鲈鱼体重与其身长

鲈鱼体重与其身长、胸围关系的讨论

摘要：

本文讨论的是鲈鱼体重与其身长、胸围的关系。由题目中数据可分析得出以下结论：

1． 鲈鱼的体重与其身长成正比关系；

2． 鲈鱼的体重与其胸围成正比关系；

3． 鲈鱼的体重与其身长和体重同时存在某种关系。

由此基本分析，我组建立模型：2

0.0327W LC =

此模型考虑到单一变量的不可靠性，在合理的假设下将身长与胸围同时考虑得到。本模型的优点在于对条件中双变量同时考虑，模型精度得以有所保障。

关键字：双变量，多项式拟合

问题重述：

本问题讨论的是按照测量鲈鱼身长、胸围估算其体重的方法。由生活常识易知，鱼的体重应该与身长成正比例关系，也与胸围成正比例关系。问题的核心在于，根据已知数据得出一种可行的估算方法，这需要从定性分析过渡到定量分析，即明确具体函数关系。具体建立模型时同时考虑身长、胸围对体重的影响，进而得出精度较高较符合现实的模型。 模型假设：

1． 假定鱼池中只有一种鲈鱼；

2． 假定鱼池中鲈鱼的密度相同；

3． 鲈鱼的体态用与身长等高，与胸围等周长的圆柱体来近似。

此模型的建立要用到基本假设，即鲈鱼的体态用与身长等高，与胸围等身长的圆柱体来

近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长表示：2

4C π

。因此可以分析得出2

W LC ∝。又物体质量等于密度与体积的乘积，因此只需根据数据求出密度即可。于是身长，胸围与体重的关系可以表示为：2

W LC α=，问题转化为对系数α的求解。利用MATLAB

软件和已知的八组数据可以分别求出与之一一对应的α值：

0.0334 0.0332 0.0303 0.0346 0.0326 0.0338 0.0341 0.0305 为了得到精确地模型对数据进行处理

0.0327α≈

因此 20.0327W LC =

模型检验：

利用得到的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：

模型评价及推广：

在本问题的讨论中因单一变量的模型较单一化理想化，于是将两个变量综合考虑，通过机理分析得到了较实际较精确的模型：2

0.0327W LC

此模型的精确度在2%左右，可见可以应用到实际问题中。

此模型的缺点在于其基础假设仍然过于理想化，仅将鱼的体形看做圆柱体，这会带来很大误差。

此模型可推广到对木料的重量估测上，因木料的形状更接近本模型假设的圆柱体，其精度会进一步提高。

附录：

建模中用到matlab 的程序如下 >>L=[31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1];

>>C=[21.3 21.6 21.6 22.9 24.8 24.8 27.9 31.8];

>>W=[482 482 454 652 737 765 1162 1389];

>>a=W./L./C.^2

a=

0.0334 0.0332 0.0303 0.0346 0.0326 0.0338 0.0341 0.0305