了解每个学生学习方法和习惯，注意学生的年龄特点和个体差异，以利于因材施教，提高教学实效性。 4、设计课堂整体思路在编写教案前对整堂课的教学应有总体的设计，这是个头脑预演过程，是精心设计教学方案的前奏，很有实际意义。总体思路应考虑目标、内容、条件等各因素彼此协调平衡，要考虑教材的知识结构和学生认知结构的合理组合，要有弹性，便于整体把握，优选教学手段和教学法。 5、编写教案教案是教师统筹规划教学活动的设计方案，可以有多种表现形式。其内容一般包括教学目标、教学重点、教学难点、教具及学具准备、教学过程、板书设计、教学后记等。

发散思维的例子

发散思维的例子发散思维的例子一：心理学家曾做过这样的试验：在黑板上画一个圆圈，问在座学生这是什么？其中大学生回答很一致：“这是一个圆。”而幼儿园的小朋友则给出了各种各样的答案：“太陽”、“皮球”、“镜子”……可谓五花八门。或许大学生的答案更加符合所画的图形，但是比起幼儿园孩子来说他们的答案是不是显得有些单调呆板呢？发散思维的例子二： 1987年，我国在广西省南宁市召开了我国“创造学会”第一次学术研讨会。这次会议集中了全国许多在科学、技术、艺术等方面众多的杰出人才。为扩大与会者的创造视野，也聘请了国外某些著名的专家、学者。其中有日本的村上幸雄先生。在会议中请村上幸雄先生为与会者讲学。他讲了三个半天，讲的很新奇，很有魅力，也深受大家的欢迎。其间，村上幸雄先生拿出一把曲别针，请大家动动脑筋，打破框框，想想曲别针都有什么用途？比一比看谁的发散性思维好。会议上一片哗然，七嘴八舌，议论纷纷。有的说可以别胸卡、挂日历、别文件，有的说可以挂窗帘、钉书本，大约说出了二十余种，大家问村上幸雄，“你能说出多少种”？村上幸雄轻轻地伸出三个指头。有人问：“是三十种吗”？他摇摇头，“是三百种吗？”他仍然摇头，他说：“是三千种”，大家都异常惊讶，心里说：“这日本人果真聪明”。

然而就在此时，坐在台下的一位先生，他是中国魔球理论的创始人、著名的许国泰先生心里一阵紧缩，他想，我们中华民族在历史上就是以高智力著称世界的民族，我们的发散性思维绝不会比日本人差。于是他给村上幸雄写了个条子说：“幸雄先生，对于曲别针的用途我可以说出三千种、三万种”。幸雄十分震惊，大家也都不十分相信。许先生说：“幸雄所说曲别针的用途我可以简单地用四个字加以概括，即钩、挂、别、联。我认为远远不止这些。接着他把曲别针分解为铁质、重量、长度、截面、弹性、韧性、硬度、银白色等十个要素，用一条直线连起来形成信息的栏轴，然后把要动用的曲别针的各种要素用直线连成信息标的竖轴。再把两条轴相交垂直延伸，形成一个信息反应场，将两条轴上的信息依次“相乘”，达到信息交合……” 于是曲别针的用途就无穷无尽了。例如可加硫酸可制氢气，可加工成弹簧、做成外文字母、做成数学符号进行四则运算等等，为中国人民在大会上创出了奇迹，使许多外国人十分惊讶！故事告诉我们发散性思维对于一个人的智力、创造力多么重要。发散思维的例子三：一片叶子一、在孩子、男人、女人、老人看来会有不同的认识，而在不同的孩子、不同的老人看来又会不同，在不同的职业看来也会不同，还有不同的阶层、不同的地域…… 一片叶子，是绿色、是椭圆、是希望、是好心情…… 画家看来是一幅美丽的画

小学数学的思维方法和教学方法

小学数学的思维方法和教学方法良好的方法能使我们更好地发挥运用天赋的才能，而拙劣的方法则可能阻碍才能的发挥。------[英]贝尔纳 “数学为其他科学提供了语言、思想和方法”，初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题。对于小学数学的教学，很多老师都会觉得有困难，但这里面其实有许多方法可以适用，下面就让小编给大家分享一些小学数学教学方法知识吧，希望能对你有帮助! 小学数学思维方法一、形象思维方法形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具体形象，并从具体形象展开来的思维过程。形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以个别表现一般，始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象，对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律，或求出对象。它的思维目标是解决实际问题，并且在解决问题当中提高自身的思维能

力。 1、实物演示法页 1 第利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题，及条件与条件，条件与问题之间的关系，在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。这种方法可以使数学内容形象化，数量关系具体化。比如：数学中的相遇问题。通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语，而且为学生指明了思维方向。再如，在一个圆形(方形)水塘周围栽树问题，如果能进行一个实际操作，效果要好得多。二年级数学教材中，“三个小朋友见面握手，每两人握一次，共要握几次手”与“用三张不同的数字卡片摆成两位数，共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组合的知识，在小学教学中，如果实物演示的方法，是很难达到预期的教学目标的。特别是一些数学概念，如果没有实物演示，小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习，都依赖于实物演示作思维的基础。所以，小学数学教师应尽可能多地制作一些数学教(学)具，而且这些教(学)具用过后要好好保存，可以重复使用。这样可以有效地提高课堂教学效率，提升学生的学习成绩。

小学数学常用解题思路(11种)

小学数学常用的十一种解题思路 “直接思路”是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“综合法”。例1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？分析（按顺向综合思路探索）：（1）根据弟弟速度为每分钟200米，出发5分钟的条件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。（2）根据弟弟速度为每分钟200米，哥哥速度为每分钟250米，可以求什么？可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。（3）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米，每分钟可追上的距离为50米，根据这两个条件，可以求什么？可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。（4）狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。（5）已知狗以每分钟300米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？可以求出这时狗总共跑了多少距离？这个分析思路可以用下图（图2.1）表示。

八大思维的经典案例

一、创新思维 1、在一个专门收集世界名画的美术馆，每幅画都投了一份巨额保险。可是美术馆新购进一副非常有名的画家的代表作，却没给这幅画投保险。你知道这是为什么吗？解答：那是一幅壁画有六个小朋友要平均吃五块蛋糕，但不能切碎，而且任何一块蛋糕切成三块以上，你知道怎么分切这5块蛋糕吗？解答：先把三块蛋糕各切成平均的两半，然后分给6个小朋友。然后把另外两块蛋糕分别切成三等份，再分给6个小朋友，这样每个人就得到了一个半块和1／3块。二、发散思维 1、尽可能想象“△”和什么东西相似或相近？解答：和“△”相似或相近的东西有：馒头、涵洞、峭石、山峰、堡垒、城门、隧道口、喷水池、橱窗、问讯窗口、尼龙秧棚、坟墓、萌芽、彩虹、乌篷船、抛物红、仙鹤戏水、镜片、电视机屏幕、枪洞、子弹头、树荫、海上日出、跳水、弯腰、插秧、拱桥、盾牌、活页木铁夹、天边浮云、英文字母“D”等等。回答得越多，发散思维的流畅程度越高。 2、古时候，有兄弟三人。大哥、二哥好吃懒做，三弟勤劳聪明。三人长大后都成了家。有一天，三兄弟在一起喝酒，大哥、二哥提议：“从现在起，我们三人说话，互相不准怀疑，否则罚米一斗。”酒后，大哥说：“你们总说我好吃懒做，现在家里那只母鸡一报晓，我就起床了……”三弟直摇头说：“哪有母鸡报晓之理？”大哥嘿嘿一笑说：“好！你不信我的话，罚米一斗。”二哥接下去说：“我没有大哥这么勤快，因此家里穷得老鼠撵得猫吱吱叫……”三弟又连连摇头，二哥得意地说：“你不信，也罚米一斗。”后来…… 三、收敛思维

1、高尔基童年在食品店干杂活，曾碰到过一位刁钻的顾客，“订九块蛋糕，但要装在四个盒子里，而且每个盒子里至少要装三块蛋糕”。解答：高尔基的办法是：先将九个蛋糕分装在三个盒子里，每盒三块；然后再把这三个盒子一起装在一个大盒子里，用包装袋扎好。 2、你的面前摆着四种物品：一本平装书；一瓶百事可乐；一根纯金项链；一台彩色电视机。请从上述四种物品中找出一种“与众不同”的物品；然后，再找出两两物品之间的共同之处。解答：平装书是唯一用纸做成的、供人阅读的物品；可乐是唯一由液体构成、供人饮用的物品；项链是唯一用纯金制作的、戴在身上的装饰品；电视是唯一能把无线电波转换成声音和图像的物品。平装书与可乐属于“价格低廉品”；平装书与电视属于“信息用品”；可乐与电视属于“诞生于现代的物品”；项链与电视属于“贵重物品”······ 四、类比思维 1、棒球：投手篮球：得分手 B.拳击：对手 C.足球：射手 D.橄榄球：四分卫

小学数学教学中如何培养学生的思维能力

小学数学教学中如何培养学生的思维能力要培养社会主义现代化建设所需要的人才，其基本条件之一就是要具有独立思考的能力，勇于创新的精神。小学数学教学从一年级起就担负着培养学生思维能力的重要任务。因此数学教学的思维训练，应根据学生的思维特点，结合教学内容把思维训练贯穿于课堂教学的各个方面。下面我就如何培养学生思维能力谈几点看法。一、激发学生思维动机动机是人们“因需要而产生的一种心理反映”，它是人们行为活动的内动力。因此，激发学生思维的动机是培养其思维能力的关键因素。教师如何才能激发学生思维动机呢？这就要求教师在教学中充分发挥主导作用，根据学生心理特点，教师有意识地挖掘教材中的知识因素，从学生自身生活需要出发，使其明确知识的价值，从而产生思维的动机。例如：在教学根据实际情况用“进一法”和“去尾法”取商的近似数的应用题时，先出示题目：小强的妈妈要将2.5千克香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶最多可盛0.4千克，需要几个瓶？再让学生读题，分析解题思路。当学生回答出求需要准备几个瓶，就是看2.5千克里有几个0.4千克时，我先让学生猜一猜需要几个瓶，然后让学生独立计算出结果。算出结果为6.25，我问学生：“按‘四舍无入’法我们准备6个瓶子可以吗？”学生回答说“不可以。” 我又问：“为什么？”学生都知道需要再准备一个瓶子装剩下的0.1千克油，所以需要准备7个瓶子才行。最后让学生验证自己的猜想，老师并告诉：这种根据实际情况取近似数的方法叫“进一法”。随后用同样的方法教学了“去尾法”。由于这些例题都是生活中遇到的问题，学生容易理解掌握。这样也引发了学生探求新知的思维动机。这样设计教学既渗透了“知识来源于生活”的数学思想，又使学生意识到学习知识的目的是为了解决生活和生产中的实际问题。学生的学习动机被激发起来了，自然会全身心地投入到后面的教学活动之中。二、理清学生思维脉络认知心理学家指出：“学生思维能力的发展是寓于知识发展之中的。”在教学中，对于每一个问题，既要考虑它原有的知识基础，又要考虑它下联的知识内容。只有这样，才能更好地激发学生思维，并逐步形成知识脉络。 1.引导学生抓住思维的起始点数学知识的脉络是前后衔接、环环紧扣的，并总是按照发生—发展—延伸的自然规律构成每个单元的知识体系。学生获得知识的思维过程也是如此，或从已有的经验开始，或从旧知识引入，这就是思维的开端。从学生思维的起始点入手，把握住思维发展的各个层次逐步深入直至终结。

浅谈思维定势与数学教学

浅谈思维定势与数学教学向明初级中学郑性慧定势又叫心向，是指先于一定活动而指向一定活动对象的一种动力准备状态，又叫“一种预备性顺应或反应的准备”。它是指向于一定对象的动力因素，可以使人倾向于在认识或外显行为方面，以一种特定的习惯方式进行反应，其本身是在一定需要和活动重复的基础上形成的。根据迁移理论，迁移与学生在应用知识技能时的准备状态有关，这种准备状态在心理学上即是定势，在数学学习中我们通常称之为思维定势。在思维不受到新干扰的情况下，人们依照既定的方向或方法去思考，这就是思维定势。可以用巴普洛夫的高级神经系统的“兴奋——抑制”说来解释思维定势。我们把定势看做是某种熟悉的或曾强烈反应过的神经联系，这种联系在有关条件下容易兴奋起来，因而在它的周围形成了相对抑制区，其他可以察觉或已经形成的联系，则处在抑制区内。当处在抑制区内的神经联系较之兴奋的联系更为合理、正确时，定势表现为负迁移；反之，则为正迁移。思维的定势是一种客观存在的现象。心理学的研究表明，人在学习过程中使用某一认知方式进行思维，重复的次数越多，越有效，那么，在新的相似情境中就会优先运用这一方式。这是一种不甚自觉发生的行为。它是思维的“惯性”现象，是人的一种特别本能和内驱力的表现。定势思维对于问题解决具有极其重要的意义。在问题解决活动中，定势思维的作用是：根据面临的问题联想起已经解决的类似的问题，将新问题的特征与旧问题的特征进行比较，抓住新旧问题的共同特征，将已有的知识和经验与当前问题情境建立联系，利用处理过类似的旧问题的知识和经验处理新问题，或把新问题转化成一个已解决的熟悉的问题，从而为新问题的解决做好积极的心理准备。例如，在几何论证中，有时为了在已知与求证之间铺路架桥，往往需要在图形中另外添加一些辅助线，而这又恰恰是许多学生感到困难的地方。因此，我认为作为教师在日常教学中可教给学生一些添线的思考方法，帮助学生一起归纳常用辅助线的添加方法，培养学生的添线能力，以促进他们在学习中的迁移。以我在教学中的体会为例，在教学中首先要让学生了解添线的目的和添线的方法。为了解决问题通常我们添线的目的有两个：一是把分散的几何条件转化为相对集中的几何元素；二是把不规则的图形转化为规则的图形或复合的图形转化为单一图形或基本图形。添线的常用方法是：从图形的运动特点可分为平移、翻折、旋转，另外还常添加如平行线等一些为已知与求证铺路架桥的辅助线。添线的方法和目的常常是相辅相成的，方法为目的服务，而目的又会促使合理方法的产生，教师在讲解辅助线的添加方法时，要注意引导、及时归纳。例：已知：⊿ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C 求证：AB+BD=AC 分析：在证明一条线段等于两条线段之和时，常用的方法是在长的一条线段上截取一段等于已知的一条线段，再设法证明剩下的一段等于另一段或移动一条短的线段与另一条短的线段相接得到新的一条较长的线段，再证明它与给定的那条较长 A B C D E

中小学数学教学衔接问题研究

《中小学数学教学衔接问题研究》结题报告松柏中心学校课题研究小组小学六年级学生升入初一后，数学学习的严重分化问题是长期困扰农村初中数学教师的一个问题，消除这一分化的有效途径是做好中小学数学衔接教学。本课题通过对初一和六年级学生学习情况的问卷调查及理论学习等方面，分析了中小学数学知识的变化特点，从中小学老师的角度对中小学数学教学衔接中的教学方法、学习方法、课堂教学模式进行了探索。为教师引导学生学习、学生在学习上顺利过渡提供了一定借鉴。一、课题的提出我们时常听到有的学生家长说：“我的孩子在小学数学成绩每次考试大都在八十分以上，很少有不及格的情况，怎么升初中后数学成绩下滑这么快？”，我们调查了几届六年级学生升入初一后的数学成绩发现的确存在这一现象。询问其他学校，也存在同样的问题。目前随着新课标的深入落实，中小学数学教学所存在的脱节现象日益严重，一部分学生进入初中后，由于新知识的增加引发了许多的变化，视野的扩展、思维方式的改变致使一部分刚步入初中门槛的学生一时难以适应，导致成绩一时明显下降。按照思维发展规律，思维方式的转变需要一个过程，如何缩短这个过程？如何搞好中小学数学教学衔接，使中小学的数学教学具有连续性和统一性，使学生的数学知识和能力都衔接自如，是摆在我们教师面前的一个重要任务。近年来，全国各地都加大了对中小衔接的研究力度，也获得了不少的成绩，但针对于数学学科的研究更多的是从理论上的研究为主，可操作性不强。因此，本课题研究的主要方向是把小学与初中数学内容，教学方法作一个系统的对比分析和研究，搞好新旧知识的架桥铺路工作，掌握新旧知识的衔接点，在新课标的指导下兼顾对中小学教师教学方法的研究，做到有的放矢，提高教学质量。二、课题研究的目标及具体问题本课题试图通过"教材研究─—教法研究─—学法研究─—有效衔接"的实践过程，将现实在中偏离我们数学教学的问题得到的效的解决、从教法与学法的沟通入手，努力削缓小学与中学两学段之间的“陡坡”，并达到一定现实意义的中小学数学教学衔接，把学生上初中后的数学教学与小学的教学模式有机地结合起来，从而让学生真实地感受、理解、掌握数学思想、知识技能的形成过程，培养学生学习数学的兴趣，激发学生的数学思维能力、培养学生分析、解决现实生活问题的应用能力。本课题研究的主要问题是：（1）对比本校六年级师生和初一师生在数学学科的教与学的过程中存在的问题及不足，分析引起初一学生数学学习分化的因素、影响中小学数学课程学习的相关因素分。（2）根据数学教师在教与学的过程中存在的问题及不足，提出改进本校数学教学衔接的的对策及建议。通过研究中小学数学教学衔接的原则、途径和方法，寻找能适应中小学学生数学学习心理特点的教学方法和学习方法等可操作性的方案。通过本课题的研究，我们预计达到以下目标：（1）构建农村中小学数学教学衔接的教学模式；（2）探索农村中小学数学教学衔接的有效途径和措施；三、课题研究的方法及途径自课题立项起，连续三年我们选取了本校六年级和初一年级两个班；作为实验研究对象开展课题的实验研究。其中我们对2009届的六年级学生数学成绩进行连续跟踪调查。（一）开展理论学习，提升课题组成员科研素养。

方案-数学思维与小学数学教学(1)

数学思维与小学数学教学(1) '“帮助学生学会基本的数学思想方法”是新一轮数学课程改革所设定的一个基本目标。以国际上的相关研究为背景，对小学数学教学中如何突出数学思维进行具体分析表明，即使是十分初等的数学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质。 \r\n 众所周知，强调与现实生活的正是新一轮数学课程改革的一个重要特征。“数学课程的内容一定要充分考虑数学进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。” 就努力改变传统数学教育严重脱离实际的弊病而言，这一做法是完全正确的；但是，从更为深入的角度去分析，我们在此则又面临着这样一个问题，即应当如何去处理“日常数学”与“学校数学”之间的关系。事实上，即使就最为初等的数学内容而言，我们也可清楚地看到数学的抽象特点，而这就已包括了由“日常数学”向“学校数学”的重要过渡。例如，在几何题材的教学中，无论是教师或学生都清楚地知道，我们的研究对象并非教师手中的那个木制三角尺，也不是在黑板上或纸上所画的那个具体的三角形，而是更为一般的三角形的概念，这事实上就已包括了由现实原型向相应的“数学模式”的过渡。再例如，正整数加减法显然具有多种不同的现实原型，如加法所对应的既可能是两个量的聚合，也可能是同一个量的增加性变化，同样地，减法所对应的既可能是两个量的比较，也可能是同一个量的减少性变化；然而，在相应的数学表达式中所说的现实意义、包括不同现实原型之间的区别（例如，这究竟表现了“二元的静态关系”还是“一元的动态变化”）则完全被忽视了：它们所对应的都是同一类型的表达式，如4+5=9、7-3=4等，而这事实上就包括了由特殊到一般的重要过渡。应当强调的是，以上所说的可说是一种“数学化”的过程，后者集中地体现了数学的本质特点：数学可被定义为“模式的科学”，也就是说，在数学中我们并非是就各个特殊的现实情景从事研究的，而是由附属于具体事物或现象的模型过渡到了更为普遍的“模式”。也正由于数学的直接研究对象是抽象的模式而非特殊的现实情景，这就为相应的“纯数学研究”提供了现实的可能性。例如，就以上所提及的加减法运算而言，由于其中涉及三个不同的量（两个加数与它们的和，或被减数、减数与它们的差），因此，从纯数学的角度去分析，我们完全可以提出这样的问题，即如何依据其中的任意两个量去求取第三个量。例如，就“量的比较”而言，除去两个已知数的直接比较以外，我们显然也可提出：“两个数的差是3，其中较小的数是4，问另一个数是几？”或者“两个数的差是3，其中较大的数是4，问另一个数是几？”我们在此事实上已由“具有明显现实意义的量化模式”过渡到了“可能的量化模式”。综上可见，即使就正整数的加减法此类十分初等的题材而言，就已十分清楚地体现了数学思维的一些重要特点，特别是体现了在现实意义与纯数学研究这两者之间所存在的辩证关系。当然，从理论的角度看，我们在此又应考虑这样的问题，即应当如何去认识所说的纯数学研究的意义。特别是，我们是否应当明确肯定由“日常数学”过渡到“学校数学”的必要性，或是应当唯一地坚持立足于现实生活。由于后一问题的全面分析已经超出了本文的范围，在此仅指明这样一点：与现实意义在一定程度上的分离对于学生很好地把握相应的数量关系是十分重要的。这正是国际上的相关研究、特别是近年来所兴起的“民俗数学”研究的一个重要结论：尽管“日常数学”具有密切联系实际的优点，但也有着明显的局限性。例如，如果仅仅依靠“自发的数学能力”，人们往往就不善于从反面去思考问题，与此相对照，通过学校中的学习，上述的情况就会有很大改变，这就是说，纯数学的研究“在帮助学生学会使用逆运算来解决问题方面有着明显的效果”；另