曲线积分与曲面积分复习
第8章 曲线积分与曲面积分
向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分
概念与形式
恒力沿直线方向做功 →
→→
→
?=?=l F l F w θcos ||||
变力沿曲线运动?取微元 Qdy Pdx ds F dw +=?=→
||，则?
+
+=L Qdy Pdx W 。
平面曲线
?
+
+L Qdy Pdx ，空间曲线?+++L
Rdz Qdy Pdx ，性质??-+=L
L
一、计算方法 1．设参数，化定积分
?
L
dx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1
?'+'
2．平面闭曲线上积分－用格林公式
???+=???? ?
???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D
的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ?上有连续一阶偏导数。
3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关
),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ?上连续。下列四个命题等价
（1）?
+C
Qdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .
（2）
?+L
Qdy Pdx 积分与路径无关
（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+B A L
L
u du Qdy Pdx |==+?
??
（4）
x
Q
y P ??=?? 在D 内恒成立. 常以（4）为条件，（2）作为结论，
自选路径积分
二、例题
1．基础题目，设参数，化定积分 （1） 计算?
-=L
ydx xdy I ，:
L 如图ABCDEA
解 （1）设参数法
?∑?
==L
i L i
5
1
于1L 上 设t x cos =，t y sin =
??
-=
+=-0
2
222
)sin (cos 1
ππ
dt t t ydx xdy L
于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=
??
=?+?=-20
)sin sin 2cos 2(cos 2
π
πdt t t t t ydx xdy L
于3L 上 以x 为参数，xdx dy 2-=
?
?
-=
---=-2
223
8)]2()2([3
dx x x x ydx xdy L 于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ??
-=-=-1
0224
dy ydx xdy L
于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ?
?-=--=-02
2)1(5
dx ydx xdy L
综上
23
14
23+=-?πL
ydx xdy 解（2）（用格林公式）
)(224321
S S S S
dxdy ydx xdy D
L
+++==-???
2314232222322121414
12+=??
? ??+??+??+
=πππ （2） 计算 ?
++=
C
dz x dy z dx y I 222。其中C 是曲线
)0,0(2
22
222≥>?????=+=++z R Rx
y x R
z y x 从x 轴正向看去，逆时针方向。
解（1）令2sin sin 2cos 2
2222θθ
θR y x R z R y R R x =--=????
???
?
==-
θθθθθθθπ
d R R R R R R I ]2cos 2)cos 1(4cos 22sin sin 2sin 4[22222022?+++-=? 34
1R π-=
解（2） 由对称性 02≠?C dy z ，而02=?C dx y ，02
=?C
dz x ，由上述参数法
dt t t R t d R
R I 22cos sin 2
2
cos 2
2sin
02
320
2
2?==?
?π
π
θ
θ
θθ ?
?
-=-=20
423
2
2
3
)sin 2(sin 2)sin 21(sin π
π
dt t t R
dt t t R
3
3
41
22413221
2R R ππ
-=??
???????-= 注（1）设参数注重平面，“抓住平面痕迹，解得空间曲线
(2)对称性问题，以直观（几何）定义解之为好
（3） 计算：?++L
xdz zdy ydx 。???=++=+1
:2
22z y x R y x L 交线，从z 轴正向看去逆时针方
向。 （令t R x cos =,t R y sin =，t R t R z sin cos 1--=） 例2 格林公式（加线减线）
（1） 计算
?
-++-C
x x dy ax y e dx y x b y e )cos ()](sin [，:C 从点)2,0(a A 沿曲线
22y ay x --=到点)0,0(O 的曲线。
连接O ，A 直线段（记为L ）??+-+=L
L
C Qdy Pdx Qdy Pdx I
?-++-=
L
C x x
dy ax y e dx y x b y e
)cos ()](sin [
?-++--L
x x dy ax y e dx y x b y e )cos ()](sin [
???----=a D
x
x
ydy dxdy b y e a y e 20
cos )]cos ()cos [(
a a
b a y dxdy a b a
D
2sin )(2
|sin )(220--=--=??π
2．L 是不过原点的简单闭曲线（正向）计算曲线积分
?+-L y x ydx
xdy 224。
解 （1）当L 不包围原点时???=???
??
?++--++-=+-L D dxdy y x y x y x y x y x ydx xdy 0)4(4)4(44222222222222 （2）当L 包围原点时，做小椭圆2
224:εε=+y x L (使ε充分小，从而e L 含于闭曲线
内)。则
πεε
π
ε
ε
ε
ε
ε
=???=+=
-==???
?
?+2
21
)11(1
2
22
L
D
L L dxdy ydx
xdy 。
注：本题为一特殊类型，形式：闭曲线围奇点；只当满足
y
P
x Q ??=??可微，此时对于任
意围奇点的闭曲线积分相等。
例3 （积分与路径无关问题）
.a P ，Q 已知，积分与路径无关，自选路径
（1）计算
?+-L y x ydx xdy 2
2，L ：x y 2cos π
=，由)0,1(-A 至)1,0(B 再到)0,1(C 弧段 解 易验证
y
P x Q ??=??，积分与路径无关，做)0(12
2≥=+y y x 段（记为1L ） 则原式?
??-=+=-=+-=
1
)sin (cos 02222L L dt t t ydx xdy y
x ydx
xdy ππ （2）计算
?
--+^
)(cos )12(AOB
y
y dy xe y dx e xy ，其中^
AOB 为起于)1,1(-A 沿2
x y =到)0,0(O 再沿0=y 至)0,2(B 。
解 ?????++-++=+=
2
)10(cos 12^
^
^
dx ydy xydx dy xe dx e I AO
OB
AO
y
y AO
2cos 12)(0
1
012^
+-+=
???-ydy dx xx xe d AO
y
1sin 12|sin |4
120
1014)
0,0()1,1(+-=+-?+=--e y x xe
y b ．P ，Q 之一未知，已知积分于路径无关问题。
（1）设f 具有连续二阶导数，且1)1()1(='=f f ，
?=?????
???? ??'-+??? ??+L dy x y f x y dx x y xf x y 0[]2， 其中L 是任一不与y 轴相交的简单光滑逼曲线，求)(x f 。
解 L ?原积分为零，则
y P x Q ??=??，即
??
?
??''??? ??--'-='+x y f x y x x y f x y f x x x y 2)()(2
x
y
x y f x y f x y 22=??? ??'-??? ??''，令t x y =，得t t f t f t 2)(2)(='-''，2)(2)(='-''t f t t f
222222
222122)(ct t ct t t c dt t t c dt e e t f dt t dt t +-=+-=??? ??+=???
? ??+??='??- 代入1)1(='f 得c +-=21，3=c ，t t t f 23)(2-='，12
3)(c t t t f +-=，
代入初值1)1(=f 得1111c +-=,11=c ，则1)(23+-=t t t f 即1)(2
3+-=x x x f
（2）设函数),(y x Q 与xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
?+L
dy y x Q xydx ),(2路径无关，
且t ?恒有
?
?
+=+)
,1()
0,0()
1,()
0,0(),(2),(2t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx
求),(y x Q 。
解 由于积分与路径无关，得
x xy y
x Q 2)2(=??
=??，则)(),(2y c x y x Q +=，)(y c 为待定函数，则 ???
+=+=+1
1
22)
1,()
0,0()())((),(2dy y c t dy y c t dy y x Q xydx t
????
+=+==+t
t
t
t dy y c t dy y c dy y Q dy y x Q xydx 0
)
,1()0,0()())(1(),1(),(2
从而 ??+=+
t
dy y c t dy y c t 0
10
2
)()(，
对t 求导得 )(12t c t +=，12)(-=t t c ，12)(-=y y c 从而12),(2
-+=y x y x Q ；
小注：上述两例由积分与路径无关，和P ，Q 之一未知而导得微分方程，称为解方程问
题。
向量值函数在有向曲面上的积分
一、概念与形式 1．定义
流量→
→→
→
????=s v v n S v Q ),cos(||，Rdxdy Qdzdx Pdydz ds v dQ ++??=→
→
)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P v =→
????+
+
++=?→
S S Rdxdy Qdzdx Pdydz dS v
2．物理意义：计算流量，通量 3．性质：
??
??-
+
-=S S
4．计算方法：投影，定号：上正下负，右正左负，前正后负，做二重积分 5.高斯公式
Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P ++=????
????+??+???????∑
Ω，
或
dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos (γβα++=???? ????+??+???????∑
Ω
这里∑是Ω的整个边界曲面的外测,γβαcos ,cos ,cos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦.
二、例题 例1 求积分
??外
S xyzdxdy ，其中1:222
=++z y x
S ，0,0≥≥y x 部分外测
解 把S 分成两部分：221:y x z S --=上，221:y x z S ---=下
??
????????----+--=+=xy
xy S S S D D dxdy y x xy dxdy y x xy )1()1(12
222下外
上外
外
15
2
1cos sin 212
1
224
2
2=-=--=?
???rdr r r d dxdy y x xy xy
D π
θθθ。 例2 ??++-=S
dxdy z ydzdx I )1(，其中4:22
=+y x
S 被0,2==+z x z 所截部分曲
面外测。
解：??????-+-=-右外
左外
外
S S S ydzdx ydzdx ydzdx
????--+----=zx zx
D D dzdx x dzdx x 224)4(
π8424220
2
2
22-=--=--=?
?
??--x
D dz dx x dzdx x zx
0)1(=+??外
S dxdy z
综上，原式π8-=。
例3 计算
??
∑
++++2
122
2
)
()(z y x dxdy a x axdydz ，:∑下半球面2
22y x a z ---=上侧)0(>a 。
解 做xoy 面，记0S ，则
原式dxdy a x axdydz a a dxdy a x axdydz a S S )()0(11)(100++=???
? ??-=++=??????+∑∑
（下
2
33
2))0((1)1(1a a dxdy a x a adv a xy D V ππ+-=+=---
=????? 例4 计算
dxdy z z y f y dzdx y z y f z dydz x ???? ??++??? ??++??∑
222)(1)(1，其中f 具有连续偏
导数，1,:22222=+++=∑z y x y x z 和4222=++z y x 所围立体表面外测。
解 ???+-'++'+
=
v
dv z z
y
f y y f z x I ]2)(1212[2
2
?????????==++=2
1
24
20
||
0||
0cos sin 22)(2rdr r d d zdv dv z y x v
v
ππ???θ
4
25π
=
例5 设S 为上半球面：)0(),0(2
2
2
2
>≥=++a z a z y x ，下列积分不为零的是
（A ）??上
S dydz x 2
；
（B ）
??上
S xdydz ；
（C ）
??S
xdS ；
（D ）
??S
xyzdS （B ）
Stoks 公式应用例
一、公式：?????
????=++S
l R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx
????-??+??-??+??-??=S
dxdy y
P
x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(
,l 与S 的方向满足右手定则。 二、例题
例1 计算?++C
xdz zdy ydx ，C 为曲线???=++=++02222z y x a z y x 其方向为从z 轴正向看去为
反时针方向。
解 原式??
??---=??
????=S S dxdy dzdx dydz x
z y z y x dxdy
dzdx dydz
??++-
=S
dS )cos cos (cos γβα
由0),,(=++=z y x z y x F ，1='x F ，1='y F ，1='z F ，)1,1,1(=→
n 。
??
?
??=→
31,31,310
n ，γβαcos cos 31cos ===。
上式2-
=-=??a dS S
π33
。
例2 计算?
-+-+-=
L
dz y x dy x z dx z y I )3()2()(222222，其中L 是平面
2=++z y x 与柱面1||||=+y x 的交线，从z 轴正向看去为逆时针方向。
解 原式??
---??
????=
S
y x x z z y z y x dxdy dzdx dydz 2
2222232
??--+--+--=
S
dxdy y x dzdx x z dydz z y )22()62()42(
注意到dS dydz αcos =dS 31=
，dS dzdx βcos =dS 31=，dS dxdy γcos =dS 3
1=
上式????--++-=++-=S
S dxdy y x y x dS z y x 3)]2(324[32
)324(32
2412)6(2-=-=+--=????D
D
dxdy dxdy y x 。
注：此类问题命题方式通常都是平面与曲面交线，且总是要化成第一型曲面积分来处理。
同时为减少计算量P ，Q ，R 通常为一次函数，充其量不过二次。
习题课
1．计算曲线积分?
+ds y x )(2
2，其中L 是圆周ax y x =+2
2.
解 利用L 的极坐标方程
,2
2
,cos )(π
θπ
θθ≤
≤-
=a r
被积函数,cos )(2
2222θθa r y x ==+θd r r ds 22'+=
=
θad ，于是
?+ds y x
)(2
2
?-
?=22
22cos π
πθθad a
?
=20
23
cos 2π
θθd a
.2
22123
3
a a ππ=??=
图8－20
例 2 计算
?+L
ds y
x )(3
，其中L 是圆周222R y x =+.
解 利用曲线积分的性质，得
?
+L
ds y x )(3＝?L
xds ＋?L
ds y 3
对于?
L xds ，因为积分曲线L 是关于y 轴对称的，被积函数x y x f =),(1是L 上关于x 的
奇函数，所以?
L xds ＝0.
对于
?
L
ds y 3，因为积分曲线L 是关于x 轴也是对称的，被积函数32),(y y x f =是L 上
关于y 的奇函数，所以
?
L
ds y 3＝0.
综上所述，得
?+L
ds y
x )(3
＝0.
关于对称性的一般法则
设函数),(y x f 在一条光滑（或分段光滑）的曲线L 上连续，L 关于y 轴（或x 轴）对称，则
（1）当),(y x f 是L 上关于x （或y ）的奇函数时，
?
=L
ds y x f 0),(；
（2）当),(y x f 是L 上关于x （或y ）的偶函数时，??
=1
),(2),(L L
ds y x f ds y x f ，其
中曲线1L 是曲线L 落在y （或x ）轴一侧的部分。
例3 计算
?++ABCDA xy dy
dx 1||，其中ABCDA 为1||||=+y x ，取逆时针方向.
解 积分路径如图8－21，利用对称性。将原式分成两部分，即
???+++=++ABCDA ABCDA ABCDA xy dy
xy dx xy dy dx 1
||1||1
||
第一个积分，曲线关于x 轴对称，L 在上半平面部分的走向与L 在下半平面部分的走向相反(前者C A →，后者
A C →)，被积函数是y 的偶函数。
第二个积分，曲线关于y 轴对称，L 在右半平面部分的走向与L 在左半平面部
图8－21
分的走向相反(前者B D →，后者D B →)，被积函数是x 的偶函数。所以两个积分均为零.即
?++ABCDA xy dy
dx 1||＝0
上述结论再一般情况下也成立.
对坐标的曲线积分，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 轴对称，L 在上半平面与下半
平面部分的走向相反时， （1）若),(),(y x P y x P -=（即),(y x P 为y 的偶函数），则
?=L
dx y x P 0),(；
（2）若),(),(y x P y x P --=（即),(y x P 为y 的奇函数），则
?=L
dx y x P ),(
?1
),(2L dx y x P ，其中1L 为L 的上半平面的部分.
类似地，对
?L
dy y x Q ),(的讨论也有相应的结论.
例 4 设),(y x P ，),(y x Q 在光滑的有向曲线C 上连续，L 为曲线弧C 的弧长，而
22max Q P M +=，证明
.LM Qdy Pdx C
≤+?
证 由两类曲线积分的联系和性质，有
??
+=+C
C
ds
Q P Qdy Pdx )sin cos (.θθ
?+≤C
ds Q P |)sin cos (|θθ
?+?+=C
ds Q P |)sin (cos )(|j i j i θθ
.
|)sin (cos ||)(|2
2ML ds M ds Q P ds
Q P C
C
C
=≤+=++≤??
?j i j i θθ
例5 求面密度为常数ρ的均匀抛物面壳)0()(22
2≥+-=z y x z 的重心坐标.
解 由抛物面)(22
2
y x z +-=的对称性和均匀性知，重心坐标中0,0==-
-y x ，下面
求坐标-
z .
抛物面∑在xOy 平面上的投影区域xy D 为22
2
≤+y x ，故有
.3
13414412
220
22ρπ
θρρρπ=
+=++==??????∑
dr r r d dxdy
y x dS M xy
D
.10
3741)2(441)](2[2
2220
2222ρπ
θρρρπ=
+-=+++-==??????∑
dr r r r d dxdy
y x y x dS z M xy
D xOy
所以 130
111
3131037===-ρπρπ
M M z xOy
重心坐标为).130
111
,0,0(
例
6
计
算
??∑
++
+,2
2
dxdy y
x e zdzdx dydz z 其中∑是锥
面22y x z +=
被平面1=z 和2=z 所截得
的部分的下侧.
解 在计算
??∑
dydz 时，∑可分为两块，即
前面一块1∑和后面一块2∑，1∑在yOz 平面上的投影为正，2∑在yOz 平面上的投影为负，其投影区域xy D 相同.见图9－22.故
图8－22
.02
1
=-=+=??????????∑∑∑
xy
xy
D D dydz dydz dydz dydz dydz
在计算
??∑
zdzdx 时，∑可分为两块，即右面一块3
∑
和左面一块3∑，3∑在zOx 平面上
的投影为正，2∑在zOx 平面上的投影为负，其投影区域zx D 相同.故
.04
3
=-=+=??????????∑∑∑
zx
zx
D D zdzdx zdzdx zdzdx zdzdx zdzdx
在计算
??
∑
+,2
2
dxdy y
x e z 时，注意被积函数2
2
),,(y
x e z y x R z +=
中，2
2y x z
e
e +=，
∑在xOy 平面上的投影为负，投影区域xy D 可用极坐标表示为πθ20,21≤≤≤≤r ，故
).
1(22
1202
2
2
2
22e e rdr r
e d dxdy
y
x e
dxdy y
x e
r
D y x z
xy
-=-=+-=+????
??
+∑
πθπ
例7 计算??∑
+++dxdy z x ydzdx xdydz )(，其中∑是平面222=++z y x 在第一卦
限部分的上侧.
解 因为∑取上侧，因此法向量n 与z 轴正向的夹角为锐角，其方向余弦是,3
2
cos =
α 3
1
cos ,32cos ==
γβ，则有 ??∑
+++dxdy
z x ydzdx xdydz )(()????∑∑++=??? ?
?+++=dS zz y x dS z x y x 333131313232
.
计算
()??∑
++dS zz y x 3331
。∑的方程为y x z 222--=，其在xOy 平面的投影区域xy D ：10,10≤≤-≤≤x x y ，又曲面的面积元素
dxdy dxdy dxdy z z dS y x 3)2()2(112222=-+-+=++=
所以
??∑
+++dxdy z x ydzdx xdydz )(
＝
.6
7
)2(3)22223(311010=+=--++????-x D dy x dx dxdy y x y x xy
例8 计算?-+-=
L
x x
dy my y e dx my y e
I )cos ()sin (，其中L 是ax y x =+22从点
)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆弧，m 为常数.
解 我们补一条直线OA ，得闭曲线AnOA ，从而
可以是呀格林公式
?--+-+OA
x x dy my y e dx my y e I )cos ()sin (
＝?-+-AnOA
x x
dy my y e dx my y e
)cos ()sin (
＝
????=--D
D
x x mdxdy dxdy m y e y e )]cos (cos [
图8－23
＝.8
2222
a m a m ππ=?
?? ???
其中D 为半圆.8
,
0,2
2
2
a dxdy y ax y x D
π=
≥≤+??
又 0)cos ()sin (=-+-?-OA x
x
dy my y e dx my y e ，故.8
2
a m I π=
例9 计算
??
∑
++++2
3
222)
(z y x zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑为任一不经过原点的闭曲面的外测.
解 因为
)0(0222≠++=??+??+??z y x z
R y Q x P ，所以 （1）当∑不包围原点时，由高斯公式即得
??
∑++++2
3222)
(z y x zdxdy ydzdx xdydz ＝0。
（2）当∑包围原点时，取12
2
21=++∑z y x ：的外测，
由高斯公式，得
??
∑
++++2
3222)
(z y x zdxdy ydzdx xdydz ＝
??
∑++++1
2
3222)
(z y x zdxdy ydzdx xdydz 。
而
??
∑++++1
2
3222)
(z y x zdxdy ydzdx xdydz ??∑++=1
zdxdy ydzdx xdydz
.431
π==???Ωdv
即
??
∑
++++2
3222)
(z y x zdxdy ydzdx xdydz .4π=
例10 计算
dS n F ???
∑
rot ，其中)3,,(2
3xy yz x z x -+-=F ，∑是锥面-=2z 22y x +在xOy 平面上方的部分，n 是∑的上侧的单位法向量.
解 曲面∑与xOy 平面的交线（即其边界）为0,2:2
2
2
==+Γz y x ，并取Γ为逆时
针方向.
由斯托克斯公式，知
dS n F ???
∑
rot ＝?Γ?r F d ?Γ
-++-=dz xy dy yz x dx z x 2
33)()(，
在Γ和Γ所围成的平面42
21≤+∑y x ：上，对上式右端闭路积分再次应用斯托克斯公
式，得
???
∑Γ
?=-++-1
233)()(dS dz xy dy yz x dx z x n F rot ，其中)1,0,0(=n
πθθπ
12cos 332
3220
4
222==?
???≤+dr r d dxdy x y x ＝
例11 设函数)(x f 有连续的导数，且曲线积分
?+--L
x
dy x f ydx x f e )()]([与路径无关，求)(x f 。 *
解 由于积分与路径无关，所以
y
P x Q ??=??，从而)()(x f e x f x
-='-。 由一阶线性微分方程的通解公式，有
)()(x c e dx e e c e x f x dx
x dx +=??
? ???+?=---?
例12 设函数)(x f 有连续的导数，满足条件0)0(=f ，且曲线积分
?+L
dy
x yf dx xy )(2
与路径无关，求)(x f 。并计算?
+=
)
1,1()
0,0(2)(dy x yf dx xy I *
解 由于积分与路径无关，所以
y
P
x Q ??=??，从而x x f 2)(='。 由一阶线性微分方程的通解公式，有c x x f +=2
)(。 又0)0(=f ，所以c=0,从而2
)(x x f =。
?==+=)
1,1()0,0()
1,1()
0,0(222221
21y x dy yx dx xy I