多元函数微分学测试题

1、填空题 1

）00

x x →→=

1

6

-

。

2）设2

y u x =，则du =

22

212ln y y y x dx yx xdy

-+。

3）已知()()222222

220,00

x y xy x y f x y x y x y ?-?

+≠=+??

+=?

，则()0,x f y =y -。

()()()

()2

2

22

00,0,0,lim lim x x x x y y f x y f y f y y x x y ?→?→?-?-===-??+

4）函数1

x

x u y ??

=

???

在点()1,1处的剃度为{}

1,1-。

5）已知2

2

z x y =+在点()01,2P 沿从点()01,2P

到点(12,2P

方向的方向导数是2+。

6）已知曲面z xy =上的点P 处的法线l 平行于直线16321

:212

x y z l ---==

-，则该法线方程为

122

211

x y z -++==

-。 2、解下列各题 1）已知

x y z z ???

= ???

，其中?为可微函数，求z z x y x y ??+??。 解：方程两边微分得

221x y dx dz dy dz z z z z

??''

-=- z z dz dx dy y x y x

???'

-=

+''-- ,z z z z x y x y y x ???'?-?==''?-?- z z x

y z x y

??+=?? 2）设,y x z xf yg x x y ????

=+ ? ????

?，其中,f g 均为二阶可微函数，求2z x y ???。

解：

121221z y y f xf y g g f f yg g x x y x ?????

''''''=+-++=-++ ? ??????

2112222211

1z y x x f f f g yg g x y x x x x y y ?????????'''''''''=--++-+- ? ? ? ???????????

112222

2y x x f g g g x y y

'''''''=-

+-- 3）设函数(),u x y 有连续的偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式

cos ,sin x r y r θθ==，将u u

x

y y x

??-??变化为,r θ下的表达式 解： 因为

sin cos u u x u y u u u u

r r y x x y x y x y

θθθθθ?????????=+=-+=-+?????????，所以 u u u x

y y x θ

???-=???。 4）已知()(),,,z f x y x y z ?==，其中,f ?均为可微函数，求dz

dx

。 解：利用全微分的不变形计算，方程两边微分可得

,x y y z dz f dx f dy dx dy dz ??=+=+

消去dy 可得

y y y x z y dz f dx f dx f dz ???-=-

y y x

y z y

f f dz dx f ???+=

+ 5）设n 是曲面2

2

2

y z x =+在点()1,2,3P 处指向外侧的法向量，求函数

u =

P 点处沿方向n 的方向导数。 解：设()2

2

,,2

y F x y z x z =+- 2,,1x y z F x F y F ===- 2,2,1x

P

y

P

z

P

F F F ===-，如图容易看出n 与z 正方向的夹角为钝角，其z

轴坐

标为负，所以

{}2212,2,1,

,,333n n n ??=-=-????

1

2

2

2

2222

2

133332u x y z x y z x x x -???++--= ????，1222

2

13362u x y z y y x x

-

??

?++= ????

1222

2

1332

2u x y z z z x

x

-

???++

= ????

,,

P

P

P

u

u u

x y

z

???

==

=

??

?

221333P

u l

?=+-=?6）设(),z z x y =是由方程()2

2

x y z x y z ?+-=++所确定的函数，其中?可导，求dz 。 解：方程两边微分得

()22xdx ydy dz dx dy dz ?'+-=++

2211x y dz dx dy ????

''

--=

+''++ 7）设z

e xyz =，求22z

x

??。

解：方程两边关于x 求导得

11

z

z z z z yz z z e yz xy x x x x e xy xz x z -???=+?===???--- ()()()

22232222211111111z z z z z z x x z x x z z x z -+?-=-+=-?---- 3、在椭球面()0z 0y 0x 122

2222>>>=++,,c

z b y a x 上找一点，使过该点的切平面与三

坐标平面所围成的四面体的体积最小。

解：设()

000z y x ,,为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为

()()()0222020

020020=-+-+-z z c

z y y b y x x a x 化成截距式方程

12202202200

20202=++=++c z b y a x z c z

y b y x a x 此切平面与坐标面围成四面体的体积为()0

002

61z y x abc V =。（下面我们去掉下标0）

要求()xyz

abc V 2

61=满足条件()0z 0y 0x 1222222>>>=++,,c z b y a x 的最小值，只需求()xyz z ,y ,x f =满足条件()0z 0y 0x 122

2222>>>=++,,c

z b y a x 的最大值。

由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点

()???

?

??-+++=1222222c z b y a x λxyz λ,z ,y ,x F

()()()()

?????????????

=++=+==+==+=4130

220

210222

222

2222c z b y a x c z

xy F b y

xz F a x

yz F z y x λλλ

()()()z y x ?+?+?321得023xyz =+λ

由此得3

3

32

2

22

22

c z ,b y ,a x ===，所以c z ,b y ,a x 333333=== 当c z ,b y ,a x 333333===

时，有最小体积，最小体积为abc 2

3。 4、设()()22222221sin 0,00

x y x y x y f x y x y ?

++≠?+=??+=?

1）求

,f f x y

????； 2）

,f f

x y

????是否在原点连续？(),f x y 在原点是否可微？说明理由。 解：1）当2

2

0x y +≠时，

()()()2

2222222211

2sin cos

x x y f x y x x y x y x y +?=+-?+++ ()()()

2

22222222112sin cos y x y f x y y x y x y x y +?=+-?+++ 当2

2

0x y +=时， ()()()20

0,00,01

0,0lim

lim sin 0x x x f x f f x x x ?→?→?-==?=?? ()()()20

00,0,01

0,0lim

lim sin 0y y y f y f f y y y

?→?→?-==?=?? 2）考虑()()()222222002200211lim lim 2sin cos x x y y x x y f x y x x y x y x y →→→→??+???=+-???+++??

当x y =时，2000

2

1lim

lim cos 2x x y f x x x →→→???=-?????不存在，所以f x ??在原点不连续；

同理可得

f

y

??在原点不连续。 又因为

2

22

0,00,01

lim

lim

x x y y z f x f y

x y x y ?→?→?→?→?-?-??+?=?+?

2

2001lim sin 0x y x y ?→?→?==?+?（有界量与无穷小的积还是无穷小），所以(),f x y 在原点可微。

5、已知,,x y z 为常数，且2

3x

e y z ++=，求证：2

1x

e y z ≤

证明：设2

,,x

a e

b y

c z ===，此问题变为求函数(),,f a b c abc =满足条件

3a b c ++=的最大值，其中,,a b c 都大于或等于零。考虑函数

()()

,,3F a b c abc a b c λ=+++-

0003

bc ac ab a b c λλλ+=??+=?

?

+=??++=?解此方程组可得1,3,0a b c a b c ====== 所以所求最大值为1

及有23x e y z ++=时，21x e y z ≤。

方法二、求()

223x x e y e y --在2

3x e y +≤内的最大值。 方法三、利用均值不等式。

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