第六章概率分布
第六章概率分布
一、单选题
1．在人格测验上的分数形成正态分布μ= 80，σ=12，一个随机样本n=16，其均值大于85的概率是（）。
A. 2.52%
B. % c. % D. %
2．让64位大学生品尝A.、B两种品牌的可乐并选择一种自己比较喜欢的。如果这两种品牌的可乐味道实际没有任何区别，有39人或39人以上选择品牌B的概率是（不查表）：
（）
A.2.28% .01% D. %
3. 某个单峰分布的众数为15，均值是10，这个分布应该是( )
A．正态分布 B．正偏态分布 C．负偏态分布 D．无法确定
4．一个单项选择有48道题，每题有四个备选项，用α=单侧检验标准，至少应对多少题成绩显著优于单凭猜测（）。
A．16题 B．17题 C．18题题
5. 在一个二择一实验中，被试挑12次，结果他挑对10次，那么在Z值等于（）
A.4.05
B.2.31
C.
D.
6. 某班200人的考试成绩呈正态分布，其平均数=l2，S=4分，成绩在8分和16分之间的人数占全部人数的（）。
% D. 95%
7. 在一个二择一实验中，被试挑12次，结果他挑对10次，那么在Z=（X-M）/S这个公式中X应为（）
.10 C D.
8. 在处理两类刺激实验结果时，在下列哪种情况下不可以用正态分布来表示二项分布的近似值（）
<10 >=10 C.N>30 D. N>10
9. t分布是平均数的对称的分布，当样本n趋于∞时，t分布为（）
A. 二项分布
B. 正态分布
C. F分布
D. 2分布
10. 概率和统计学中，把随机事件发生的可能性大小称作随机事件发生的（）
A.概率
B.频率
C.频数
D. 相对频数
11. 在一次实验中，若事件B的发生不受事件A的影响，则称AB两事件为（）
A.不影响事件
B.相容事件
C.不相容事件
D. 独立事件
12. 正态分布由（）于1733年发现的
A.高斯
B.拉普拉斯
C.莫弗
D. 高赛特
13. 在正态分布下，平均数上下个标准差，包括总面积的（）
% % D. %
14. 在次数分布中，曲线的右侧部分偏长，左侧偏短，这种分布形态可能是（）
A．正态分布 B．正偏态分布 C．负偏态分布 D．常态分布
15. 一个硬币掷10次，其中5次正面向上的概率是（）
A． B．0.5 C． D．
16. t分布是由（）推导出来的
A.高斯
B.拉普拉斯
C.莫弗
D. 高赛特
17. 一个硬币掷3次，出现两次或两次以上正面向上的概率是（）
A．1/8 B．1/2 C．1/4 D．3/8
18. 有十道正误题，答题者答对（）题才能认为是真会
A．5 B．6 C．7 D．8
19. 有十道多项选择题，每题有5个答案，其中只有一个是正确的，那么答对（）题才能认为是真会
A．4 B．5 C．6 D．7
20. 正态分布的对称轴是过（）点垂线。
A．平均数 B．众数 C．中数 D．无法确定
21．在正态分布下Z=1以上的概率是（）
A. 0.34 B ．0.16 C ． D.
22. 在正态分布下Z=到Z=之间的概率为（ ）。
A. B ．0.95 C ． D.
23. 从n= 200的学生样本中随机抽样，已知女生为132人，问每次抽取一人，抽到男生的概率是（ ）
A. B ．0.34 C ． D.
24. 两个骰子掷一次，出现两个相同点数的概率是（ ）
A. 0.17
B. 0.083
C.
D.
25. 如果由某一次数分布计算得SK>0，则该次数分布为（ ）
A ．高狭峰分布
B ．低阔峰分布
C ．负偏态分布
D ．正偏态分布
26. 在正态总体中随机抽取样本，若总体方差已知，则样本平均数的分布为（ ）
A ．t 分布
B ．F 分布
C ．正态分布
D ．
χ2分布 27. 从正态分布总体中随机抽取样本，若总体方差
σ2未知，则样本平均数的分布为( )
A.正态分布
B.χ2分布 分布 分布
28. 下面各组分布中，不因样本容量的变化而变化的分布是（ ）
A.正态分布 分布 C. χ2分布 分布
29. t 分布是关于平均值0对称的分布，当样本容量n 趋于∞时，t 分布为（ ）
A.正态分布
B. t 分布
C. χ2分布
D. F 分布
30. 总体呈正态分布，方差已知时，样本平均数分布的方差与总体方差间的关系为（ ） A.σx 2 =n σ2 B. σx 2=n σ2 C. σx 2=n σ D. σx 2=n
σ 31. F 分布是一个正偏态分布，其分布曲线的形式随分子、分母自由度的增加而（ ）
A.渐近χ2分布
B.渐近二项分布
C.渐近t 分布
D. 渐近正态分布
32. 设A 、B 为两个独立事件，则P(A ·B)为（ ）
A. P(A)
B. P(B)
C. P(A)·P(B)
D. P(A)+P(B)
33. 样本容量均影响分布曲线形态的是（）
A. 正态分布和F分布
B. T分布和T分布
C. 正态分布和T分布
D. 正态分布和 2分布
34. 正态曲线与x轴所围成区域的面积为（）
A. 0.5
B. 0.99
C. 1
D.
35. 对随即现象的一次观察为一次（）
A. 随机实验
B. 随机试验
C. 教育与心理实验
D. 教育与心理试验
36. 如果由某一次数分布计算得SK=0，则该次数分布为（）
A. 对称分布
B. 正偏态分布
C. 负偏态分布
D. 低阔峰分布
37. t分布比标准正态（）
A. 中心位置左移，但分布曲线相同
B. 中心位置右移，但分布曲线相同
C. 中心位置不变，但分布曲线峰高
D. 中心位置不变，但分布曲线峰低，两侧较伸展
38. 一批数据中各个不同数值出现次数情况是（）
A. 次数分布
B. 概率密度函数
C. 累积概率密度函数
D. 概率
参考答案
二、多选题
l、依分布函数的来源，可把概率分布划分为（）
A. 离散分布 B．连续分布 C．经验分布 D. 理论分布2．使用正态分布表，可以进行的计算有( )
A．根据Z分数求概率 B．根据概率求Z分数
C. 根据概率求概率密度
D. 根据Z值求概率密度
3. 检验次数分布是否正态的方法有（）
A. 皮尔逊偏态量数法 B．累加次数曲线法 C．峰度偏度检验法 D. 直方图法
4. 正态分布中，如果平均数相同，标准差不同，那么（）
A. 标准差大的正态曲线形式低阔 B．标准差大的正态曲线形式高狭
C. 标准差小的正态曲线形式低阔 D．标准差小的正态曲线彤式高狭
5. 正态分布曲线下，标准差与概率（面积）有一定的数量关系，即（），
A. 平均数上下一个标准差包括总面积的%
B. 平均数上下个标准差包括总面积的95%
C. 平均数上下个标准差包括总面积的99%
D. 平均数上下3个标准差包括总面积的%
6. 二项实验满足的条件有（）
A. 任何一个实验恰好有两个结果
B. 共有n次实验，并且n是预先给定的任一整数
C. 每次实验可以不独立
D. 每次实验之间无相互影响
7. 下列关于二列分布正确的是（）
A. 当p=q时图形是对称的
B. 二项分布不是离散分布，概率直方图是越阶式的
C. 当p q时图形呈偏态
D. 二项分布的极限分布为正态分布
8. 下列条件下的样本平均数的分布为正态分布的是（）
A．总体分布为正态，总体方差已知
B．总体分布非正态，总体方差已知，样本n >30
C．总体分布为正态，总体方差未知
D．总体分布非正态，总体方差未知，样本n >30
9．下列条件下的样本平均数的分布为t分布的是（）
A. 总体分布为正态，总体方差已知
B. 总体分布非正态，总体方差已知，样本n>30
C．总体分布为正态，总体方差未知
D．总体分布非正态，总体方差未知，样本n> 30
10. 下列关于t分布正确的是（）
A．t分布的平均数是0
B．t分布是以平均数0左右对称的分布
C．当样本容量趋于无穷大时t分布为正态分布，方差为l
D．当n-1>30以上时，t分布接近正态分布，方差小于1
11. 下列不属于χ2分布特点的是( )
A．χ2分布是一个正偏态分布，正态分布是其中的特例
B. χ2值是正值
C. χ2分布具有可加性，但χ2分布的和不一定是χ2分布
D. 如果df >2，这时χ2分布的方差为df
12. 下面是F分布特点的是（）
A．F分布是一个正偏态分布
B．F分布具有可加性，F分布的和也是一个F分布
C．F总为正值
D．当组间自由度为1时，F检验与t检验的结果相同
13. 心理与教育研究中，最常用的统计分布类型有（）
A. 正态分布 B．t分布 C．χ2分布 D. F分布
14. 以下各分布中，因样本容量的变化而变化的分布是（）
A. 正态分布 B．t分布 C．χ2分布 D. F分布
参考答案：
概率分布和抽样分布
Stata软件基本操作和数据分析入门 第三讲概率分布和抽样分布 赵耐青 概率分布累积函数 1.标准正态分布累积函数norm(X) 2.t分布右侧累积函数ttail(df，X) ，其中df是自由度 3.χ2分布累积函数chi2(df，X) ，其中df是自由度 4.χ2分布右侧累积函数chi2tail(df，X) ，其中df是自由度 5.F分布累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母 自由度 6.F分布右侧累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为 分母自由度 累积函数的计算使用 正态分布计算 X服从N(0,1)，计算概率P(X<1.96) display 可简写为di，如：di norm(1.96)，同样可以得到上述结果。X服从N(0,1)，计算概率P(X>1.96)，则 X服从N(μ,σ2)，则~(0,1) =，因此对其他正态分布只要在函 Y N σ
数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。 例如：X服从N(100,62)，计算概率P(X<111.76)，则操作如下 又如X服从N(100,62)，计算概率P(X>90)，操作如下 χ2分布累积概率计算 设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下 设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下 χ2分布右侧累积概率计算 设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下 设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下
t分布右侧累积概率计算 设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t>2.2)，操作如下 设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t<－2)，操作如下 F分布累积概率计算 设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下： 设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下： F分布右侧累积概率计算 设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下： 设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：
概率论中几种具有可加性的分布及其关系
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 引言 (1) 1几种常见的具有可加性的分布 (1) 二项分布 (2) 泊松分布（Possion分布） (3) 正态分布 (4) 伽玛分布 (6) 柯西分布 (7) 卡方分布 (7) 2具有可加性的概率分布间的关系 (8) 二项分布的泊松近似 (8) 二项分布的正态近似 (9) 正态分布与泊松分布间的关系 (10) 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11) 3小结 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)
概率论中几种具有可加性的分布及其关系 摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词概率分布可加性相互独立特征函数 SeveralKindsofProbabilityDstributionanditsRelationshipwithAdd itive 'scentrallimittheorem,andsoon,hascarriedonthedifferentlevelsofdiscussion. KeyWords probabilitydistributionadditivitypropertymutualindependencecharacteristicfunction 引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等. 1几种常见的具有可加性的分布 在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]： ①离散场合的卷积公式设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是 n k a k P k ,1,0,)(???===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ???===ξ则ξζ?+=的概率分布列可表示为 ②连续场合的卷积公式设连续型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的密度函数分别是 )(),(y f x f ξζ，则它们的和ξζ?+=的密度函数如下 其证明如下： ξζ?+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F z y x )()()()(ξζ?ξζ??≤+= ≤+= 其中)(x F ζ为ζ的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到ξζ?+=的密度函数：
概率与概率分布
第六章概率与概率分布 本章是推断统计的基础。 主要内容包括：基础概率，概率的数学性质，概率分布、期望值与变异数推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。 第一节基础概率 概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？ 例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子连掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚掷24次，出现一次双6 的机会却很少。 概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667—1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯(1749—1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后，法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。 1、随机现象和随机事件 概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。
2021考研概率统计全考点习题册(第三讲)(1)
第三讲 多维随机变量及其分布 3.1 设随机变量X 在1,2,3,4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y 在1 X 中等可能地取一整数值，求),(Y X 的分布律. 3.2 设10件产品中有2件一级品，7件二级品，1件次品. 从中任取3件，用X 表示其中的一级品数，用Y 表示其中的二级品数，求()X ,Y 的分布律与边缘分布律.3.3 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从12,,,X ???中任取一个数，记为，则{}2P Y _____==. 3.4 设()X ,Y 的概率密度为()(),0,0,0,x y Ce x y f x y ?+?≥≥?=???其他 ，求： （1）常数C 的值；（2）{}01,01P X Y <<<<. 3.5 设二维随机变量的概率密度为（1）求常数；（2）计算. 3.6 设平面区域D 由曲线及直线所围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则关于X 的边缘概率密度在处的 值为 . 3.7 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为else x y e y x f x <
2 2 22),(y xy x Ae y x f ?+?=，,x y ?∞<<+∞?∞<<+∞ 求常数A 以及条件概率密度() Y X f y x . 3.9 设(),X Y 是二维随机变量，X 的边缘概率密度()23,01 0, X x x f x else ?<<=??， 在给定()01X x x =<<的条件下，Y 的条件概率密度为 ()2 33,00,Y X y y x f y x x else ?<． 3.10 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为()26,,0,x y x f x y else ?≤≤=??，求边缘概率 密度. 3.11 设数X 在区间()0,1上随机地取值，当观察到()01X x x =<<时，数Y 在区间(),1x 上随机地取值，求Y 的概率密度()Y f y . 3.12 设二维随机变量()Y X ,关于的条件概率密度为 ，的边缘概率密度为， 求：（1）的概率密度；（2）关于的边缘概率密度； （3）条件概率密度()x y f X Y ||；（4）. ()(),X Y f x f y Y ()2 3|3,0|0,X Y x x y f x y y ?< ????
2021届高考数学二轮总复习层级二专题五概率与统计第三讲随机变量及其分布列学案理含解析
第三讲随机变量及其分布列 1．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________. 解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.96 2．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0
概率论中几种常用重要分布
概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常 用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那 么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值
统计学习题 第六章 概率与概率分布
第六章 概率与概率分布 第一节 概率论 随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法 第二节 概率的数学性质 概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提 第三节 概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数 一、填空 1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ 机会均等 ）。 2．分布函数)(x F 和)(x P 或 )(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，)(x F 累计的是（ 概率 ）。 3．如果A 和B （ 互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。 4．（ 大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。 5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ 无偏性 ）、（ 一致性 ）、（ 有效性 ）。 6．抽样设计的主要标准有（ 最小抽样误差原则 ）和（ 最少经济费用原则 ）。 7．在抽样中，遵守（ 随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ 正比 ），与样本容量的平方根成（ 反比 ）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（ 增大到16倍 ）。 9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（ 互斥 ）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．古典概率的特点应为（A ） A 、基本事件是有限个，并且是等可能的； B 、基本事件是无限个，并且是等可能的； C 、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；
考研数学概率论重要知识点梳理
2017考研数学：概率论重要知识点梳理 来源：文都图书 概率论在历年考研数学真题中特点比较明显。概率论与数理统计对计算技巧的要求低一些，一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。所以考生应在这门中尽量做到那全分，这样才能保证数学的分数，下面我们整理了一些概率论的重要知识点： 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，考生务必引起重视， 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布 其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质
(4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理 其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。 第六部分：数理统计的基本概念 (1)总体与样本 (2)样本函数与统计量 (3)样本分布函数和样本矩 其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵活运用解决此类问题不在话下 第七部分：参数估计 (1)点估计 (2)估计量的优良性 (3)区间估计
第5、6章习题常用的概率分布
常用的概率分布 一、正态分布 概率密度函数：22 2)(21)(σμπσ--=x e x f 正态分布曲线的特点：在μ=x 处最高，两个参数（σμ,），曲线下面积等于1。 正态分布的应用：确定正常值范围 二、二项分布 概念：服从伯努力试验序列的试验，在n 次实验中发生阳性结果的次数为x 次的概率为二项分布，x n x x n c x P --=) 1()(ππ。 二项分布的特点：图形的形态取决于n 和?。 阳性率：n x p =， 标准差 ：n p ) 1(ππσ-= 二项分布的应用：计算二项分布中出现阳性次数最多为k 次或者是至少为k 次的概率。 三.Poisson 分布 概念：Poisson 分布看作二项分布的特例，单位空间、单位面积或单位时间内某稀有事件发生次数的概率分布. μμ-=e x x P x !)( Poisson 分布的特点：图形的形态取决于 ? , 总体均数
等于方差， 具有可加性。 注意： 凡个体间有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或Poisson 分布。 应用：计算Poisson 分布中某稀有事件出现次数最多为k 次或者是至少为k 次的概率。 ∑ ∑-+----=-+-222)2()2)(1(2)1())2()1((μμμμμμy y x x y x 案例分析： （一）观察某地100名12岁男孩身高，均数为138.00cm ，标准差为 4.12cm ，12 .400.13800.128-=u ，则9925.0)(1=-u φ，结论正确是_____________。 A ．理论上身高低于138.00cm 的12岁男孩占%。 B ．理论上身高高于138.00cm 的12岁男孩占% C ．理论上身高在128.00cm 和138.00cm 之间的12岁男孩占%。 D ．理论上身高高于128.00cm 的12岁男孩占% （二）研究人员为了解该地居民发汞（?mol/kg ）的基础水平，为汞污染的环境监测积累资料，调查了居住该市1年以上，无明显肝、肾疾病，无汞作业接触史的居民230人，数据如下：
概率与概率分布(一)
第六章 概率与概率分布（一） 第一节 概率论 随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法 第二节 概率的数学性质 概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提 第三节 概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数 一、填空 1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ 机会均等 ）。 2．分布函数)(x F 和)(x P 或 )(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所 不同的是，)(x F 累计的是（ 概率 ）。 3．如果A 和B （ 互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。 4．（ 大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。 5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ 无偏性 ）、（ 一致性 ）、（ 有效性 ）。 6．抽样设计的主要标准有（ 最小抽样误差原则 ）和（ 最少经济费用原则 ）。 7．在抽样中，遵守（ 随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ 正比 ），与样本容量的平方根成（ 反比 ）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（ 增大到16倍 ）。 9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（ 互斥 ）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．古典概率的特点应为（A ） A 、基本事件是有限个，并且是等可能的； B 、基本事件是无限个，并且是等可能的； C 、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；
考试练习题常用概率分布教学提纲
考试练习题常用概率 分布
第四章 选择题： 1．二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。 A ．n > 50 B ．π=0.5 C ．n π=1 D ．π=1 E ．n π> 5 2．满足 时，二项分布B （n,π）近似正态分布。 A ．n π和n （1－π）均大于等于5 B ．n π或n （1－π）大于等于5 C ．n π足够大 D ．n > 50 E ．π足够大 3. 的均数等于方差。 A ．正态分布 B ．二项分布 C ．对称分布 D ．Poisson 分布 E ．以上均不对 4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是 。 A ．－∞到+1.96 B ．－1.96到+1.96 C ．－∞到+2.58 D ．－2.58到+2.58 E ．－1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为 。 A ．n （1－π） B ．（n －1）π C ．n π（1－π） D ．n π 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为 。 A . B . （1-π）（1-π）（ -）π1 C . D . π（1-π）（π 7.设X 1,X 2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson 分布,且X 1与X 2独立,则X 1+X 2服从以 为方差的Poisson 分布。 A . B .λ2λ12+2λ 2λ1+ C . D . 2λ2λ1+（） 2λ2λ1+（） E .λ2λ12+2 8．满足 时，Poisson 分布Ⅱ（λ）近似正态分布。
A．λ无限大 B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5 9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。 A．n很大且π接近0 B．n→∞ C．nπ或n（1－π）大于等于5 D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5 10．关于泊松分布，错误的是。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则 X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。 11．以下分布中，均数等于方差的分布是。 A．正态分布 B．标准正态分布 C．二项分布 D．Poisson分布 E．t 分布 12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ 2），X与Y独立，则X－Y服从。 2 A．N（μ1+μ2，σ12－σ22） B．N（μ1－μ2，σ12－σ22） C．N（μ1－μ2，σ12+σ22） D．N（0，σ12+σ22） E．以上均不对 13．下列叙述中，错误的是。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1
连续型随机变量的分布与例题讲解
连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于 任意的实数 x，有F ( x)x f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量， 的概率密度函数，简称概率密度。 注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。 1) f( x)≥ 0 + f ( x) dx = 1 2) ò-x 2 3)P{x 1 < X ? x 2 }òx1 f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 ) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0. （但 { X=x} 并不一定是不可能事件） 因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X 离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ??????、ξ取每一个值 ()1,2,i x i =???的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=???，；12(2) 1P P ++ = 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即 1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+= + 知识点三：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列. 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生 婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 知识点四：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 (),0,1,,min{,},,,.k n k M N M n N C C P X k k m m M n n N M N C --===???=≤≤其中称超几何分布列. ξ 1x 2 x … i x … P 1 p 2 p … i p … X 0 1 P 1P - P X 0 1 ??? m P n N n M N M C C C 00-- ??? ??? n N m n M N m M C C C -- 概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为 随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全 体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。 运算律： 设A，B，C为事件，则有 （1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA （2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC （4）德摩根律：B A = A B = A B A B 目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布） Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的 概率论与数理统计中的三种重要分布 摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。 关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质 一、二项分布 二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生 这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。 （一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布) 1．泊努利试验 在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。 为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = () q p A P =-=1。 2．泊努利分布 定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数， 则??? ? ??ξp q 10 ~，称ξ服从参数为)10(< 伯努利试验、泊松过程、独立同分布生成 的重要分布 敖登 （内蒙古大学数学科学学院2010级数理基地，01008104） 摘要 本文是一篇读书报告。主要研究了伯努利试验与二项分布的关系，泊松过程生成泊松分布的过程和在泊松条件下的埃尔朗分布，正态分布的生成用到的独立同分布以及均匀分布生成任意分布的重要性质。 关键词：伯努利试验泊松分布独立同分布均匀分布的生成性 Important in theory of probability distribution of exploration Author：Ao Deng Tutor: Luo Cheng (School of Mathematical sciences ,Huhhot Inner Mongolia 01008104 ) Abstract This article mainly discusses the theory of several common distribution (0-1) distribution, binomial distribution, poisson distribution and uniform distribution, exponential distribution, normal distribution and normal distribution out three kinds of important distribution, distribution, distribution and the distribution of the source and the relationship among them and their application in actual. Key words: random variable; The discrete distribution ;Continuous distribution 专题七概率与统计第三讲概率、随机变量及分布列适考素能特训 理 一、选择题 1．[2016·合肥质检]某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为( ) A.9 16 B. 27 64 C. 81 256 D. 7 16 答案A 解析由题意得，所有的基本事件总数为44＝256，若恰有一个项目未被抽中，则说明4名职工总共抽取了3个项目，符合题意的基本事件数为C34·C13·C24·A2＝144，故所求概率P ＝144 256 ＝ 9 16 ，故选A. 2．[2016·武昌调研] 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲 线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A．1193 B．1359 C．2718 D．3413附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ C.58 D.34 答案 D 解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋3，要使函数f (x )在R 上单调递增，则3x 2＋2mx ＋3≥0在R 上恒成立，即Δ＝4m 2－36≤0，解得－3≤m ≤3，所以所求概率为3－－4－－＝34 ，故选D. 4．[2016·湖北二联]先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x ＋ y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于( ) A.13 B.12 C.16 D.14 答案 A 解析 本题考查条件概率．由题意可得 P (A )＝3×3＋3×36×6＝12，P (AB )＝3×26×6＝16 ， 则P (B |A )＝ ＝1612＝13 ，故选A. 5．[2016·石家庄质检]小明准备参加电工资格证考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试机会．在理论考试环节，若第1次考试通过，则直接进入操作考试；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过 的概率为34，每次操作考试通过的概率为23 ，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中，共参加3次考试的概率是( ) A.13 B.38 C.23 D.34 答案 B 解析 本题考查概率的计算．由题意得参加3次考试包括第一次理论考试通过且第一次操作考试不通过和第一次理论考试不通过且第二次理论考试通过且第一次操作考试通过两种 情况，所以所求概率为34×13＋14×34×23＝38，故选B. 二、填空题 连续型随机变量的分布 (一)连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X),若存在非负函数f(x),使 对于任意的实数x,有F(W(M，则称X为连续性随机变量，f(x)称 为X的概率密度函数，简称概率密度。 注：尺劝表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为 lo 2 .密度函数f(x)的性质：注：不是概率。 1)??f(x)M0?? 2)? j f(x)dx = \ 3)P{x, < X < x2} = ~f(x)(/x =F(x2) -F(Xj) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{X = x} = 0.(但{脸力并不一定是不可能事件) 因此PQWXWb)二P(a 注：iv)与离散型随机变量不同, 易知 学大选修2-3 第二章第三讲随机变量及其分布,条件概率(自己写的)
概率论知识点的总结
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论中几种常用的重要的分布
高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题七概率与统计第三讲概率随机变量及分布列适考素能特训理
连续型随机变量的分布与例题讲解