20124高三一模试题理
海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（理科）
2012.04
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A B =R ，那么m 的值可以是 （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2
（2）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =
（A ）
116
（B ）
18 （C ）14
（D ）
1
2
（3）在极坐标系中，过点3(2,
)2
π
且平行于极轴的直线的极坐标方程是
（A ）sin 2ρθ=- （B ）cos 2ρθ=- （C ）sin 2ρθ= （D ）cos 2ρθ=
（4）已知向量=(1)=(1
)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则 =
a
（A
（B （C ）2 （D ）4 （5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是
（A ）4 （B ）5
（C ）6 （D ）7
（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是 （A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48
（7）已知函数2,1,
()1,
1,x ax x f x ax x ?-+≤=?->? 若1212,,x x x x ?∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则
实数a 的取值范围是
（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <- （8）在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是
棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为
（A ）0 （B ）3
（C ）4 （D ）6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数
2i
1i
a +-在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = . （10）过双曲线
22
1916
x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . （11）若1tan 2α=
，则cos(2)απ
2
+= . （12）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品
需求弹性
EQ EP 大于1（其中'
EQ Q P EP Q
=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围
是 . （13）如图，以ABC ?的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交
BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，
那么CDE D= ，CD = .
F
E
D
C
B
A
A'B'
C'
D'A
B
C
D
（14）已知函数1,,
()0,,
x f x x ì???=í
????R Q Q e则
（ⅰ）(())f f x = ； （ⅱ）给出下列三个命题： ①函数()f x 是偶函数； ②存在(1,2,3)i x i ?R ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等腰直角三角
形；
③存在(1,2,3,4)i x i
?R ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i =为顶点的四边形为菱形.
其中，所有真命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b
c ，且A ，B ， C 成等差数列. （Ⅰ）若b =
3a =，求
c （Ⅱ）设sin sin t A C =，求t
的最大值
(16)（本小题满分14分）
在四棱锥P
ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平面A B C D
，4PA =.
（Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m
；
（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC
（Ⅲ）
设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC
，求PQ
PB
(17)（本小题满分13分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成
P
D
C
B
A
频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，
[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].
（Ⅰ）求直方图中x
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600
名新生中有多少名学生可以（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列
和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20
(18)（本小题满分13分）
已知函数21
()e
()(0)kx
f x x x k k
-=+-<.
（Ⅰ）求()f
x （Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于2
3e -？若存在，求出k 的值；若不存
(19)（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PFO ∠=?.
（Ⅰ）求椭圆G （Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，
直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.
（ⅰ）证明：120m m +
=
（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值
(20)（本小题满分14分）
对于集合M ，定义函数1,,
()1,.M x M f x x M -∈?=???
对于两个集合M ，N ，定义集合
{()()1}M N M N x f x f x ?=?=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =.
（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ?（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ?+?的最小
（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满足,P Q A B ? ，且()()P A Q B A B ???=?？