江苏中考数学热点专题练习动态几何问题

热点专题8 动点几何问题

考向1图形的运动与最值

1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．

【解析】如图，

过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，

∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，

∴，

∵AB＝4，

∴AE＝AB+BE＝4+BE，

∴，

∴BE最大时，最大，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，

过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，∵BD是⊙C的切线，

∴∠GME＝90°，

在Rt△BCD中，BD＝＝5，

∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，

∴△BHC∽△BCD，

∴，

∴，

∴BH＝，CH＝，

∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，

∴△BHG∽△BAD，

∴＝，

∴，

∴HG＝，BG＝，

在Rt△GME中，GM＝EG?sin∠AEP＝EG×＝EG，

而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，

∴GE最大时，BE最大，

∴GM最大时，BE最大，

∵GM＝HG+HM＝+HM，

即：HM最大时，BE最大，

延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，∴GP'＝HP'+HG＝，

过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，

∴BE最大时，点E落在点F处，

即：BE 最大＝BF ，

在Rt△GP 'F 中，FG ＝＝＝＝，

∴BF ＝FG ﹣BG ＝8， ∴

最大值为1+＝3，

故答案为：3．

2. (2019 江苏省无锡市)如图，在ABC ?中，5AB AC ==，BC =，D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ?面积的最大值为 ．

【解析】过D 作DG ⊥BC 于G ，过A 作AN ⊥BC 于N ，过E 作EH ⊥HG 于H ，延长ED 交BC 于M ．

易证△EHD ≌△DGC ，可设DG ＝HE ＝x ，

∵AB ＝AC ＝5，BC ＝AN ⊥BC ，

∴BN ＝

1

2

BC ＝AN ∵G ⊥BC ，AN ⊥BC ， ∴DG ∥AN ， ∴

2BG BN

DG AN

==，

∴BG ＝2x ，CG ＝HD ＝- 2x ；

易证△HED ∽△GMD ，于是HE HD

GM GD =

，x GM =，即MG 2= ，

所以S △BDE

＝ 1

2BM ×HD ＝1

2×(2x 2)×(4

- 2x )＝25

2

x -+＝

2

582x ?-+ ??，

当x 时，S △BDE 的最大值为8． 因此本题答案为8． 3. (2019 江苏省宿迁市)如图，∠MAN ＝60°，若△ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 ．

【解析】如图，过点B 作BC 1⊥AN ，垂足为C 1，BC 2⊥AM ，交AN 于点C 2 在Rt△ABC 1中，AB ＝2，∠A ＝60°

∴∠ABC1＝30°

∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，

在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°

∴∠AC2B＝30°

∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，

当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．

故答案为：＜BC＜2．

4. (2019 江苏省宿迁市)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．

【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动

将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG

从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上

作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值

作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，

则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝

故答案为．

5．(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．

（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；

（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为；

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．

【解析】（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，

∵PB＝4，

∴PB′＝PB＝PA＝4，

∵∠A＝60°，

∴△APB′是等边三角形，

∴AB′＝AP＝4．

故答案为4．

（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．

∵PE∥AC，

∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，

∴△PEB是等边三角形，

∵PB＝5，

∴∵B，B′关于PE对称，

∴BB′⊥PE，BB′＝2OB

∴OB＝PB?sin60°＝，

∴BB′＝5．

故答案为5．

（3）如图3中，结论：面积不变．

∵B，B′关于直线l对称，

∴BB′⊥直线l，

∵直线l⊥AC，

∴AC∥BB′，

∴S△ACB′＝S△ACB＝?82＝16．

（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，

设直线PB ′交AC 于E ，

在Rt△APE 中，∵PA ＝2，∠PAE ＝60°， ∴PE ＝PA ?sin60°＝，

∴B ′E ＝6+

，

∴S △ACB ′的最大值＝×8×（6+

）＝4

+24．

6. (2019 江苏省苏州市) 已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP

＝.如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为t （s ），APM ?的面积为S （cm2），S 与t 的函数关系如图②所示：

（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;

（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、

N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ??与的面积为()()2212,S cm S cm .

①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;

②试探究12S S ?是否存在最大值.若存在，求出12S S ?的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）2/cm s ；10cm

（2）①解：∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴5

7.515 2.5C v

B v

?????≥??＜在点在点

∴2

/6/3

cm s v cm s ≤＜

②如右图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ???+=---（N ）矩形

()

()

515252575102

2

x x ?-?-=---

=15

过M 点做MH ⊥AC ，则12MH CM ==

∴ ∴22S x =

()122152S S x x ?=-+?

=2430x x -+

①（图）

P

B

C

D

A

S （cm2）

t （s ）

②

图O

2.5

7.511

2152

S MH AP x =

?=-+15-2x

2x-5

(N )

=

2

15225 4

44

x

??

--+

?

??

因为

15

2.57.5

4

＜＜，所以当

15

4

x=时，

12

S S?取最大值

225

4

.

7. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥A B．设PQ与AB 之间的距离为x．

（1）若a＝12．

①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；

②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；

（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．

【解析】①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，

四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，

解得：x＝3；

故答案为：3；

②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，

∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，

当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，

作PH⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：

则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，

∵△GDC是等腰直角三角形，

∴DE＝CE，GE＝CD＝10，

∴GF＝GE+EF＝20，

∴GH＝20﹣x，

由题意得：PQ∥CD，

∴△GPQ∽△GDC，

∴＝，

即＝，

解得：PQ＝40﹣2x，

∴梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，

∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；

（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，

梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，∵0≤x≤20，

∴10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，

∵10≤x≤20，二次函数图象开口向下，

∴当x＝20时，S最小，

∴﹣202+×20≥50，

∴a≥5；

综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．

考向2动点与函数的结合问题

1．(2019 江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2＋bx＋c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x＋2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．

（1）求抛物线L1对应的函数表达式；

（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；

（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．

【解析】（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），

将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得

，解得，

∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），

第一种情况：AC为平行四边形的一条边，

①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），

将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得

﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，

解得，x＝0或x＝﹣1，

因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，

此时点P的坐标为（﹣1，0）；

②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得

y＝﹣x2﹣x+2，得

x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2，

解得，x＝3，或x＝﹣，

此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；

第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，

由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），

故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），

将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得

﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2，

解得，x＝0或x＝﹣3，

因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，

此时点P的坐标为（﹣3，12），

综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，

当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，

过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，

过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，

由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，

∴△PSC∽△RTC，

∴，

设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），

所以有，

整理得，x1+x2＝4，

在Rt△PRH中，tan∠PRH＝＝

过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，），

若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，

所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，

所以2m＝，

解得，m＝，

所以点Q坐标为（，﹣7+）或（，﹣7﹣）．

2．(2019 江苏省常州市)已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：

①半径为1的圆：；

②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．

①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；

②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

【解析】（1）①半径为1的圆的宽距离为1，

故答案为1．

②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．

在Rt△ODC中，OC＝＝＝

∴OP+OC≥PC，

∴PC≤1+，

∴这个“窗户形“的宽距为1+．

故答案为1+．

（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．

②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．

∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，

∴当d＝5时．AM＝4，

∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），

当d＝8时．AM＝7，

∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），

∴满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．

当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．

考向3运动过程中的定值问题

1．(2019 江苏省宿迁市)如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．

（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；

（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．

【解析】（1）如图②中，

由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，

∴DE∥AC，

∴＝，

∴＝，

∵∠DBE＝∠ABC，

∴∠DBA＝∠EBC，

∴△DBA∽△EBC．

（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．

理由：如图③中，设AB交CG于点O．