轴对称图形综合习题-全等三角形综合

[角平分线的作法] [角平分线的性质]

在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

A B

C P

M

N

O

∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ， ∴PM=PN

[角平分线的判定]

到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

A B

C P

M

N

O

∵PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠AOB

[三角形的角平分线的性质]

三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．

[边边边]

三边对应相等的两个三角形全等．（SSS ）

[边角边]

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)

[角边角]

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）

[角角边]

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（AAS）

[斜边、直角边]

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（HL）

[轴对称图形]

如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．

有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．

[轴对称]

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

[图形轴对称的性质]

如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

[轴对称与轴对称图形的区别]

轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

[线段的垂直平分线]

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线

段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

[轴对称变换]

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． [轴对称变换的性质]

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样

（2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． [作一个图形关于某条直线的轴对称图形]

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

[关于坐标轴对称]

点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是（x ，-y ） 点P （x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标是（-x ，y ） [关于原点对称]

点P （x ，y ）关于原点对称的点的坐标是（-x ，-y ）

[关于坐标轴夹角平分线对称]

点P （x ，y ）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x 对称的点的坐标是（y ，x ）

点P （x ，y ）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x 对称的点的坐标是（-y ，-x ） [关于平行于坐标轴的直线对称]

点P （x ，y ）关于直线x=m 对称的点的坐标是（2m-x ，y ）；

点P （x ，y ）关于直线y=n 对称的点的坐标是（x ，2n-y ）；

[等腰三角形]

有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． [三角形按边分类]

三角形()??

???

???

不等边三角形

底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形

[等腰三角形的性质]

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.

[等腰三角形的判定定理]

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．特别的：

（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．

（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．

（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．

（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．

[利用“三角形奠基法”作图]

根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形.

[等边三角形]

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

[等边三角形的性质]

等边三角形的三个内角都相等，?并且每一个内角都等于60°

[等边三角形的判定方法]

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

[直角三角形的性质]

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．[三角形中的边角不等关系]

（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.（简称为：大边对大角）

图

1

（2）在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大.（简称为：大角对大边） [添加辅助线口诀]

几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连. 线段垂直平分线，常向两端来连线. 线段和差及倍分，延长截取全等现； 公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换. 角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现； 角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看。

（07天河）5．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是．．

直角三角形的是（ ）． A ．a =1.5，b=2，c=3 B ．a =7，b=24，c=25 C ．a =6， b=8，c=10

D ．a =3，b=4， c=5

（07天河）7．沿着虚线将矩形剪成两部分，（图中实点为对称中心或中点）既能拼成三角形又能拼成梯形的是（ ）．

（07天河）8．如图1所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心、

正方形对角

线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）． A ．2

11

B ．1.4 C

．3 D

（07天河）10．如图3，在R t ABC △中，AC ＝5cm ，BC ＝4cm ，沿直角边B C 所在的直

线向右平移3cm ，连结AD 、AE 、DC ，估计所得到的四边形AECD 的周长与（ ）最接近．

A ．10cm

B ． 11cm

C ．12cm

D ． 13cm

（08天河）5．如图，A B C △与A B C '''△关于直线l 对称，则B ∠的度数为（ ）．

B '

l A B

E C

F

D

图3

E

D

C

B

A 图2

A ．30

B ．50

C ．90

D ．100

（08天河）8．如图，已知：AB ∥ED ，CE =CA ，∠E = 65，

则∠CAB 的度数为（ ）． A ． 25 B ． 50 C ． 60 D ． 65

（08天河）9．如图，ABC △中，A B A C =，30A ∠= ，D E 垂直平

分A C ，则B C D ∠的度数为（ ）． A ．80 B ．75

C ．65

D ．45

二、填空

（08天河）15．如图，点P 在A O B ∠的平分线上，若使A O P B O P △≌△，则需添加的

一个条件是 ．（只写一个即可，不添加辅助线）

三、解答

（08天河）17（1）在图1所示编号为①，②，③，④的四个三角形中，关于坐标轴对称的

两个三角形共有__________对；分别是 （写三角形编号）

（2）在图2中，画出与A B C △关于x 轴对称的111A B C △．并写出其中一对对应点的坐标．

第9题--图

第15

题--图

A

B

P

O

第22题--图

B

（08天河）

22．（本题满分12分）

如图，坐标轴上点A 、C 0）、（0，1）， 点A 关于y 轴的对称点为B ，设点

B 的坐标为（x ，0）．

（1）求x -

（2）试判断△ABC 的形状并求出该三角形的面积；

（3）求22)3x x x +-+（（）

的值．

（08天河）23．（本题满分12分）

如图所示，在A B C △中，D E ，分别是A C 和A B 上的一点，B D 与C E 交于点O ，给出下列三个条件：①E B O D C O ∠=∠；②O B O C =；③B E C D =．

（1）上述三个条件中，哪两个条件组合可以判定A B C △是等腰三角形（用序号写出所有的情形）；

（2）选择（1）小题中的一种情形，证明A B C △是等腰三角形．

班级： 姓名： 分数：

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.两个三角形有以下三对元素对应相等，则不能判定全等的是（ ） (A)一边和任意两个角 （B ）两边和他们的夹角

（C ）两个角和他们一角的对边 （D ）两边和任意一角

2.点M （1，2）关于y 轴对称的点的坐标为（ ） （A ）（—1，2） （B ）（－1，－2） （C ）（1，－2） （D ）（2，－1）

3、下列的图形不是轴对称图形的是（ ）

4.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 （ ） （A ）75°或15° （B ）75° （C ）15° （D ）75°和30°

5.如图所示，已知∠1=∠2，要使BD=CD ，还应加上一个条件，这个条件不能是（ ） ①AB=AC ；②∠B=∠C ；③AD ⊥BC ；④ACD ABD S S ??=

A.① B ② C ③ D ④ 5题图

6.在△ABC 内部取一点P 使得点P 到△ABC 的三边距离相等，则点P 应是△ABC 的哪三条线的交点.（ ）

B

D

C

C

D

（A ）高 （B ）角平分线 （C ）中线 （D ）三边垂直平分线

7、如图，△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则图中等腰

三角形有（ ）个.

A.4个

B.5个

C.6个

D.7个

7题图

8题图

8.已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线， BE=CF ，则下列说法正确的有几个 （ ）

（1）AD 平分∠EDF ；（2）△EBD ≌△FCD ； （3）BD=CD ；（4）AD ⊥BC. （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.长方形的对称轴有_________________条.

10.等边三角形的边长为a ，则它的周长为_____________. 11.已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°， ∠C ＝25°，则∠AEB ＝ 度.

12.等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为______ ___. 13.某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带__________块去.

13题图

14.如图，已知AB ＝AD ，∠1＝∠2， 要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是 （只需填一个） .

O

A B

E

第11题图

A

E

B

C

D

E

B C D

E

F A 15.如图，ABC ?中，点A （0，1），点B(3，1) 点C （4，3），如果要使ABD ?与ABC ? 全等，

那么点D 的坐标是 .

16.如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线， AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的 周长为____________.

三、证明题(每小题7分，共28分)

17.如图，?ABC 和?ECD 都是等边三角形，求证：AD=BE .

18.已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF ，求证：AB ∥DE ；BC ∥EF.

19.已知：BE ⊥CD ，BE=DE ，BC=DA ，求证：DA ⊥BC.

A

B

D C

E

16题图

E

C

B A

20.已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.

证明：延长EA 至M ，使AM ＝CF ，连接BM 故：AB ＝BC ∠BCF

＝∠BAM ＝90度 故：△MAB

≌△BCF

故：∠FBC ＝∠ABM ∠M ＝∠BFC ＝90度－∠FBC 又：∠ABE ＋∠EBF ＋∠FBC ＝90度 故：∠ABE ＋∠EBF ＋∠ABM ＝90度

故：∠MBE ＝∠ABE ＋∠ABM ＝90度－∠EBF 又：BF 平分∠CBE 故：∠EBF ＝∠FBC

故：∠M ＝90度－∠FBC ＝∠MBE ＝90度－∠EBF 故：BE ＝EM ＝AE ＋AM ＝AE ＋CF

延长DC 到G ，使CG=AE

因为 AB=BC,AE=CG,∠A=∠BCG=90° 所以 △ABE ≌△BCG

可知 BE=BG,CG=AE ，∠ABE=∠CBG

所以 ∠BFG=∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠CBG+∠FBC=∠FBG 所以 BE=BG=FG=CF+CG=CF+AE

D

F

四、解答题（每小题8分，共24分）

21. 如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，ΔABE与ΔACD全等

吗？说明你的理由.

22.已知：如图，在△ABC中，∠C=90?，AD平分∠BAC，（1）若BC=16，BD=10，

求点D到AB的距离.（2）若BC=16，BD：CD=5：3，求点D到AB的距离.

C D

23.如图，已知：在中，，，，.

求：的度数.

五、综合应用题（每小题10，共20分）

24.如图，在ΔABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长.

25.在△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

⑴当直线MN绕点C旋转到图⑴的位置时，求证:①△ACD≌△CEB;②DE ＝AD＋BE

⑵当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时，求证:DE＝AD－BE;

⑶当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.

注意:第（2）、（3）小题你选答的是第小题.

全等三角形与轴对称习题

一、填空题

1、如图1所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB 于E，量得△BDC的周长为17m，则边BC的长为 .

2、如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAD＝30°，且AD=AE，则∠EDC＝ .

3、在直角坐标系内有两点A(-1，1)、B(3，3)，若M为x轴上一点，且MA+MB最小，则M 的坐标是________。

4、如图3，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠

B=50°，则∠BDF=_________度．

图1 图2 图3

5、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图的方式进行折叠，使折叠的左侧部分比右侧部分短1；展开后按图的方式再折叠一次，使第二侧折痕的左侧部分比右测部分长1，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 .

6、已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P

1与P关于OB对称,P

2

与P关于OA对称,则P

1

,O,P

2

三点构成

的三

角形是______.

7、如图4，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF?的度数是_____．

8、如图5，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，若AD=AB，∠CAD=36°，则∠DBC的度数是。

9、如图6，△ABD、△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=__________.

图4 图5 图6

二、选择题

1、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是（）

A.75°或15°

B.75°

C.15°

D.75°和30°

2、如图7，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4，若已知∠1＝55°，∠3=75°，那么∠2等于（）.

A.50°

B.55°

C.66° D65°

3、如图8，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形.其中正确结论的个数为（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

4、如图9，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（）.

A.50°

B.55°

C.60°

D.65°

5、如图10，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则( )

A、AF=2BF

B、AF=BF

C、AF>BF

D、AF

图7 图8 图9 图10

6、如下图，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③），那么∠AFE的度数为：（）

A.60°

B.67.5°

C.72°

D.75°

三、解答题：

1、已知，如图，△ABC的∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线交于D点，DE∥BC交AB 于E，交AC于F，求证：EF = BE – CF。

2、如图，AB=AC,∠BAC=900,BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE，

求证:(1) AD=EC (2) BD=EC+ED.

3、已知，如图，BE、CF是△ABC的边AC和AB上的高，在BE上截取BP=AC，在CF的延长线上截取CQ=AB，求证：AP⊥AQ

4、如图14所示，在A B C

△中，∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD CF

，边

，分别是BC AB

上的高，且相交于点P，A B C

∠的平分线B E分别交AD CF

，于M，N．（12分）（1）试找出图中所有的等腰三角形，请写出来；

（2）图中是否有等边三角形？若有，请找出并说明理由．

（3）若MD=2cm，求DC的长。

5、如图，在Rt△ABC中，AB = AC。∠A = 90°，点D在BC上任一点，DF ⊥AB于F，DE ⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。

6、已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h

1,h

2

,h

3

，△ABC

的高为h.如图1,若点P在一边BC上，此时h3＝0，可得结论h

1＋h

2

＋h

3

＝h.

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P在△ABC内（如图2），点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否

还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h

1,h

2

,h

3

与h之间又有怎样的关系？请写出你的

猜想，不需证明。