武汉市初一上学期数学 压轴题 期末复习试卷带答案
武汉市初一上学期数学 压轴题 期末复习试卷带答案
一、压轴题
1.如图1,O 为直线AB 上一点,过点O 作射线OC ,∠AOC =30°,将一直角三角板(其中∠P =30°)的直角顶点放在点O 处,一边OQ 在射线OA 上,另一边OP 与OC 都在直线AB 的上方.将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周. (1)如图2,经过t 秒后,OP 恰好平分∠BOC . ①求t 的值;
②此时OQ 是否平分∠AOC ?请说明理由;
(2)若在三角板转动的同时,射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,如图3,那么经过多长时间OC 平分∠POQ ?请说明理由;
(3)在(2)问的基础上,经过多少秒OC 平分∠POB ?(直接写出结果).
2.已知长方形纸片ABCD ,点E 在边AB 上,点F 、G 在边CD 上,连接EF 、EG .将∠BEG 对折,点B 落在直线EG 上的点B ′处,得折痕EM ;将∠AEF 对折,点A 落在直线EF 上的点A ′处,得折痕EN .
(1)如图1,若点F 与点G 重合,求∠MEN 的度数;
(2)如图2,若点G 在点F 的右侧,且∠FEG =30°,求∠MEN 的度数; (3)若∠MEN =α,请直接用含α的式子表示∠FEG 的大小. 3.已知AOD α∠=,OB 、OC 、OM 、ON 是AOD ∠内的射线.
(1)如图1,当160α=?,若OM 平分AOB ∠,ON 平分BOD ∠,求MON ∠的大小; (2)如图2,若OM 平分AOC ∠,ON 平分BOD ∠,20BOC ∠=?,60MON ∠=?,求
α.
4.综合与探究问题背景数学活动课上,老师将一副三角尺按图(1)所示位置摆放,分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM、ON,然后提出如下问题:求出∠MON的度数.
特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题,他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放,OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的角平分线.其中,按图2方式摆放时,可以看成是ON、OD、OB在同一直线上.按图3方式摆放时,∠AOC和
∠BOD相等.
(1)请你帮助“兴趣小组”进行计算:图2中∠MON的度数为°.图3中
∠MON的度数为°.
发现感悟
解决完图2,图3所示问题后,“兴趣小组”又对图1所示问题进行了讨论:
小明:由于图1中∠AOC和∠BOD的和为90°,所以我们容易得到∠MOC和∠NOD的和,这样就能求出∠MON的度数.
小华:设∠BOD为x°,我们就能用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数,这样也能求出∠MON的度数.
(2)请你根据他们的谈话内容,求出图1中∠MON的度数.
类比拓展
受到“兴趣小组”的启发,“智慧小组”将三角尺按图4所示方式摆放,分别作出
∠AOC、∠BOD的平分线OM、ON,他们认为也能求出∠MON的度数.
(3)你同意“智慧小组”的看法吗?若同意,求出∠MON的度数;若不同意,请说明理由.
5.如图,从左到右依次在每个小方格中填入一个数,使得其中任意三个相邻方格中所填数
之和都相等. 6
a
b
x
-1
-2 ...
(1)可求得 x =______,第 2021 个格子中的数为______; (2)若前 k 个格子中所填数之和为 2019,求 k 的值;
(3)如果m ,n 为前三个格子中的任意两个数,那么所有的|m -n | 的和可以通过计算|6-a |+|6-b|+|a -b|+|a -6| +|b -6|+|b -a| 得到.若m ,n 为前8个格子中的任意两个数,求所有的|m-n|的和.
6.已知:OC 平分AOB ∠,以O 为端点作射线OD ,OE 平分AOD ∠. (1)如图1,射线OD 在AOB ∠内部,BOD 82∠=?,求COE ∠的度数. (2)若射线OD 绕点O 旋转,BOD α∠=,(α为大于AOB ∠的钝角),
COE β∠=,其他条件不变,在这个过程中,探究α与β之间的数量关系是否发生变化,
请补全图形并加以说明.
7.某商场在黄金周促销期间规定:商场内所有商品按标价的50%打折出售;同时,当顾客在该商场消费打折后的金额满一定数额,还可按如下方案抵扣相应金额:
说明:[
)a,b 表示在范围a b ~中,可以取到a ,不能取到b .
根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠:打折优惠与抵扣优惠. 例如:购买标价为900元的商品,则打折后消费金额为450元,获得的抵扣金额为30元,总优惠额为:()900150%30480?-+=元,实际付款420元.
(购买商品得到的优惠率100%)=
?购买商品获得的总优惠额
商品的标价
,
请问:
()1购买一件标价为500元的商品,顾客的实际付款是多少元? ()2购买一件商品,实际付款375元,那么它的标价为多少元?
()3请直接写出,当顾客购买标价为______元的商品,可以得到最高优惠率为______.
8.如图,数轴上点A 表示的数为4-,点B 表示的数为16,点P 从点A 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t 秒(t 0)>.
()1A ,B 两点间的距离等于______,线段AB 的中点表示的数为______;
()2用含t 的代数式表示:t 秒后,点P 表示的数为______,点Q 表示的数为______; ()3求当t 为何值时,1PQ AB 2
=?
()4若点M 为PA 的中点,点N 为PB 的中点,点P 在运动过程中,线段MN 的长度是否发
生变化?若变化,请说明理由;若不变请直接写出线段MN 的长.
9.对于数轴上的点P ,Q ,给出如下定义:若点P 到点Q 的距离为d(d≥0),则称d 为点P 到点Q 的d 追随值,记作d[PQ].例如,在数轴上点P 表示的数是2,点Q 表示的数是5,则点P 到点Q 的d 追随值为d[PQ]=3. 问题解决:
(1)点M ,N 都在数轴上,点M 表示的数是1,且点N 到点M 的d 追随值d[MN]=a(a≥0),则点N 表示的数是_____(用含a 的代数式表示);
(2)如图,点C 表示的数是1,在数轴上有两个动点A ,B 都沿着正方向同时移动,其中A 点的速度为每秒3个单位,B 点的速度为每秒1个单位,点A 从点C 出发,点B 表示的数是b ,设运动时间为t(t>0).
①当b=4时,问t 为何值时,点A 到点B 的d 追随值d[AB]=2; ②若0 10.已知∠AOB 和∠AOC 是同一个平面内的两个角,OD 是∠BOC 的平分线. (1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如图(1),图(2),求∠AOD 的度数; (2)若∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n <<,<<,<+且m n <,求∠AOD 的度数(结果用含m n 、的代数式表示),请画出图形,直接写出答案. 11.从特殊到一般,类比等数学思想方法,在数学探究性学习中经常用到,如下是一个具体案例,请完善整个探究过程。 已知:点C 在直线AB 上,AC a =,BC b =,且a b ,点M 是AB 的中点,请按照 下面步骤探究线段MC 的长度。 (1)特值尝试 若10a =,6b =,且点C 在线段AB 上,求线段MC 的长度. (2)周密思考: 若10a =,6b =,则线段MC 的长度只能是(1)中的结果吗?请说明理由. (3)问题解决 类比(1)、(2)的解答思路,试探究线段MC 的长度(用含a 、b 的代数式表示). 12.如图,直线l 上有A 、B 两点,点O 是线段AB 上的一点,且OA =10cm ,OB =5cm . (1)若点C 是线段 AB 的中点,求线段CO 的长. (2)若动点 P 、Q 分别从 A 、B 同时出发,向右运动,点P 的速度为4c m/s ,点Q 的速度为3c m/s ,设运动时间为 x 秒, ①当 x =__________秒时,PQ =1cm ; ②若点M 从点O 以7c m/s 的速度与P 、Q 两点同时向右运动,是否存在常数m ,使得4PM +3OQ ﹣mOM 为定值,若存在请求出m 值以及这个定值;若不存在,请说明理由. (3)若有两条射线 OC 、OD 均从射线OA 同时绕点O 顺时针方向旋转,OC 旋转的速度为6度/秒,OD 旋转的速度为2度/秒.当OC 与OD 第一次重合时,OC 、OD 同时停止旋转,设旋转时间为t 秒,当t 为何值时,射线 OC ⊥OD ? 13.已知:A 、O 、B 三点在同一条直线上,过O 点作射线OC ,使∠AOC :∠BOC =1:2,将一直角三角板的直角顶点放在点O 处,一边OM 在射线OB 上,另一边ON 在直线AB 的下方. (1)将图1中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图2的位置,使得ON 落在射线OB 上,此时三角板旋转的角度为 度; (2)继续将图2中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图3的位置,使得ON 在∠AOC 的内部.试探究∠AOM 与∠NOC 之间满足什么等量关系,并说明理由; (3)将图1中的三角板绕点O 按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中,当直角三角板的直角边OM 所在直线恰好平分∠BOC 时,时间t 的值为 (直接写结果). 14.已知:∠AOB 是一个直角,作射线OC ,再分别作∠AOC 和∠BOC 的平分线OD 、OE . (1)如图①,当∠BOC=70°时,求∠DOE的度数; (2)如图②,若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转,当∠BOC=α时,求∠DOE的度数.(3)如图③,当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时,画出图形,直接写出∠DOE的度数. 15.已知数轴上三点A,O,B表示的数分别为6,0,-4,动点P从A出发,以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动. (1)当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时,点P在数轴上表示的数是______;(2)另一动点R从B出发,以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、R同时出发,问点P运动多少时间追上点R? (3)若M为AP的中点,N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若发生变化,请你说明理由;若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长度. 【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除 一、压轴题 1.(1)①5;②OQ平分∠AOC,理由详见解析;(2)5秒或65秒时OC平分∠POQ; (3)t=70 3 秒. 【解析】 【分析】 (1)①由∠AOC=30°得到∠BOC=150°,借助角平分线定义求出∠POC度数,根据角的和差关系求出∠COQ度数,再算出旋转角∠AOQ度数,最后除以旋转速度3即可求出t 值;②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可; (2)根据旋转的速度和起始位置,可知∠AOQ=3t,∠AOC=30°+6t,根据角平分线定义可知∠COQ=45°,利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t;(3)先证明∠AOQ与∠POB互余,从而用t表示出∠POB=90°﹣3t,根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数;同时旋转后∠AOC=30°+6t,则根据互补关系表示出∠BOC度数,同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来.先后两个关于∠BOC的式子相等,构造方程求解. 【详解】 (1)①∵∠AOC=30°, ∴∠BOC=180°﹣30°=150°, ∵OP平分∠BOC, ∴∠COP=1 2 ∠BOC=75°, ∴∠COQ=90°﹣75°=15°, ∴∠AOQ=∠AOC﹣∠COQ=30°﹣15°=15°, t=15÷3=5; ②是,理由如下: ∵∠COQ=15°,∠AOQ=15°, ∴OQ平分∠AOC; (2)∵OC平分∠POQ, ∴∠COQ=1 2 ∠POQ=45°. 设∠AOQ=3t,∠AOC=30°+6t, 由∠AOC﹣∠AOQ=45°,可得30+6t﹣3t=45,解得:t=5, 当30+6t﹣3t=225,也符合条件, 解得:t=65, ∴5秒或65秒时,OC平分∠POQ; (3)设经过t秒后OC平分∠POB, ∵OC平分∠POB, ∴∠BOC=1 2 ∠BOP, ∵∠AOQ+∠BOP=90°, ∴∠BOP=90°﹣3t, 又∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣30°﹣6t, ∴180﹣30﹣6t=1 2 (90﹣3t), 解得t=70 3 . 【点睛】 本题主要考查一元一次方程的应用,根据角度的和差倍分关系,列出方程,是解题的关键. 2.(1)∠MEN=90°;(2)∠MEN=105°;(3)∠FEG=2α﹣180°,∠FEG=180°﹣2α. 【解析】 【分析】 (1)根据角平分线的定义,平角的定义,角的和差定义计算即可. (2)根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG,求出∠NEF+∠MEG即可解决问题. (3)分两种情形分别讨论求解. 【详解】 (1)∵EN平分∠AEF,EM平分∠BEF ∴∠NEF=1 2 ∠AEF,∠MEF= 1 2 ∠BEF ∴∠MEN=∠NEF+∠MEF=1 2 ∠AEF+ 1 2 ∠BEF= 1 2 (∠AEF+∠BEF)= 1 2 ∠AEB ∵∠AEB=180° ∴∠MEN=1 2 ×180°=90° (2)∵EN平分∠AEF,EM平分∠BEG ∴∠NEF=1 2 ∠AEF,∠MEG= 1 2 ∠BEG ∴∠NEF+∠MEG=1 2 ∠AEF+ 1 2 ∠BEG= 1 2 (∠AEF+∠BEG)= 1 2 (∠AEB﹣∠FEG) ∵∠AEB=180°,∠FEG=30° ∴∠NEF+∠MEG=1 2 (180°﹣30°)=75° ∴∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG=75°+30°=105° (3)若点G在点F的右侧,∠FEG=2α﹣180°, 若点G在点F的左侧侧,∠FEG=180°﹣2α. 【点睛】 考查了角的计算,翻折变换,角平分线的定义,角的和差定义等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题. 3.(1)80°;(2)140° 【解析】 【分析】 (1)根据角平分线的定义得∠BOM=1 2 ∠AOB,∠BON= 1 2 ∠BOD,再根据角的和差得 ∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠MON=∠BOM+∠BON,结合三式求解;(2)根据角平分线的定 义∠MOC=1 2 ∠AOC,∠BON= 1 2 ∠BOD,再根据角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC, ∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC结合三式求解.【详解】 解:(1)∵OM平分∠AOB,ON平分∠BOD, ∴∠BOM=1 2 ∠AOB,∠BON= 1 2 ∠BOD, ∴∠MON=∠BOM+∠BON=1 2 ∠AOB+ 1 2 ∠BOD= 1 2 (∠AOB+∠BOD). ∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°, ∴∠MON=1 2 ×160°=80°; (2)∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD, ∴∠MOC=1 2 ∠AOC,∠BON= 1 2 ∠BOD, ∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC, ∴∠MON=1 2 ∠AOC+ 1 2 ∠BOD -∠BOC= 1 2 (∠AOC+∠BOD )-∠BOC. ∵∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠AOC=∠AOB+∠BOC, ∴∠MON=1 2 (∠AOB+∠BOC+∠BOD )-∠BOC= 1 2 (∠AOD+∠BOC )-∠BOC, ∵∠AOD=α,∠MON=60°,∠BOC=20°, ∴60°=1 2 (α+20°)-20°, ∴α=140°. 【点睛】 本题考查了角的和差计算,角平分线的定义,明确角之间的关系是解答此题的关键. 4.(1)135,135;(2)∠MON=135°;(3)同意,∠MON=(90°﹣1 2 x°)+x°+ (45°﹣1 2 x°)=135°. 【解析】【分析】 (1)由题意可得,∠MON=1 2 ×90°+90°,∠MON= 1 2 ∠AOC+ 1 2 ∠BOD+∠COD,即可 得出答案; (2)根据“OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线”可求出∠MOC+∠NOD,又∠MON =(∠MOC+∠NOD)+∠COD,即可得出答案; (3)设∠BOC=x°,则∠AOC=180°﹣x°,∠BOD=90°﹣x°,进而求出∠MOC和∠BON,又∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON,即可得出答案. 【详解】 解:(1)图2中∠MON=1 2 ×90°+90°=135°;图3中∠MON= 1 2∠AOC+ 1 2 ∠BOD+∠COD= 1 2 (∠AOC+∠BOD)+90°= 1 2 90°+90°=135°; 故答案为:135,135; (2)∵∠COD=90°, ∴∠AOC+∠BOD=180°﹣∠COD=90°, ∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线, ∴∠MOC+∠NOD=1 2 ∠AOC+ 1 2 ∠BOD= 1 2 (∠AOC+∠BOD)=45°, ∴∠MON=(∠MOC+∠NOD)+∠COD=45°+90°=135°;(3)同意, 设∠BOC=x°,则∠AOC=180°﹣x°,∠BOD=90°﹣x°,∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线, ∴∠MOC=1 2 ∠AOC= 1 2 (180°﹣x°)=90°﹣ 1 2 x°, ∠BON=1 2 ∠BOD= 1 2 (90°﹣x°)=45°﹣ 1 2 x°, ∴∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON=(90°﹣1 2 x°)+x°+(45°﹣ 1 2 x°)=135°. 【点睛】 本题考查的是对角度关系及运算的灵活运用和掌握,此类问题的练习有利于学生更好的对角进行理解. 5.(1)6,-1;(2)2019或2014;(3)234 【解析】 【分析】 (1)根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、x的值,再根据第9个数是-2可得 b=-2,然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环,在用2021除以3,根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解. (2)可先计算出这三个数的和,再照规律计算. (3)由于是三个数重复出现,因此可用前三个数的重复多次计算出结果. 【详解】 (1)∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,∴6+a+b=a+b+x,解得x=6,a+b+x=b+x-1,∴a=-1,所以数据从左到右依次为6、-1、b、6、-1、b,第9个数与第三个数相同,即b=-2,所以每3个数“6、-1、-2”为一个循环组依次循环. ∵2021÷3=673…2,∴第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同,为-1. 故答案为:6,-1. (2)∵6+(-1)+(-2)=3,∴2019÷3=673. ∵前k个格子中所填数之和可能为2019,2019=673×3或2019=671×3+6,∴k的值为: 673×3=2019或671×3+1=2014. 故答案为:2019或2014. (3)由于是三个数重复出现,那么前8个格子中,这三个数中,6和-1都出现了3次,-2出现了2次. 故代入式子可得:(|6+2|×2+|6+1|×3)×3+(|-1-6|×3+|-1+2|×2)×3+(|-2-6|×3+|-2+1|×3)×2=234. 【点睛】 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用,规律推导的运用,此类题的关键是找出是按什么规律变化的,然后再按规律找出字母所代表的数,再进行进一步的计算. 6.(1)41°;(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据角平分线的定义可得12AOC AOB ∠∠=,1 2 AOE AOD ∠∠=,进而可得∠COE= ()1 2 AOB AOD ∠∠-,即可得答案;(2)分别讨论OA 在∠BOD 内部和外部的情况,根据求得结果进行判断即可. 【详解】 (1)∵射线OC 平分AOB ∠、射线OE 平分AOD ∠, ∴12AOC AOB ∠∠= ,1 2 AOE AOD ∠∠=, ∴COE AOC AOE ∠∠∠=- = 11 22AOB AOD ∠∠- =()1 2AOB AOD ∠∠- =1 2 BOD ∠ = 01 822? =41° (2)α与β之间的数量关系发生变化, 如图,当OA 在BOD ∠内部, ∵射线OC 平分AOB ∠、 射线OE 平分AOD ∠, ∴11 O ,22 AOC A B AOE AOD ∠∠∠∠==, ∴COE AOC AOE β∠∠∠==+ = 11 22 AOB AOD ∠∠+ = ()1 2AOB AOD ∠∠+ =12 α 如图,当OA 在BOD ∠外部, ∵射线OC 平分AOB ∠、射线OE 平分AOD ∠, ∴11 ,22 AOC AOB AOE AOD ∠∠∠∠==, ∴COE AOC AOE β∠∠∠==+ =11 22 AOB AOD ∠∠=+ = ()1 2AOB AOD ∠∠+ =() 13602BOD ∠- =()0 13602 α- =0 11802 α- ∴α与β之间的数量关系发生变化. 【点睛】 本题考查角平分线的定义,正确作图,熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键. 7.(1)230元;(2) 790元或者810元;(3) 400,55%. 【解析】 【分析】 ()1可对照表格计算,500元的商品打折后为250元,再享受20元抵扣金额,即可得出实 际付款; ()2实际付款375元时,应考虑到20037520400≤+<与40037530600≤+<这两种情 况的存在,所以分这两种情况讨论; ()3根据优惠率的定义表示出四个范围的数据,进行比较即可得结果. 【详解】 解:()1由题意可得:顾客的实际付款()500500150%20230??=-?-+=?? 故购买一件标价为500元的商品,顾客的实际付款是230元. ()2设商品标价为x 元. 20037520400≤+<与40037530600≤+<两种情况都成立,于是分类讨论 ①抵扣金额为20元时,1 x 203752-=,则x 790= ②抵扣金额为30元时,1 x 303752 -=,则x 810= 故当实际付款375元,那么它的标价为790元或者810元. ()3设商品标价为x 元,抵扣金额为b 元,则 优惠率1 x b 1b 2 100%x 2x +=?=+ 为了得到最高优惠率,则在每一范围内x 均取最小值,可以得到 2030405040080012001600 >>> ∴当商品标价为400元时,享受到最高的优惠率1155%220 = += 故答案为400,55% 【点睛】 本题考查的是日常生活中的打折销售问题,运用一元一次方程解决问题时要抓住未知量,明确等量关系列出方程是关键. 8.(1)20,6;(2)43t -+,162t -;(3)t 2=或6时;(4)不变,10,理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)由数轴上两点距离先求得A ,B 两点间的距离,由中点公式可求线段AB 的中点表示的数; (2)点P 从点A 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q 从点B 出发,向右为正,所以-4+3t ; Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动,向左为负,16-2t. (3)由题意,1 PQ AB 2 =表示出线段长度,可列方程求t 的值; (4)由线段中点的性质可求MN 的值不变. 【详解】 解:() 1点A 表示的数为4-,点B 表示的数为16, A ∴, B 两点间的距离等于41620--=,线段AB 的中点表示的数为 416 62 -+= 故答案为20,6 () 2点P 从点A 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动, ∴点P 表示的数为:43t -+, 点Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动, ∴点Q 表示的数为:162t -, 故答案为43t -+,162t - () 13PQ AB 2 = ()43t 162t 10∴-+--= t 2∴=或6 答:t 2=或6时,1 PQ AB 2 = ()4线段MN 的长度不会变化, 点M 为PA 的中点,点N 为PB 的中点, 1PM PA 2∴= ,1 PN PB 2 = ()1 MN PM PN PA PB 2 ∴=-=- 1 MN AB 102 ∴= = 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用,数轴上两点之间的距离,找到正确的等量关系列出方程是本题的关键. 9.(1)1+a 或1-a ;(2)12或5 2 ;(3)1≤b≤7. 【解析】 【分析】 (1)根据d 追随值的定义,分点N 在点M 左侧和点N 在点M 右侧两种情况,直接写出答案 (2)①分点A 在点B 左侧和点A 在点B 右侧两种情况,类比行程问题中的追及问题,根据“追及时间=追及路程÷速度差”计算即可;② 【详解】 解:(1)点N 在点M 右侧时,点N 表示的数是1+a ; 点N 在点M 左侧时,点N 表示的数是1-a ; (2)①b=4时,AB 相距3个单位, 当点A 在点B 左侧时,t=(3-2)÷(3-1)=12, 当点A 在点B 右侧时,t=(3+2)÷(3-1)= 52 ; ②当点B 在点A 左侧或重合时,即d ≤1时,随着时间的增大,d 追随值会越来越大, ∵0 当点B 在点A 右侧时,即d>1时,在AB 重合之前,随着时间的增大,d 追随值会越来越小, ∵点A 到点B 的d 追随值d[AB]≤6,∴d ≤7 ∴1 综合两种情况,d 的取值范围是1≤d ≤7. 故答案为(1)1+a 或1-a ;(2)①12或5 2 ;②1≤b≤7. 【点睛】 本题考查了数轴上两点之间的距离和动点问题. 10.(1)图1中∠AOD=60°;图2中∠AOD=10°; (2)图1中∠AOD=n m 2+;图2中∠AOD=n m 2 -. 【解析】 【分析】 (1)图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=20°,则∠BOD=10°,根据∠AOD=∠AOB+∠BOD 即得解;图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°,则∠BOD=60°,根据∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB 即可得解; (2)图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m ,则∠BOD=n m 2 ﹣,故∠AOD=∠AOB+∠BOD= n m 2+;图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n ,则∠BOD=n m 2+,故∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB= n m 2 -. 解:(1)图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=70°﹣50°=20°, ∵OD 是∠BOC 的平分线, ∴∠BOD= 1 2 ∠BOC=10°, ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+10°=60°; 图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°, ∵OD 是∠BOC 的平分线, ∴∠BOD= 1 2 ∠BOC=60°, ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=60°﹣50°=10°; (2)根据题意可知∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n <<,<<,<+且m n <, 如图1中, ∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m , ∵OD 是∠BOC 的平分线, ∴∠BOD= 12∠BOC=n m 2 ﹣, ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=n m 2 +; 如图2中, ∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n , ∵OD 是∠BOC 的平分线, ∴∠BOD= 12∠BOC=n m 2 +, ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m 2 -. 【点睛】 本题主要考查角平分线,解此题的关键在于根据题意进行分类讨论,所有情况都要考虑, 11.(1)2(2)8或2;(3)见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据线段之间的和差关系求解即可; (2)由于B点的位置不能确定,故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况进行分类讨论; (3)由(1)(2)可知MC=1 2 (a+b)或 1 2 (a-b). 【详解】 解:解:(1)∵AC=10,BC=6,∴AB=AC+BC=16, ∵点M是AB的中点, ∴AM=1 2 AB ∴MC=AC-AM=10-8=2. (2)线段MC的长度不只是(1)中的结果, 由于点B的位置不能确定,故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况: ①当B点在线段AC上时, ∵AC=10,BC=6, ∴AB=AC-BC=4, ∵点M是AB的中点, ∴AM=1 2 AB=2, ∴MC=AC-AM=10-2=8. ②当B点在线段AC的延长线上, 此时MC=AC-AM=10-8=2. (3)由(1)(2)可知MC=AC-AM=AC-1 2 AB 因为当B点在线段AC的上,AB=AC-BC, 故MC=AC-1 2 (AC-BC)= 1 2 AC+ 1 2 BC= 1 2 (a+b) 当B点在线段AC的延长线上,AB=AC+BC, 故MC=AC-1 2 (AC+BC)=1 2 AC- 1 2 BC= 1 2 (a-b) 【点睛】 主要考察两点之间的距离,但是要注意题目中的点不确定性,需要分情况讨论. 12.(1)CO=2.5;(2)①14和16 ;②定值55,理由见解析;(3)t=22.5和67.5 【分析】 (1)先求出线段AB的长,然后根据线段中点的定义解答即可; (2)①由PQ=1,得到|15-(4x-3x)|=1,解方程即可; ②先表示出PM、OQ、OM的长,代入4PM+3OQ﹣mOM得到55+(21-7m)x,要使 4PM+3OQ﹣mOM为定值,则21-7m=0,解方程即可; (3)分两种情况讨论,画出图形,根据图形列出方程,解方程即可. 【详解】 (1)∵OA=10cm,OB=5cm,∴AB=OA+OB=15cm. ∵点C是线段AB的中点,∴AC=AB=7.5cm,∴CO=AO-AC=10-7.5=2.5(cm). (2)①∵PQ=1,∴|15-(4x-3x)|=1,∴|15-x|=1,∴15-x=±1,解得:x=14或16. ②∵PM=10+7x-4x=10+3x,OQ=5+3x,OM=7x,∴4PM+3OQ﹣ mOM=4(10+3x)+3(5+3x)-7mx=55+(21-7m)x,要使4PM+3OQ﹣mOM为定值,则21-7m=0,解得:m=3,此时定值为55. (3)分两种情况讨论:①如图1,根据题意得:6t-2t=90,解得:t=22.5; ②如图2,根据题意得:6t+90=360+2t,解得:t=67.5. 综上所述:当t=22.5秒和67.5秒时,射线OC⊥OD. 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用.解题的关键是分类讨论. 13.(1)90°;(2)30°;(3)12秒或48秒. 【解析】 【分析】 (1)依据图形可知旋转角=∠NOB,从而可得到问题的答案; (2)先求得∠AOC的度数,然后依据角的和差关系可得到∠NOC=60°- ∠AON,∠AOM=90°-∠AON,然后求得∠AOM与∠NOC的差即可; (3)可分为当OM为∠BOC的平分线和当OM的反向延长为∠BOC的平分线两种情况,然后再求得旋转的角度,最后,依据旋转的时间=旋转的角度÷旋转的速度求解即可. 【详解】 (1)由旋转的定义可知:旋转角=∠NOB=90°. 故答案为:90° (2)∠AOM﹣∠NOC=30°. 理由:∵∠AOC:∠BOC=1:2,∠AOC+∠BOC=180°, ∴∠AOC=60°. ∴∠NOC=60°﹣∠AON. ∵∠NOM=90°, ∴∠AOM=90°﹣∠AON, ∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°. (3)如图1所示:当OM为∠BOC的平分线时, ∵OM为∠BOC的平分线, ∴∠BOM=∠BOC=60°, ∴t=60°÷5°=12秒. 如图2所示:当OM的反向延长为∠BOC的平分线时, ∵ON为为∠BOC的平分线, ∴∠BON=60°. ∴旋转的角度=60°+180°=240°. ∴t=240°÷5°=48秒. 故答案为:12秒或48秒. 【点睛】 本题主要考查的是三角形的综合应用,解答本题主要应用了旋转的定义、直角三角形的定义以及角的和差计算,求得三角板旋转的角度是解题的关键. 14.(1)45°;(2)45°;(3)45°或135°. 【解析】 【分析】 (1)由∠BOC的度数求出∠AOC的度数,利用角平分线定义求出∠COD与∠COE的度数,相加即可求出∠DOE的度数; (2)∠DOE度数不变,理由为:利用角平分线定义得到∠COD为∠AOC的一半,∠COE为∠COB的一半,而∠DOE=∠COD+∠COE,即可求出∠DOE度数为45度; (3)分两种情况考虑,同理如图3,则∠DOE为45°;如图4,则∠DOE为135°. 【详解】 (1)如图,∠AOC=90°﹣∠BOC=20°, ∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC, ∴∠COD=∠AOC=10°,∠COE=1 2 ∠BOC=35°, ∴∠DOE=∠COD+∠COE=45°;(2)∠DOE的大小不变,理由是: ∠DOE=∠COD+∠COE=1 2 ∠AOC+ 1 2 ∠COB= 1 2 (∠AOC+∠COB)=1 2 ∠AOB=45°; (3)∠DOE的大小发生变化情况为:如图③,则∠DOE为45°;如图④,则∠DOE为135°, 分两种情况:如图3所示, ∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC, ∴∠COD=1 2 ∠AOC,∠COE= 1 2 ∠BOC, ∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=1 2 (∠AOC﹣∠BOC)=45°; 如图4所示,∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC, ∴∠COD=1 2 ∠AOC,∠COE= 1 2 ∠BOC, ∴∠DOE=∠COD+∠COE=1 2 (∠AOC+∠BOC)=1 2 ×270°=135°. 【点睛】 此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算,正确作图,熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键. 15.(1)1;(2)点P运动5秒时,追上点R;(3)线段MN的长度不发生变化,其长