等差数列的通项求和及其性质

等差数列通项求和及其性质

1.等差数列概念及通项公式

1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数

列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 2) 等差数列的判定方法:

（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 3) 等差数列的通项公式：

如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。

通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *

. 2.等差数列性质

2.1等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b

2

.

2.2已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．

(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1

＝….

(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *

)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *

)．

(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *

)． (4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.3等差数列的单调性

当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 3.等差数列求和（倒序相加法） 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S +=

②d n n na S n 2

)

1(1-+

= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 4.等差数列求和性质

已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2

d .

(2)????

??S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.

(3)在等差数列{a n }中，

①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n

a n ＋1

. ②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；

S 奇S 偶＝n n －1

. (4)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a m

b m

. 题型一 基本量运算

【例1】等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )

A ．297

B ．144

C ．99

D ．66

【例2】在数列{an}中，a 1=2，2a n +1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）

A ．49

B ．50

C ．51

D ．52

【例3】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．

【例4】设Sn 是等差数列

{}n a 的前n 项和，若==5

935

,95

S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．

21

【例5】等差数列{}

n a 中，已知3

1a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ）

（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51

题型二 数列求和与最值问题

【例1】已知等差数列的公差d ＜0，前n 项和记为S n ，满足S 20＞0，S 21＜0，则当n ＝________时，S n 达到最大值．

【例2】已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．

【例3】设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若S 3S 7＝13，则S 6

S 7

＝________.

【例4】等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？

【例5】等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=L ，98n n n a a a q --+++=L ，则其前n 项和n S =？

(1)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；

(2)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．

课后练习 【补救练习】

1. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若S 3S 7＝13，则S 6

S 7

＝________.

2.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2.数列{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n

a n ，n ∈N *

. (1)若数列{a n }是等差数列，求数列{b n }的前6项和S 6； (2)若数列{b n }是公差为2的等差数列，求数列{a n }的通项公式．

3.在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．

1.在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．

【拔高练习】

1.已知数列{a n}的通项公式是a n＝4n－25，求数列{|a n|}的前n项和．

2.（探索）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足8S n＝a2n＋4a n＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比数列{b n}的前三项．

(1)求数列{a n}及{b n}的通项公式；

(2)是否存在常数a>0且a≠1，使得数列{a n－log a b n}(n∈N*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．