培优易错试卷二次函数辅导专题训练及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（10分）（2015?佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；

（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；

（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直

线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛

物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．

试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；

（2）联立两解析式可得：，解得：，或．

故可得点A的坐标为（，）；

（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA

=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××

=4+﹣

=；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的解析式为y=x+b，

∵P的坐标为（2，4），

∴4=×2+b，解得b=3，

∴直线PM的解析式为y=x+3．

由，解得，，

∴点M的坐标为（，）．

考点：二次函数的综合题

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．

（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；

（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；

（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q553）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．

【解析】

【分析】

(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；

(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；

(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.

【详解】

（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，

∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，

令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，

解得x=﹣1或5，

∴A（﹣1，0），B（5，0）．

（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．

把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，

得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，

∴55

∴Q55

（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．

①当MK=OA ，NK=OC=5时，四边形ACNM 是平行四边形． ∵此时点M 的横坐标为1， ∴y=8，

∴M （1，8），N （2，13），

②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形， 此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）． 【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC 可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.

3．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A 点的直线y=﹣

1

2

x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=211

184

x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣1

2

）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】

分析：（1）由待定系数法求解即可；

（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；

（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．

详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得

0421

01641a b a b --??

+-?

＝＝ 解得18

14a b ?

???

?

-??

＝＝ ∴抛物线解析式为：y=

18x 2?1

4

x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1

41228

b

a -

=-?

＝1 （2）存在

使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小

∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．

设过点C′、O 直线解析式为：y=kx

∴k=-12 ∴y=-12

x

则P 点坐标为（1，-

12

） （3）当△AOC ∽△MNC 时，

如图，延长MN 交y 轴于点D ，过点N 作NE ⊥y 轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似，∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵MN⊥AC

∴M、D关于AN对称，则N为DM中点

设点N坐标为（a，-1

2

a-1）

由△EDN∽△OAC ∴ED=2a

∴点D坐标为（0，-5

2

a?1）

∵N为DM中点

∴点M坐标为（2a，3

2

a?1）

把M代入y=1

8

x2?

1

4

x?1，解得

a=4

则N点坐标为（4，-3）

当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N

由（2）N（2，-1）

∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）

点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．

4．如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标． 【答案】（1）y=-

21x 2+3

2

x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，1

2

. 【解析】 【分析】

（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），

①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2； 【详解】

解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，

将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，

∴0a b c 016a 4b c 2c =-+??

=++??=?

， ∴1a 23b 2?=-????=??

，

∴y=-

21x 2+3

2

x+2； （2）∵点C 与点D 关于x 轴对称， ∴D （0，-2）．

设直线BD 的解析式为y=kx-2． ∵将（4，0）代入得：4k-2=0， ∴k=

12

． ∴直线BD 的解析式为y=

1

2

x-2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （-1，0）；

当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形， 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8， ∴-2x+8=-21x 2+3

2

x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；

∴Q （3，2）或Q （-1，0）； （3）两个和谐点； AO=1，OC=2，

设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1）， ①当A 1、C 1在抛物线上时，

∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 22

22?=-++????-=-++++??

，

∴x 1y 3=??=?

，

∴A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，

()2213y 1x x 222

13y 1(x 2)x 22

22?-=-++???

?-=-++++??， ∴1

x 221y 8

?=????=??

， ∴A 1的横坐标是

12

；

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．

5．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．

（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；

（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.

【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.

【解析】 【分析】

（1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小. 【详解】

(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2）， ∴22122m m -=++-. ∴m 1=m 2=-1.

∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.

(2)当x=-2时，2

442P y m m =++-=()2

22m +-.

∴当m=-2时，P y 的最小值为－2. 此时抛物线F 的表达式是()2

22y x =+-. ∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小. ∵12x x <≤－2， ∴1y >2y . 【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．

6．已知点A （﹣1，2）、B （3，6）在抛物线y=ax 2+bx 上 (1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点F 的坐标为（0，m ）（m ＞2），直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ．设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接FH 、AE ，求证：FH ∥AE ； (3)如图2，直线AB 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点．点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度为每秒

个单位长度；同时点Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速

度为每秒1个单位长度．点M 是直线PQ 与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时，QM=2PM ，直接写出t 的值．

【答案】(1)抛物线的解析式为y=x 2﹣x ；(2)证明见解析；(3)当运动时间为

或

秒时，QM=2PM ．

【解析】 【分析】

（1）（1）A ，B 的坐标代入抛物线y=ax 2+bx 中确定解析式；

（2）把A 点坐标代入所设的AF 的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G 点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行； （3）具体见详解.

【详解】

．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，

，解得：，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．

（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，

将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，

∴k=m﹣2，

∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．

联立直线AF和抛物线解析式成方程组，

，解得：或，

∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．

∵GH⊥x轴，

∴点H的坐标为（m，0）．

∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），

∴点E的坐标为（1，0）．

过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．

∵点A（﹣1，2），

∴A′（﹣1，0），

∴AE=2，AA′=2．

∴ =1， = =1，

∴= ，

∵∠AA′E=∠FOH，

∴△AA′E∽△FOH，

∴∠AEA′=∠FHO，

∴FH∥AE．

（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，

将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3，

当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．

当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，

∵QM=2PM，

∴ =，

∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，

∴点M的坐标为（t﹣2， t）．

又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，

∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），

解得：t=；

当点M在线段QP的延长线上时，

同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），

∵点M在抛物线y=x2﹣x上，

∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），

解得：t=．

综上所述：当运动时间秒或时，QM=2PM．

【点睛】

本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.

7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

如图，直线y=1

4

x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=1

4

x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（

28

13

，﹣1）．（3）

定点F的坐标为（2，1）．

【解析】

分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标

特征，即可得出（1-1

2

-

1

2

y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关

于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．

∵该抛物线经过点（4，1），

∴1=4a，解得：a=1

4

，

∴抛物线的解析式为y=1

4（x-2）2=

1

4

x2-x+1．

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：

214

1

14y x y x x ?????-+??

＝＝，解得：11114x y ?????＝＝，2241x y ??

?＝＝， ∴点A 的坐标为（1，

1

4

），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．

∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，

1

4

）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ?+??

?+-?＝＝，解得：1312

43k b ?

-??????

＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43

， 当y=-1时，有-1312x+4

3

=-1， 解得：x=

28

13

， ∴点P 的坐标为（

28

13

，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，

∴

n=

14

m 2

-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（1

4

m 2-m+1）+1， 整理得：（1-

12-1

2

y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，

∴00022000

11

10222220230

y x y x y y ?--??

-+??+--??

＝＝＝， ∴00

2

1x y ??

?＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．

8．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？

【答案】（1）足球飞行的时间是8

5

s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】

试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣

t 2+5t+，当t=时，y 最大

=4.5；

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．

解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，

∴当t=时，y最大=4.5；

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，

∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，

∴他能将球直接射入球门．

考点：二次函数的应用．

9．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线2

y x bx c

=-++过A、B两点，且与x轴交于另一点C．

（1）求b、c的值；

（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；

（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为

△ACG内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR

①求证：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．

【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M（

12

5

-，

51

25

）；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG

的最小值为P 的坐标（﹣919

，19

）． 【解析】

试题分析：（1）把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线2

y x bx c =-++即可解决问题．

（2）首先求出A 、C 、D 坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M ．

（3）①欲证明PG=QR ，只要证明△QAR ≌△GAP 即可．②当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，由

sin ∠ACM=AM AC =NQ

QC

求出AM ，CM ，利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ，由此即可

解决问题．

试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣3，

0），B （0，3），∵抛物线2

y x bx c =-++过A 、B 两点，∴3

{930

c b c =--+=，解得：

2{3

b c =-=，∴b=﹣2，c=3． （2），对于抛物线2

23y x x =--+，令y=0，则2230x x --+=，解得x=﹣3或1，∴

点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标

（2

3

-，1），设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到：21{30

k b k b -+=+=，解得：

35{35k b =-=，∴直线CE 为3355y x =-+，由233{5523y x y x x =-+=--+，解得10x y =??=?或12

5

{5125

x y =-=，

∴点M 坐标（125-

，51

25

）． （3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，∵AQ=AG ，∠QAR=∠GAP ，AR=AP ，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR=PG ．

②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q 坐标（﹣6

，RT △QCN 中，

QN=CN=7，∠QNC=90°，∴

，∵sin ∠ACM=

AM AC =NQ

QC

，∴

∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR ，cos30°=AM AP ，

∴AP=1219

19，PM=RM=

619

19

，∴MC=22

AC AM

-=

1419

19

，∴PC=CM﹣

PM=819

，∵

PK CP CK

QN CQ CN

==，∴CK=28

19

，PK=

123

，∴OK=CK﹣CO=

9

19

，∴点P坐

标（﹣

9

19

，

123

），∴PA+PC+PG的最小值为219，此时点P的坐标（﹣

9

19

，

123

19

）．

考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题．

10．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

【答案】(1)点A的坐标为（4，8）

将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx

得8=16a+4b

0=64a+8b

解得a=,b=4

∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PE

AP

=

BC

AB

,即

PE

AP

=

4

8

∴PE=AP=t．PB=8-t．

∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.

∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)

=-t2+t.

∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.

②共有三个时刻：t1=16

3

， t2=

40

13

，t3

85

25

．

【解析】

（1）根据题意即可得到点A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出点E的坐标，从而得到点G 的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．