八年级数学上第一章勾股定理综合难题

C

B A D E

F

八年级数学上第一章勾股定理综合难题

1

一、用面积证明勾股定理（写出每种证明方法）

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

二、勾股定理的应用，A 组：

1．如下图1，圆柱的高为10 cm ，底面半径为2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是

2、如下展开图2，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为 厘米

3．如上图3，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．此时EC 有 4．如上图4，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合， 则EB 的长为 。

5．已知：如下图1，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ．

B

C

A

F

E

D

C

B

A

C

B

C

A

B

E D

则AC 的长为 ．

6、如下图2，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为 。

7、如上图3，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若

21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 。

8．如下图1，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB∶CE＝_________．

9、如下图2，AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ′的位置，若BC ＝2，则BC ′＝_________．

10．如上图3，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合)，在AD 上适当移动三角板顶点P ：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C 若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由．②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，自己做出图形，能否使CE ＝2cm 若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由．

11、如图所示，在Rt ABC ?中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=?=∠=?,且

3BD =,4CE =,求DE 的长.

E

F

B

C ′

B

A

C

D A

C D

12、如图，在△ABC 中，AB=AC=6，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC ·PB+PA 2的值。

13、如图在Rt △ABC 中,3,4,90==?=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：

要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用的黑色签字笔画出正确的图形）

14．如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km ，BD=3km ，CD=3km ，现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD 选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F 。

15．已知：如下图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，

A

B

P C

A

B 小河

东

北

牧童 小屋

2.6m

4m

OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，

AC和BC的距离，等于cm。

16、如上图2，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是

17、如图，已知：?

=

∠90

C，CM

AM=，AB

MP⊥于P．求证：2

2

2BC

AP

BP+

=．

P

M

B

C A

18、如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.

19、a、b为任意正数，且a>b，求证：边长为2ab、 a2－b2、a2+b2的三角形是直角三角形。

B组; 1．在一棵树的10米高B处有两只猴子，如下图1，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，C

O

A B

D

E

F

第15题图

则这棵树高米

2、长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如上图2所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．

3．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是米

4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如上图4所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）．

A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm

5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．

求证：AE2＋BF2＝EF2．

6．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝

CB

4

1

，

求证：AF⊥FE．

7．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．

8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．

9．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长如果从点A 开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长

10、三角形的三边长为

ab c b a 2)(2

2+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形. 11、如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107 千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域．

（1）A 市是否会受到台风的影响写出你的结论并给予说明；（2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长

12、如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险

A

C

13、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。

14、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m 。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒

15、如图，在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 为斜边AB 上的点，且∠DCE=45°。 求证：DE 2=AD 2+BE 2。（提示：把△CAD 旋转到BC 外侧）

E

A

B

16、如下图1所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．则线段EF 的长为 。

A

B

C

D

E

F

D

B

C

A

17、如上图2，在△A BC 中，AB=13，BC=14，A C=15，则BC 边上的高A D= 。 18、如上图3，长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部分△AFC 的面积是 。

19、在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高A D=12，则BC 边的长为 . 20、如上图，∠xoy=60°，M 是∠xoy 内的一点，它到ox 的距离MA 为2。它到oy 的距离MB 为11。则OM 的长为 。

21、在△A BC 中，D 是BC 所在直线上一点，若AB=l0，BD=6，AD=8，AC=17，则△ABC 的面积为 。

22、在△ABC 中，BC=1997，AC=1998，AB 2=1997+1998，则△ABC 是否为直角三角形为什么

23、已知△ABC 的三边a 、b 、c ，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC 是否是直角三角形你能说明理由吗

24、木箱的长、宽、高分别为40dm 、30dm 和50dm ，有一70dm 的木棒，能放进去吗请说明理由。

答案.

A 组13、解：要在Rt △ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三

角

形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。

17、解

析：连结BM ，根据勾股定理，在

中，

. 而在中，则根据勾股定理有

. ∴

又∵

（已知），∴

. 在中，根据勾股定理有

， ∴

. B 组: 14、解析：作AB ⊥MN ，垂足为B 。 在 Rt ΔABP 中，∵∠ABP ＝90°，

∠APB ＝30°， AP ＝160，∴ AB ＝AP ＝80。 （30°所对的直角边等于斜边的一半） ∵点 A 到直线MN 的距离小于100m ，∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶到点C 处学校开始受到影响，那么AC ＝100(m)， 由勾股定理得： BC 2＝1002-802＝3600，∴ BC ＝60。 同理，拖拉机行驶到点D 处学校开始脱离影响，那么，AD ＝100(m)，BD ＝60(m)，∴CD ＝120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h ＝5m/s t ＝120m ÷5m/s ＝24s 。 答：学校受影响的时间为24秒。

F

E

C

A

B

D （15题图）

20、提示，过A 作AC ⊥OX,交OM 于D ，作ME ⊥AC 于E ，可求得AE=1，EC=MB=11， 得AC=12，再求AO ，则可求得OM=14。

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