知识点191_根据实际问题列一次函数关系式(解答题)
1、已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求自变量x的取值围．
考点：根据实际问题列一次函数关系式；等腰三角形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：（1）底边长=周长﹣2×腰长；
（2）根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边来进行解答．
解答：解：（1）依题意有：y=12﹣2x，
故y与x的函数关系式为：y=12﹣2x；
（2）依题意有：，
即，
解得：3＜x＜6．
故自变量x的取值围为3＜x＜6．
点评：本题的难点在于根据三角形三边关系定理得到自变量的取值围．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：应用题。
分析：当摄氏温度每次增加10℃，华氏温度每次就增加18℉，由此判断是一次函数关系式，设一次函数解析式，用“两点法”求解．
解答：解：根据表格可知，y与x是一次函数关系，设y=kx+b，
把x=0，y=32和x=10，y=50代入函数关系式得：，
解得：．
所以：y=1.8x+32．
点评：本题关键是根据表格确定函数关系式，再代值求函数关系式．
3、某汽车加油站储油45000升，每天给汽车加油1500升，那么储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是什么？并指出自变量的取值围．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：应用题。
分析：直接根据题意可求得储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是：储油量=45000﹣1500×加油天数．自变量根据1500x≤45000和天数是非负整数列不等式组即可求解．
解答：解：根据题意得储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是：y=45000﹣1500x，
∵1500x≤45000，x≥0，
∴0≤x≤30，
即y=45000﹣1500x（0≤x≤30）．
点评：读懂题意，根据实际意义列出关于两个变量之间的等式是求得函数关系式的关键．自变量取值围要结合实际意义列不等式求解．
4、某商人进货时，进价已按原价a扣去了25%．他打算对此货订一新价销售，以便按新价让利20%销售后，还可获得售价的25%的利润．试写出此商人经销这种货物时按新价让利总额与货物售出件数之间的函数关系式．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：函数思想。
分析：题中等量关系为：按新价让利总额=新价×20%×售出件数，根据等量关系列出函数关系式即可．
解答：解：设新价为b元，则销售价为（1﹣20%）b，进价为a（1﹣25%），（1﹣20%）b﹣（1﹣25%）a是每件的纯利．
∴（1﹣20%）b﹣（1﹣25%）a=（1﹣20%）b×25%
∴b=a
设新价让利总额为y（元），售出货物为x件，则
y=20%bx=20%×ax=ax．
故此商人经销这种货物时按新价让利总额与货物售出件数之间的函数关系式为y=ax．
点评：本题主要考查对与一次函数的应用，要注意找好题中的等量关系．找准新价，销售价，进价，每件的纯利的关系，即新价与原价的关系是解题的关键．
5、根据《中华人民国个人所得税》规定省从2006年起实施新的个人所得税征收方案，公民的月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额．些项税款按下表（《第华西都市报》2005年10月22日）累进计算：
个人所得税税率表：
（应纳税税额=应纳税所得额×对应的税率）
按此规定解答下列问题：
（1）设某人的月工资、薪金所得为x元（1900＜x＜3600），需要交的所得税款为y元，试写出y与x的关系式；（2）若某人当月缴纳的所得税款为405元，那么他当月的工资、薪金是多少元？（结果保留到个位）
考点：根据实际问题列一次函数关系式；一元一次方程的应用。
专题：计算题。
分析：（1）∵1900＜x＜3600，∴300＜x﹣1600＜2000，根据图表即可列出等式；
（2）根据405=（x﹣2000）×15%+（2000﹣500）×10%+500×5%即可求出某人当月缴纳的所得额，从而可求出他当月的工资、薪金．
解答：解：（1）∵1900＜x＜3600，
∴300＜x﹣1600＜2000，
∴y=（x﹣1600﹣500）×10%+500×5%，
即y=0.1x﹣105；
（2）某人当月缴纳的所得额x应在2000至5000之间，
即405=（x﹣2000）×15%+（2000﹣500）×10%+500×5%，
解得：x=3533，
∴他当月的工资、薪金是1600+3533=5133元．
点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
6、用解析式表示下列函数关系．
（1）某种苹果的单价是1.6元/kg，当购买x（kg）苹果时，花费y（元），y（元）与x（kg）之间的函数关系．y=1.6x （x≥0）；
（2）汽车的速度为20km/h，汽车所走的路程s（km）和时间t（h）之间的关系．s=20t（t≥0）．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：应用题。
分析：（1）根据总花费=单价×质量可得答案．
（2）根据路程=速度×时间可得答案．
解答：解：由题意得：（1）y=1.6x（x≥0）；
（2）s=20t（t≥0）．
点评：找到所求量的等量关系是解决问题的关键，本题比较简单．
7、甲、乙两地相距520km，一辆汽车以80km/h的速度从甲地开往乙地，行驶t（h）后停车在途中加水．
（1）写出汽车距乙地路程s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式s=520﹣80t；
（2）请写出自变量t的取值围0＜t＜6.5．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：行程问题。
分析：（1）汽车距乙地路程=520﹣行驶的距离=520﹣速度×时间．
（2）已经行驶了t小时，那么t＞0，还没有到达，行驶的距离＜甲、乙两地相距距离，则80t＜520，求出自变量t 的取值围．
解答：解：（1）依题意有函数关系式为：s=520﹣80t；
（2）依题意有：t＞0，
80t＜520，∴t＜6.5，
∴自变量t的取值围为0＜t＜6.5．
点评：根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值围．
8、△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高从小到大改变时，△ABC的面积也随之变化．试写出△ABC的面积y（cm2）与高x（cm）的函数解析式y=4x，请问它是什么函数正比例函数．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：几何图形问题。
分析：根据三角形面积=底×高÷2，及正比例的意义得出．
解答：解：依题意有y=BC?x=×8×x=4x，
它形如y=kx（k≠0，k为常数），故它是正比例函数．
点评：根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题考查了三角形面积公式．
9、矩形的长是10cm，写出面积S与宽acm的关系式．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：几何图形问题。
分析：根据矩形面积=长×宽．
解答：解：依题意有：S=10a．
点评：根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题考查了矩形面积公式．
10、等腰三角形周长40cm．
（1）写出底边长ycm与腰xcm的函数关系式．
（2）写出自变量取值围．
考点：根据实际问题列一次函数关系式；等腰三角形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：（1）根据：底边长+两腰长=周长，建立等量关系，变形即可；
（2）根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值围．
解答：解：（1）依题意得2x+y=40，
即y=﹣2x+40；
（2）根据三角形的三边关系得：，
解得：10＜x＜20．
点评：本题考查了等腰三角形三边关系的性质，三角形三边关系定理．
11、拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果工作每小时耗油4升，求：
（1）油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）的函数关系式及自变量的取值围；
（2）当工作5小时时油箱的余油量
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：应用题。
分析：（1）由油箱中的余油量=原有油量﹣耗油量可求得函数解析式；
（2）把自变量的值代入函数解析式求得相对应的函数值．
解答：解：（1）由题意可知：Q=40﹣4t（0≤t≤10）；
（2）把t=5时代入Q=40﹣4t得：油箱的余油量Q=20升．
点评：此题由数量关系列出函数解析式，再把自变量的值代入函数解析式求得相对应的函数值，问题解决．
12、若正方形ABCD的边长为2，P为DC上一动点，设DP=x，请写出△APD的面积y与x的函数关系式y=x（0＜x≤2）．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：动点型。
分析：根据直角三角形的面积公式可得．
解答：解：根据三角形的面积公式得：y=×2x=x（0＜x≤2）．
点评：此题主要考查了一次函数在实际问题的应用，其中解题时要熟悉直角三角形的面积公式，注意数形结合建立函数关系式．
13、观察图，先填空，然后回答问题：
（1）由上而下第n行，白球有n个；黑球有2n﹣1个．
（2）若第n行白球与黑球的总数记作y，则请你用含n的代数式表示y，并指出其中n的取值围．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：规律型。
分析：由图中数据，第一行一个白球，一个黑球，第二行2个白球，3个黑球，第三行3个白球，5个黑球，
可得，第n行，白球有n个，黑球有2n﹣1个；白球和黑球的总和即n+2n﹣1=3n﹣1，其中n必须是正整数．
解答：解：（1）第一行一个白球，一个黑球，
第二行2个白球，3个黑球，
第三行3个白球，5个黑球，
所以可得第n行白球有n个，黑球有2n﹣1个．
故填n，2n﹣1；
（2）y=n+2n﹣1=3n﹣1（n为正整数）
点评：能够根据实际问题列一次函数关系式，会求解一些简单的规律性问题．
14、如图所示温度计的示意图，左边的刻度表示摄氏温度，右边的刻度表示华氏温度，请找出华氏温度y（℉）与摄氏温度x（℃）之间的一次函数关系式．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：应用题。
分析：从图中可看到x=10时，y=50；当x=20时，y=68．用待定系数法即可求解．
解答：解：设y=kx+b．把x=10，y=50和x=20，y=68（8分）
别代入上式得，
∴y=1.8x+32．
点评：解答时，要找同一水平线的左、右两个刻度，即x与y的一对对应值．
15、已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y．
（1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值围；
（2）当x=5时，求出函数值．
考点：根据实际问题列一次函数关系式；等腰三角形的性质。
分析：（1）根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三边关系可得出x的取值围．
（2）由（1）的关系式，代入可得出函数的值．
解答：解：（1）由题意得：12=2x+y
∴可得：y=12﹣2x，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：y＜2x，2x＜12
∴可得3＜x＜6．
（2）由（1）得：y=12﹣2x
∴当x=5时函数值=2．
点评：本题考查三角形的周长和边长的关系，属于中档题，在确定x的围时要注意应用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
16、如图，四边形DEFG是△ABC的接矩形，如果△ABC的高线AH长8cm，底边BC长10cm，设DG=xcm，DE=ycm，求y关于x的函数关系式．
考点：根据实际问题列一次函数关系式；相似三角形的判定与性质。
专题：应用题。
分析：设DE=y，则MH=y，AM=AH﹣MH=8﹣y，因为DG∥BC，可证△ADG∽△ABC，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，建立等式．
解答：解：设AH与DG交于点M，则AM=AH﹣MH=8﹣y，
∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，
∴=，即=，
整理，得y=﹣x+8．
点评：根据条件，表示图中两相似三角形的底和高，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，确定函数关系式．17、某市政府试图劝说一家跨国公司在该市建厂，他们告诉公司老总：本市的人口在迅速增长，从而可以给公司提供大量的熟练工．而一个环保组织却认为，这家公司曾有过空气污染和水污染问题，于是他们对公司的老总说：本市的人口增长并没有市政府所说的那么快．最终公司派人亲自对情况进行了调查，这三方面分别画了一统计图，如图所示．
（1）解释上面的三图哪一是市政府方面提供的，哪一是环保组织提供的，哪一是公司调查人员提供的；
（2）说明这三统计图所表示的人口与时间的关
系．
考点：根据实际问题列一次函数关系式；折线统计图。
专题：图表型。
分析：（1）由题意可知：政府希望通过统计图让公司的老总认为本市的人口迅速增长，而环保部门则希望通过统计图让公司的老总看到本市的人口并不是迅速增长；折线统计图中用折线的陡峭程度来表示人口的增长速度，则政府绘制折线图应该比较陡，这样表示本市的人数增长的越快；而环保部门绘制的折线图应该比较缓，这样表示本市人口增长较慢；则公司绘制的图应该介于政府和环保部门之间；所以通过折线的陡峭程度可判定：图甲是市政府提供的；图乙是公司调查人员提供的；图丙是环保组织提供的；
（2）1986年的人口为1万人，1988年为1.1万人，1990年为1.2万人，1992年为1.3万人，1994年为1.4万人；则可看出：每两年人口增长0.1万人，则每一年增长0.1÷2=0.05万人，由此即可求出答案．
解答：解：（1）图甲是市政府提供的；图乙是公司调查人员提供的；图丙是环保组织提供的．
（2）时间t以年为单位、人口数y以万为单位，则有y=1+0.05（t﹣1986）．
点评：本题考查的是折线统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键．
18、等腰三角形的顶角的度数为y，底角的度数为x，写出y与x之间的函数解析式，并写出x的取值围．
考点：根据实际问题列一次函数关系式；等腰三角形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：根据三角形角和定理得2x+y=180，然后变形就可以求出y与x的函数解析式．
解答：解：y=﹣2x+180，（3分）
∵，
∵x为底角度数∴0＜x＜90．（6分）
点评：此题利用了三角形角和定理求一次函数的解析式．
19、某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定每个工人完成100个以，每个产品付酬1.5元；超过100个，超过部分每个产品付酬增加0.3元；超过200个，超过部分除按上述规定外，每个产品再增加0.4元．求一个工人：（1）完成100个以所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；
（2）完成100个以上，但不超过200个所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；
（3）完成200个以上所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：经济问题。
分析：（1）每个产品付酬1.5元，x个应付1.5x元；
（2）100个以上时，报酬应为100×1.5+100个以上的×1.8，把相关数值代入即可求解；
（3）完成200个以上所得报酬为：100×1.5+100个以上的×1.8+超过200个的×0.4，把相关数值代入即可求解．
解答：解：（1）y=1.5x （x≤100）；
（2）y=1.5x+（x﹣100）×0.3 （100＜x≤200）；
（3）y=1.5x+（x﹣100）×0.3+（x﹣200）×0.4 （x＞200）．
点评：解决本题的难点是理解所得报酬应根据零件的个数的多少分不同的价格计算；易错点是得到不同价格相对应的零件数量．
20、附加题：将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方发粘合起来，粘合部分的宽为3cm．设x白纸粘合后的总长度为ycm，写出y与x的函数关系式，并求出当x=20时，y的值．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：几何图形问题。
分析：白纸粘合后的总长度=x白纸的长﹣（x﹣1）个粘合部分的宽，把相关数值代入即可求解．
解答：解：由题意得：y=30x﹣（x﹣1）×3=27x+3，
∴当x=20时，y=543．
点评：解决本题的关键是得到白纸粘合后的总长度的等量关系，注意x白纸之间有（x﹣1）个粘合．
21、一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．
（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；
（2）该蚊香可点燃多长时间？
考点：根据实际问题列一次函数关系式；一次函数与一元一次方程。
专题：应用题。
分析：（1）根据蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度用t表示出y即可；
（2）当蚊香的长度y为0时，即蚊香燃尽的时候求出相应的时间即可．
解答：解：（1）∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴y=105﹣10t（0≤t≤10.5）；
（2）∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y=0，
∴105﹣10t=0，
解得：t=10.5，
∴该蚊香可点燃10.5小时．
点评：本题考查了一次函数的应用及一次函数与一元一次方程的知识，解题时从实际问题中整理出函数模型并利用函数的知识解决实际问题．
22、九年级（1）班班委发起为灾区捐款义卖活动，决定在“六一节”当天租用摊位卖玩具筹集善款．已知同学们从批发店按每个7.6元买进玩具，并按每个15元卖出，租用摊位一天的租金为20元．
（1）求同学们当天所筹集的善款y（元）与销售量x（个）之间的函数关系式（善款=销售额﹣成本）；
（2）若要筹集不少于500元的慰问金，则至少要卖出玩具多少个？
考点：根据实际问题列一次函数关系式；一元一次不等式的应用。
分析：（1）用所卖玩具挣得的钱减去租用摊位一天的租金就是当天所筹集的善款y；
（2）若要筹集不少于500元的慰问金，即y大于或等于500，解此不等式可得答案．
解答：解：（1）y=（15﹣7.6）x﹣20，
化简得，y=7.4x﹣20；
（2）根据题意得，
7.4x﹣20≥500，
解得：x≥70，
答：至少要卖出玩具71个．
点评：本题考查根据实际问题列一次函数的关系式，也涉及到一元一次不等式的应用．
23、弹簧挂上物体后会伸长，测得一个弹簧的长度y（厘米）与物体的质量x（千克）是一次函数，有下面的关系：
求：弹簧的长度y（厘米）与物体的质量x（千克）之间的函数关系式．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
分析：由上表可知12.5﹣12=0.5，13﹣12.5=0.5，13.5﹣13=0.5，14﹣13.5=0.5，14.5﹣14=0.5，15﹣14.5=0.5，0.5为常量，12也为常量．故弹簧总长y（cm）与所挂重物x（㎏）之间的函数关系式．
解答：解：由表可知：常量为0.5；
所以，弹簧总长y（cm）与所挂重物x（㎏）之间的函数关系式为y=0.5x+12．
点评：关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式．
24、如图所示，结合表格中的数据回答问题：
梯形个数 1 2 3 4 5 …
图形周长 5 8 11 14 17 …
（1）设图形的周长为l，梯形的个数为n，试写出l与n的函数解析式．
（2）求n=11时的图形的周长．
考点：根据实际问题列一次函数关系式；规律型：图形的变化类。
专题：几何图形问题；规律型。
分析：（1）梯形个数为1时，周长为3+2=5；
梯形个数为2时，周长为2×3+2=8；
梯形个数为3时，周长为3×3+2=11；
…
可得梯形个数为n时，周长l的大小；
（2）把n=11代入（1）得到的式子求解即可．
解答：解：（1）由图中可以看出图形的周长=上下底的和+两腰长，
∴l=3n+2；
（2）n=11时，图形周长为3×11+2=35．
点评：本题考查图形的规律性变化，根据图形中不变的量和变化的量得到相应图形的周长的变化规律是解决本题的关键．
25、某汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行，如果超过规定的重量，则需要购买行票，行票费用y（元）与行重量x（千克）之间函数关系的图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系．（2）旅客最多可以免费携带多少千克的行？
考点：根据实际问题列一次函数关系式；待定系数法求一次函数解析式。
专题：应用题。
分析：（1）由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求函数关系式；
（2）旅客可免费携带行，即y=0，代入由（1）求得的函数关系式，即可知质量为多少．
解答：解：（1）设一次函数y=kx+b，
∵当x=60时，y=6，当x=90时，y=10，
∴解之，得，
∴所求函数关系式为y=x﹣2（x≥30）；
（2）当y=0时，x﹣2=0，所以x=15，
故旅客最多可免费携带15kg行．
点评：本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值围不能遗漏．
26、水管是圆柱形的物体，在施工中，常常如下图那样堆放，随着的增加，水管的总数是如何变化的？如果假设层数为n，物体总数为y．
（2）请你写出y与n的函数解析式．
考点：根据实际问题列一次函数关系式。
专题：图表型。
分析：（1）当n为1时，y=1；当n=2时，y=1+2；当n=3时，y=1+2+3，据此填写即可；
（2）由（1）得y=1+2+3+…+n．
解答：解：（1）
点评：解决本题的关键是得到y与n的数量关系；注意从1到n的和应等于．
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结 （1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是 顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
高考复习函数知识点总结
高考复习 函数知识点总结 一．函数概念的理解以及函数的三要素 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则（函数关系式）也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ； 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ； 满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ； 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b < ． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 分式的分母不为0； ② 偶次根式下被开方数大于0； ③ 0y x = ，则有0x ≠ ； ④ 对数函数的真数大于0，底数大于0切不等于1 注意：①解析式为整式的函数定义域为R ； ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则
其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集； ③对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出． f g x的定义域应由不等式() a b，其复合函数[()] （4）求函数的值域或最值 常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=，则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时，由于,x y为实数，故必须有 2()4()()0 ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． b y a y c y ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． （5）函数解析式 ①换元法；（用于求复合函数的解析式） ②配凑法；（用于求复合函数的解析式）
高考函数知识点总结
高中函数大全 一元二次函数 定义域区间 定 义 对应法则一元二次不等式 值域 指 根式分数指数 映射数 函 数指数函数的图像和性质 指数方程 对数方程 函 数 性 质奇偶性 单调性 对数的性质 积、商、幂与周期性 根的对数 对数 反函数互为反函数的 函数图像关系 对 数 对数恒等式 和不等式 函 数常用对数 自然对数 对数函数的图像和性质 函数概念 （一）知识梳理 1．映射的概念 设 A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的 元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:A B，f表示对应法则 注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2．函数的概念 (1)函数的定义： 设 A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一 确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y f(x),x A (2)函数的定义域、值域 在函数y f(x),x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y f(x)的定义域；与x的值相对应的y值
叫做函数值，函数值的集合 f(x)x A称为函数y f(x)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 （二）考点分析 考点1：映射的概念 例1．（1）A R，B{y|y0}，f:x y|x|； （2）* A{x|x2,x N}，B y|y0,y N， 2 f:x y x2x2； （3）A{x|x0}，B{y|y R}，f:x y x． 上述三个对应是A到B的映射． 例2．若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B 的函数有个 例3．设集合M{1,0,1}，N{2,1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与 它在 N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（） (A)8个(B)12个(C)16个(D)18个 考点2：判断两函数是否为同一个函数 例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1） 2 f(x)x， 3 3 g(x)x； （2） x f(x)， x g(x) 1 1 x x 0, 0; （3）212 1 n x n f(x)， 2n x) 12n1 *）；g(x)(（n∈N 2 （4）f(x)x x1，g(x)x x； 2x2t （5）()2 1 f x x，g(t)t2 1 考点3：求函数解析式
人教【数学】数学 二次函数的专项 培优练习题及详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； （3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9 4 ；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣ 3）． 【解析】 试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答； （3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可； （4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可． 试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0）， ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ，解得 4 3 b c =- ? ? = ? ，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣ （x﹣3 2 ）2+ 9 4 ．∵a=﹣1＜0，∴当x= 3 2 时，线段PD的长度有最大值 9 4 ；
高考数学必修一函数知识点总结
高考数学必修一函数知识点总结 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数.记作：y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域. 注意：2如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零;2偶次方根的被开方数不小于零;3对数式的真数必须大于零;4指数、对数式的底必须大于零且不等于1.5如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.6指数为零底不可以等于零6实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备 见课本21页相关例2 1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 4.函数图象知识归纳 1定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点Px，y的集合C，叫做函数y=fx,x∈A的图象. C上每一点的坐标x，y均满足函数关系y=fx，反过来，以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x，y，均在C上.即记为C={Px,y|y=fx,x∈A} 图象C一般的是一条光滑的连续曲线或直线,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 2画法
二次函数培优经典题
112O x y 培优训练五（二次函数1） 1、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ） A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a =0；②abc ＜0；③a ﹣2b +4c ＜0；④8a +c ＞0．其中正确的有（ ） A ． 3个 B ． 2个 C ． 1个 D ． 0个 3、如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交，其顶点坐标 为（1,12 ），下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③244ac b a -=；④0a b c ++＜.其中正确结论的个数是 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A （－1，y 1）、B （2，y 2）、C （23+，y 3）三点，则关于y 1、y 2、y 3大小关系正确的是 A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 2>y 1>y 3 D .y 3>y 1>y 2 5、如图，一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数 )0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-，5)、B (9，2)两点，则关 于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 的解集为 A 、91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 6．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、
高中部分三角函数知识点总结
★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限）
【数学】数学二次函数的专项培优易错试卷练习题(含答案)及答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0， ），点M 是抛物线C 2： 2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （ ，0）、B （3，0）． （2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2 m 2 =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】 （1）在2 y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标． （2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值． （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】 解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=， ∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （ ，0）、B （3，0）． （2）存在．理由如下： ∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。 如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。 函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
高考数学函数知识点汇总2020
高考数学函数知识点汇总2020 高中数学的知识点有很多,高考数学要想那高分就对知识点进行总结,下面就是小编给大家带来的高考数学知识点汇总2020，希望大家喜欢！ 集合 一、集合概念 (1)集合中元素的特征:确定性，互异性，无序性。 (2)集合与元素的关系用符号=表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集;正整数集;整数集;有理数集、实数集。 (4)集合的表示法:列举法，描述法，韦恩图。 (5)空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 函数 一、映射与函数: (1)映射的概念:(2)一一映射:(3)函数的概念: 二、函数的三要素: 相同函数的判断方法:①对应法则;②定义域(两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ①含参问题的定义域要分类讨论; ②对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。 (3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:的形式; ②逆求法(反求法):通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围;常用来解，型如:; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如:，利用平均值不等式公式来求值域;
⑦单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 五、反函数: (1)定义: (2)函数存在反函数的条件: (3)互为反函数的定义域与值域的关系: (4)求反函数的步骤:①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择;②将互换，得;③写出反函数的定义域(即的值域)。 (5)互为反函数的图象间的关系: (6)原函数与反函数具有相同的单调性; (7)原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数，它一定不存在反函数。 七、常用的初等函数: (1)一元一次函数: (2)一元二次函数: 一般式 两点式 顶点式 二次函数求最值问题:首先要采用配方法，化为一般式， 有三个类型题型: (1)顶点固定，区间也固定。如: (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数. 等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根 注意:若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。 (3)反比例函数: (4)指数函数: 指数函数:y=(a>o,a≠1)，图象恒过点(0，1)，单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0 (5)对数函数:
二次函数专题培优(含答案)
二次函数专题复习 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
高考复习文科函数知识点总结
函数知识点 一．考纲要求 注：ABC分别代表了解理解掌握 二．知识点 一、映射与函数 1、映射f：A→B 概念 （1）A中元素必须都有象且唯一； （2）B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2、函数f：A→B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域A 和值域B都是非空数集。函数y=f(x)是“y是x 的函数” 这句话的数学表示，其中x是自变量，y是自变量x的函数，f 是表示对应法则， 它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，
也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与 x 轴至多有一个公共 点，但与 y 轴的公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。） （2）、函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决 定作用的 要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的。判断方法如下： 1、作差（商）法（定义法） 2、导数法 3、复合函数单调性判别方法（同增异减） 三．函数的奇偶性 ⑴偶函数：)()(x f x f =- 设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1) () (=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=- 设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时， 1)() (-=-x f x f ※四．函数的变换 ①()()y f x y f x =?=-：将函数()y f x =的图象关于y 轴对称得到的新的图像 就是()y f x =-的图像； -a -c -b d c b a y=f(x) o y x ? -a -c -b d c b a y=f(-x) o y x ②()()y f x y f x =?=-：将函数()y f x =的图象关于x 轴对称得到的新的图像就是()y f x =-的图像；
二次函数培优专题训练
二次函数培优专题训练 一、实际应用专题 例题1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 例题2 小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元∕只，售价20元∕只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元（例如：某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20-10）=1元，就可以按19元∕只的价格购买），但是最低价为16元∕只．（1）顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？ （2）写出当一次购买x只时（x＞10），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式． （3）星期天，小华来到专卖店勤工俭学，上午做成了两笔生意，一是向顾客甲卖了46只，二是向顾客乙卖了50只，记账时小华发现卖50只反而比卖46只赚的钱少．为了使每次卖得越多赚钱越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元∕只至少要提高到多少？为什么？ 例题3（2010?恩施州）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式． （2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
高中数学必修1函数知识点总结
高中数学必修1函数知识总结 一、函数的有关概念 1．函数的概念：设A 、B 是非空的 ，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．函数的三要素为 找错误：①其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； ②与x 的值相对应的y 值叫做函数值，所以集合B 为值域。 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 专项练习1.求函数的定义域： 类型1.⑴22153x x y x --= + ⑵0 (21)y x =- ⑶2214log (1) y x x = +-+ 总结： 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 类型2 抽象函数求定义域： 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 方法总结 练习1.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域为 练习2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，求函数()f x 的定义域． 练习2. 已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 练习2、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。
初高中函数知识点总结大全
初高中函数知识点总结大全 正比例函数 形如y=kx （k为常数，k≠0）形式，y是x的正比例函数。 1.定义域:R(实数集) 2.值域:R(实数集) 3.奇偶性:奇函数 4.单调性: 当k>0时，图像位于第一、三象限，y随x的增大而增大(单调递增);当k<0时，图像位于第二、四象限，y随x的增大而减小(单调递减)。 一次函数 一、定义及定义式： 自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常数，k ≠0） 一次函数及正比例函数的识别 方法：若y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这 时，y叫做x的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b，这时，y叫做常函数。 ☆A及B成正比例A=kB(k≠0) 二、一次函数的性质：
1.y的变化值及对应的x的变化值成正比例，比值为k，即：y=kx+b （k 为任意不为零的实数 b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法及图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以做出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像及x 轴和y轴的交点） 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数及y轴交点的坐标总是（0，b)，及x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b及函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
高考文科数学知识点(函数部分)
2013高中文科数学知识点（函数） 一、函数的概念： 1. 函数的概念： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 函数的三要素：定义域、对应关系、值域. 2.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 二、定义域的求法： 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1； (5) 指数为零，底不可以等于零； (6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合； (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 三、值域的求法: 1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类： (1)求常见函数值域； (2)求由常见函数复合而成的函数的值域； (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 2.函数值域的常用方法： (1)观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 (2)配方法： (二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值； 常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2 n m x c bx ax x f ∈++=的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。 (3)换元法： 代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。 (4)分离常数法： 对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。 (5)判别式法： 若函数y =f （x ）可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a （y ）x 2 + b （y ）x +c （y ） =0，则在a （y ）≠0时，由于x 、y 为实数，故必须有Δ=b 2 （y ）－4a （y ）·c （y ）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值。 (6)最值法： 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值，并与边界值f(a)，f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数y 的值域。 四、解析式的求法： 1. 待定系数法： 已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足的方程时，常用待定系数法。 2. 函数性质法： 如果题目中给出函数的某些性质（如奇偶性、周期性），则可利用这些性质求出解析式。
九年级二次函数培优竞赛试题及答案
九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1．在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． (1)求点C的坐标； (2)若抛物线y＝－1 4 x2＋ax＋4经过点C． ①求抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c 经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
1.【解析】 试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD 互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标； （2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式； ②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑： （i）A为直角顶点，过A作AP 1垂直于AB，且AP 1 =AB，过P 1 作P 1 M垂直于x轴， 如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP 1 ，利用AAS可证明三角 形AP 1M与三角形ACD全等，得出AP 1 与P 1 M的长，再由P 1 为第二象限的点，得出 此时P 1 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作 BP 2垂直于BA，且BP 2 =BA，过P 2 作P 2 N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形 BP 2N与三角形AOB全等，得出P 2 N与BN的长，由P 2 为第三象限的点，写出P 2 的 坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP 3 垂直 于BA，且BP 3=BA，如图所示，过P 3 作P 3 H垂直于y轴，同理可证明三角形P 3 BH 全等于三角形AOB，可得出P 3H与BH的长，由P 3 为第四象限的点，写出P 3 的坐 标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标．试题解析：（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°， 又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°， ∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2）， ∴OA=CD=1，OB=AD=2， ∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点， ∴C的坐标为（3，﹣1）； （2）①∵抛物线y=﹣1 2 x2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1）， ∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣9 2 +3a+2，解得：a= 1 2 ， 则抛物线的解析式为y=﹣1 2 x2+ 1 2 x+2； ②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，
高考三角函数知识点总结
高考三角函数、解三角形 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 .α----是圆心角且为弧度制。r-----是扇形 半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α α cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin π αα+=-，() cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 x y O — + + — + y O — + + —
高考理科数学函数知识点
高考理科数学函数知识点 高考数学函数知识点 1。函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集 合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=fx，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数 的值域。 注意：2如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能 使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组 的主要依据是：1分式的分母不等于零;2偶次方根的被开方数不小于零;3对数式的真数必须大于零;4指数、对数式的底必须大于零且不等于1。5如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的。那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。6指 数为零底不可以等于零6实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对 应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等 或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变 量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同 时具备 见课本21页相关例2 值域补充 1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考 虑其定义域。2。应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3。函数图象知识归纳 1定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标，函数值y为纵坐 标的点Px，y的集合C，叫做函数y=fx,x∈A的图象。